貝特朗悖論與隨機(jī)模擬方法

☉湖北省鄂州市吳都中學(xué) 吳 超

☉鄂州市新民街小學(xué) 阮宏蘭

在中學(xué)概率統(tǒng)計(jì)部分的學(xué)習(xí)中，幾何概型問題看似簡(jiǎn)單，卻又不好把握.解決幾何概型問題的關(guān)鍵在于問題的轉(zhuǎn)化：準(zhǔn)確地構(gòu)造出可度量的有限幾何區(qū)域（樣本空間）.特別要注意的是無限性、等可能性、有限性在解決問題中的體現(xiàn).在本文中我們用隨機(jī)模擬方法來討論幾何概型問題.

隨機(jī)模擬方法是利用計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器模擬試驗(yàn)從而計(jì)算事件發(fā)生概率的一種方法.在模擬試驗(yàn)過程中我們會(huì)重復(fù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)模擬事件是否發(fā)生.利用事件發(fā)生的頻率作為事件發(fā)生概率的近似估計(jì).這里的隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍中的任一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)是均等的.因此對(duì)幾何概型中事件發(fā)生的概率計(jì)算可以用隨機(jī)模擬方法實(shí)現(xiàn).下面我們用歷史上著名的貝特朗悖論來說明這個(gè)問題.

1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”：從一圓內(nèi)所有的弦中任意取一條弦，求該弦的長(zhǎng)度大于圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率.

一、問題分析

二、問題轉(zhuǎn)化

考慮用計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器模擬這個(gè)試驗(yàn)：從單位圓中任意取一條弦，則如何確定弦的位置？

情形1 弦由它在圓周上的兩個(gè)端點(diǎn)確定

此時(shí)認(rèn)為弦的兩個(gè)端點(diǎn)可以分別在單位圓周上等可能地選取.而單位圓周的周長(zhǎng)為2π，在圓周上任取一點(diǎn)為0點(diǎn)，沿順時(shí)針方向定義任一點(diǎn)的位置為該點(diǎn)到0點(diǎn)的距離.不妨設(shè)兩個(gè)端點(diǎn)在單位圓周上的位置為x和y，如圖1，則事件A等價(jià)于：

圖1

圖2

計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬步驟如下：

（1）產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)（共有N對(duì)）：x1=RAND，y1=RAND；

（2）經(jīng)伸縮變換：x=x1×2π,y=y1×2π；

試驗(yàn)次數(shù)為10000時(shí)模擬事件發(fā)生的概率近似值為0.3373.

情形2 弦由它的中點(diǎn)確定

圖3

計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬步驟如下：

（1）產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)，x1=RAND，y1=RAND；

（2） 經(jīng)平移和伸縮變換得到，x=（x1-0.5）×2，y=（y1-0.5）×2；

試驗(yàn)次數(shù)為10000時(shí)模擬事件發(fā)生的概率近似值為0.2563.

圖4

計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬步驟如下：

（1）產(chǎn)生一組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)（共有N個(gè)），x=RAND；

試驗(yàn)次數(shù)為10000時(shí)模擬事件發(fā)生的概率近似值為0.4984.

結(jié)果分析：

同一問題由于對(duì)等可能性的不同解讀導(dǎo)致有三種不同答案，相應(yīng)的樣本空間也不相同.具體如下：情形1中假定弦的兩個(gè)端點(diǎn)在圓周上等可能地選取，圓周上任意選取的兩個(gè)點(diǎn)組成樣本空間Ω1；情形2.1中假定弦的中點(diǎn)在大圓內(nèi)等可能地選取，大圓內(nèi)任意選取的點(diǎn)組成樣本空間Ω2；情形2.2中假定弦的中點(diǎn)在半徑上均勻分布，半徑上任意選取的點(diǎn)組成樣本空間Ω3.

由此可以看出：在解決幾何概型問題時(shí)如何選取合適的樣本空間將導(dǎo)致問題的結(jié)果迥然不同.不過由于貝特朗悖論本身是一個(gè)病態(tài)問題，因此這三種答案都不能認(rèn)為是錯(cuò)誤的.其中最接近物理學(xué)原理的答案應(yīng)是情形2.1中的答案.