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      特殊值法應用八型

      2013-07-25 07:30:32
      中學數(shù)學雜志 2013年5期
      關鍵詞:因式通性反證法

      目前,全國各地特別強調通性通法,這無疑是正確的,但在強調通性通法的同時,不應該忽視特性特法,通性通法與特性特法是對立統(tǒng)一的,是相互依存的,通性通法是相對于特性特法而言的,無特性特法則也無通性通法.故堅持特性特法的研究是有一定道理的.2012年高考天津卷文科第(4)題、遼寧卷理科第(11)題、全國大綱卷文科第(6)題等不少試題的求解都用到了取特殊值的方法,或者說用取特殊值的方法收效較好.

      在解某些數(shù)學問題時,選擇適當?shù)牧?,賦以一些特殊值,再分別進行研究;或將一些特殊值帶入給定的表達式,以解決給定的問題;或將一般問題特殊化,復雜問題簡單化,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋求結論,探索解決問題的途徑,這種方法可稱為特殊值法,下面我們分八種類型談談特殊值法的應用.

      一、解選擇題

      例1 多項式(x+1)(x+2)…(x+n)(n≥2,n∈N)乘開整理后,xn-2項的系數(shù)為( ).

      二、待定系數(shù)

      解:使原式成立的A、B、C、D也必使

      A(x+2)(x+3)(x+4)+B(x+1)(x+3)(x+4)+C(x+1)(x+2)(x+4)+D(x+1)(x+2)(x+3)=1恒成立.

      點評:去分母,將分式等式變成整式等式,其中四次進行多項式乘以多項式,再利用多項式恒等,解方程組也可求出A、B、C、D的值,但那樣相當浩繁,苦不堪言.在這里,特殊值法清新自然、活潑可愛.

      三、求代數(shù)式的值

      例3 設(x2+x+1)1006=a0+a1x+a2x2+…+a2012x2012,求

      log3[2(a0+a2+a4…+a2012)-1]的值.

      解:令x=1有31006=a0+a1+a2+a3+…+a2012;

      令x=-1有:1=a0-a1+a2-a3+…+a2012.

      兩式相加有:31006+1=2(a0+a2+a4+…+a2012),

      所以log3[2(a0+a2+a4…+a2012)-1]=1006

      點評:令x=1、令x=-1,這是在用特殊值法,但其實這就是這類問題求解的通性通法,這也說明特性特法有時就是通性通法,這時它們并不對立而是統(tǒng)一的.在這里,特殊值法探囊取物、妙手揭蓋.

      四、用于反證法

      證明:函數(shù)定義域為非負實數(shù)集,假設y=cos是周期函數(shù),則存在常數(shù)T≠0,使得定義域內的一切x都滿足cos

      點評:否定性命題的證明,大多用反證法,假設原命題不成立之后,尋求矛盾是關鍵,本題妙取兩個特殊值矛盾立現(xiàn).在這里,特殊值法立竿見影、多姿多彩.

      五、函數(shù)性質的證明

      例5 已知整式函數(shù)y=f(x),對一切a、b∈R,等式f(ab)=f(a)+f(b)恒成立,求證:f(x)必有因式x2-x.

      解:令a=b=0有f(0)=f(0)+f(0)?f(0)=0,所以f(x)必有因式x.

      令a=b=1有f(1)=f(1)+f(1)?f(1)=0,所以f(x)必有因式x-1.

      從而f(x)必有因式x(x-1),即x2-x.

      點評:因為整式函數(shù)y=f(x)有因式x-m等價于f(m)=0,故本題只需證明f(0)=0、f(1)=0,令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0,問題立即得解.在這里,特殊值法賞心悅目,舒心爽快.

      六、發(fā)現(xiàn)規(guī)律探求結論

      (Ⅰ)求橢圓C的標準方程;

      解:(Ⅰ)略,

      七、歸納猜測結論

      例7 已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,b1=2,若an,bn,an+1成等差數(shù)列,

      并且bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,求兩數(shù)列的通項公式.

      解:由已知有2bn=an+an+1,且1,又a1=1,b1=2,

      計算得{an}前三項為:1,3,6,

      證明:(略).

      八、解決“恒成立”問題

      例8 已知a,b,A,B∈R,f(θ)=1-acos θ-bsin θ-Acos 2θ-Bsin 2θ,

      對于任意θ都有(fθ)≥0,求證a2+b2≤2,A2+B2≤1.

      由已知有:f(β)≥0,f(π+β)≥0,

      點評:利用輔助角化簡原函數(shù)式,是比較明顯的,因為結論中有平方,接下來直接證明所給兩個不等式是頗有難度的,既然所給條件是一系列不等式,那就不妨先取幾個已知不等式出來進行研究,這就是特殊值法.妙取四個特殊值,一切問題迎刃而解.至于如何取得理想的特殊值,那也有蛛絲馬跡可尋,容下文分解.在這里,特殊值法另辟蹊徑,奇兵奏凱.

      所以tan0+tana+tan0tana=b?b=tana.①

      綜上所述,特殊值法應用廣泛,既能簡潔迅速解選擇題,待定系數(shù),求代數(shù)式的值,求定點坐標,輔助反證法推出矛盾,又能發(fā)現(xiàn)規(guī)律尋求結論,也能別開生面的解決“恒成立”的等式、不等式等問題.

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