變截面豎向懸臂構(gòu)件頂點(diǎn)位移計(jì)算方法的探討

栗曉元

河北建研建筑設(shè)計(jì)有限公司（050021）

0 引言

近期，我們公司承攬了一座大跨度的水泥輔料堆棚,跨度為80 m，頂棚采用了變曲率的柱面網(wǎng)殼，兩側(cè)支撐于鋼筋混凝土柱頂，受建設(shè)單位經(jīng)濟(jì)方面要求，本工程中鋼筋混凝土柱采用了變截面形式，使我們有機(jī)會(huì)對(duì)變截面構(gòu)件的位移計(jì)算和抗側(cè)移剛度計(jì)算方面進(jìn)行了進(jìn)一步的了解。變截面構(gòu)件的應(yīng)用，取得了良好的技術(shù)經(jīng)濟(jì)效果。

變截面構(gòu)件的力學(xué)性能獨(dú)具特色，結(jié)構(gòu)分析計(jì)算比較復(fù)雜，多年以來(lái)，中外學(xué)者對(duì)其做了大量研究、實(shí)驗(yàn)，推出了許多科技論著，蔡方蔭院士的《變截面剛構(gòu)分析》便是其中的一部代表作，該書(shū)以I0/I圖矩面積法為紐帶，將方方面面的變截面架構(gòu)問(wèn)題匯集成一個(gè)碩大的體系，堪稱集大成之作。

這里所涉及的僅是變截面架構(gòu)群體中的一個(gè)基本問(wèn)題——變截面懸臂構(gòu)件計(jì)算,由于問(wèn)題比較單一，試圖簡(jiǎn)化推導(dǎo)方法和推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)直接積分的方法，得出計(jì)算公式以備方便使用。

1 計(jì)算條件與要求

設(shè)有變截面豎向構(gòu)件AB為獨(dú)立豎向桿件（注∶該桿件僅考慮柱頂承受水平力作用）。

1）其下端A固接與基礎(chǔ)，上端B自由，豎向桿件軸線垂直與水平面，高為L(zhǎng)，豎向桿件為直角梯形或等腰梯形，見(jiàn)圖1、圖2。

2）豎向桿件的橫截面為矩形，截面寬度為b，沿豎向桿件高不變；截面高度為h,沿豎向桿件高由下至上按線性變化逐漸變小，上端為h0,下端為h1，見(jiàn)圖3。

3）豎向桿件材料特性為彈性材料，彈性模量為E。

4）豎向桿件的上端作用有水平集中力P，頂點(diǎn)產(chǎn)生的水平位移為u，見(jiàn)圖4。

在上述條件下，要求計(jì)算豎向桿件頂部的水平位移。計(jì)算時(shí)只考慮彎曲變形對(duì)豎向桿件頂部位移的貢獻(xiàn)，不計(jì)剪切變形和軸向變形對(duì)豎向桿件頂部水平位移的影響。

2 推導(dǎo)過(guò)程

1）首先選擇一個(gè)直角坐標(biāo)系，如圖4所示，以豎向桿件下端A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以軸線為X軸，向上為正，選Y軸與X軸垂直，其正向沿水平位移方向。

2）其次分析一下橫截面高度的變化規(guī)律，前面已假定豎向桿件截面高度沿Y軸按線性規(guī)律變化，所謂按線性變化，是指垂直豎向桿件X軸線的任意截面，其截面高度應(yīng)滿足以下線性方程（按圖3所示的截面推導(dǎo)驗(yàn)算）∶

式中，k是截面高度變化的規(guī)律，tanα是圖示的夾角正切值。

上述所列式（a）、（b）為高等數(shù)學(xué)的直線函數(shù)式,在此不再多加敖述。

3）水平位移積分式的導(dǎo)算

該處計(jì)算變截面豎向桿件的水平位移，屬于靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算問(wèn)題，只是截面剛度為線性變化而已。根據(jù)虛功原理，應(yīng)用單位荷載法，可以直接寫(xiě)出變截面豎向桿件的水平位移的積分表達(dá)式∶

式中，Mx為實(shí)際荷載 （作用在豎向桿件的上端水平集中力P）作用下產(chǎn)生的彎矩，mx為假想的單位荷載作用下產(chǎn)生的彎矩。

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算如下∶

將（d）、（e）代入（1）式得

式中的慣性矩I,隨變截面豎向桿件的截面位置不同而改變，對(duì)于I如何處置是求解這個(gè)積分的關(guān)鍵，對(duì)此通常有兩種做法∶其一是假設(shè)一個(gè)固定不變的I0將式I0/I=y代入式（2）把積分轉(zhuǎn)入圖矩面積法的軌道，進(jìn)而求解；其二是將（a）式代入（f）式，再代入式（2），化為對(duì)x的有理分式的積分。以上兩者均可行，但稍欠簡(jiǎn)潔，為簡(jiǎn)化推導(dǎo)，另辟蹊徑，做法如下∶

由前述可見(jiàn)，變量I同變量Y、h、x間均存在函數(shù)關(guān)系，以上做法均為通過(guò)對(duì)y或?qū)的轉(zhuǎn)化而求積，然而I與h的關(guān)系，最為直接，故此，該法直接對(duì)h進(jìn)行轉(zhuǎn)化而求積。

首先將式（f）代入式（2）得∶

確定積分式的上下限,由（a）式可知∶

下限Ax=0 h=h0+kL=h1

上限Bx=L h=h0

于是式（4）就演變?yōu)椤?/p>

以上即為計(jì)算頂點(diǎn)水平位移的積分式，求此積分就可得到變截面豎向構(gòu)件頂點(diǎn)水平位移。

4）水平位移計(jì)算公式的推導(dǎo)

為敘述簡(jiǎn)便，我們以S表示（5）式中的定積分，于是得∶

最終我們得到變截面豎向懸臂構(gòu)件頂點(diǎn)在水平力作用下的位移計(jì)算公式。只要將已知條件數(shù)據(jù)，即可直接求得變截面豎向懸臂構(gòu)件頂點(diǎn)在水平力作用下的位移。

3 計(jì)算公式的應(yīng)用

1）用于變截面豎向懸臂構(gòu)件在頂點(diǎn)集中水平力作用下頂點(diǎn)的水平位移的計(jì)算,為了應(yīng)用方便，現(xiàn)將公式（6）式中的參數(shù)進(jìn)行假定∶

式中，u1為等截面豎向懸臂構(gòu)件在頂點(diǎn)集中水平力作用下頂點(diǎn)的水平位移，φ1為變截面水平位移調(diào)整系數(shù)。

2）用于變截面豎向懸臂構(gòu)件頂點(diǎn)作用集中水平力的抗側(cè)移剛度以D表示變截面懸臂構(gòu)件頂點(diǎn)的抗側(cè)移剛度，由（6）式可得∶

4 結(jié)語(yǔ)

1）所得出計(jì)算公式應(yīng)用范圍有限，僅使用有純彈性材料，參考應(yīng)用中應(yīng)多加注意，如應(yīng)用在鋼筋混凝土構(gòu)件中應(yīng)用，剛度計(jì)算EI應(yīng)根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》適當(dāng)調(diào)整。

2）所導(dǎo)出的變截面豎向懸臂構(gòu)件頂點(diǎn)水平位移計(jì)算方法較為簡(jiǎn)單，除了計(jì)算等截面豎向懸臂構(gòu)件的頂點(diǎn)水平位移所需的數(shù)據(jù)外，僅需增加變截面構(gòu)件上下端兩個(gè)截面高度數(shù)據(jù)即可。

[1]張來(lái)儀,景瑞.結(jié)構(gòu)力學(xué)[M].中國(guó)工業(yè)出版社,1997.

[2]蔡方蔭.變截面鋼構(gòu)分析[M].上海科學(xué)技術(shù)出版社,1962.

[2]浙江大學(xué).建筑結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算實(shí)用手冊(cè)[M].中國(guó)工業(yè)出版社,2009.