☉浙江省象山縣第二中學 呂增鋒
所謂通性通法是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學解題方法.在數(shù)學解題教學中要“淡化特殊技巧,注重通性通法”的觀點也得到越來越多教師的共識.在這種教學觀的指導下,學生不僅可以跳出“題?!保芯υ诶斫鈹?shù)學的本質上下功夫,而且可以實現(xiàn)“練一題,學一法,會一類,通一片”的目的.但我們也看到由于很多教師對“通性通法”認知存在不足,因此在開展“通性通法”教學時難免出現(xiàn)偏差.
案例1:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)與f(2x-1)的解析式.
這是一堂關于函數(shù)表達式習題課,教學對象是高一學生.
生1解法:設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則
f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.
易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0.
師:為什么可以“設(fx)=ax2+bx+c(a≠0)”?
生1:因為可以推測(fx)一定是二次函數(shù),如果(fx)不是二次函數(shù),則(f2x+1)的解析式也不會是二次函數(shù).
師:你證明過你的推測嗎?
生1:我想應該是的.
師:想的不一定都對,數(shù)學是嚴密的,要證明的.而且你這種方法過于煩瑣,盡管答案是正確的,但我們不提倡.下面我介紹一下這道題目的標準解法.
生2:為什么要設2x+1=t?求出的是(ft),為什么就變成了(fx)?
……
案例2:已知(fx)的定義域為R,當x<0時,(fx)=x2+x-2.
(1)若(fx)是偶函數(shù),求當x>0,(fx)的解析式;
(2)若(fx)是奇函數(shù),求(fx)的解析式.
這是一堂函數(shù)奇偶性的習題課,教學對象也是高一學生.教師出示問題后,讓生3板演,其他學生在下面解答.
生3解法:先畫出(fx)=x2+x-2(x<0)的圖像(如圖1、圖2所示),然后根據(jù)對稱性再畫出x>0部分的圖像,最后觀察圖像求出相應的解析式.
圖1
圖2
教師發(fā)現(xiàn)幾乎所有學生的都是采用先畫圖,再求解析式的方法,臉上露出了失望的神情.于是他讓學生抬起頭,集中注意力,聽他講解這類題目的標準解法.
師:我發(fā)現(xiàn)大家采用的都是先畫圖,后求解析式的方法解決這道題目的,但顯然這種方法不夠嚴密,并且有相當大的局限性.若求的是陌生函數(shù)的解析式,你能做出它的圖像嗎?
生3:不能.
師:下面我就為大家講述這道題目的標準解法.
教師解法:(1)設x>0,則-x<0,所以f(-x)=(-x)2-x-2=x2-x-2.因為f(x)是偶函數(shù),則f(x)=f(-x)=x2-x-2,所以f(x)=x2-x-2(x>0).
師:大家清楚了沒有?
學生一臉茫然,不知所措,開始紛紛提出疑問.
生4:老師“設x>0,則-x<0”什么意思,為什么要這么做?
生5:怎么一會是f(x),一會是f(-x),搞不清楚.
……
以上兩則通性通法的教學只能用“簡單、粗暴”來形容.“簡單”主要體現(xiàn)在教授通性通法時不注重方法,偷工減料,省去了必要的鋪墊和引導;“粗暴”體現(xiàn)在教師無視學生的認知規(guī)律和原有的知識水平,強行推銷所謂的通性通法置學生心理感受于不顧,使得通性通法的教學異化為對標準解法追逐.
通性通法教學為何出現(xiàn)如此匪夷所思的現(xiàn)象呢?若深究其背后的原因,無非是教師在教學中追求速成,急功近利的心態(tài)使然.為了追求所謂的高效,讓學生快速達到掌握標準解法的目的,教師對教學的處理是“精打細算”,能省則省.以上述二則案例為例,由于高一學生數(shù)學思維不夠成熟,知識儲備不夠豐富,在解題中難免會走“彎路”,冒出教師眼中那種“不合時宜”的解法.而教師卻沒有耐心仔細審視學生的思路和解法,利用“簡單而粗暴”的手段“快刀斬亂麻”,希望快速規(guī)范和強化高一學生的解題思路,從而使所謂的通性通法成為了學生唯一的選擇.但事實上如此的速成之道嚴重阻礙了通性通法的教學,使得教學效果大打折扣.眾所周知,數(shù)學教學不是一蹴而就的“經(jīng)營模式”,而是一種長期的“經(jīng)營策略”,數(shù)學教學是一種“潛移默化”,“螺旋上升”的過程.課堂不僅是教師傳授知識的地方,還應該是激發(fā)學生的求知欲,展現(xiàn)學生自我風采的舞臺.通過課堂中學生表現(xiàn)出的迷茫和疑惑,我們完全有理由斷定教師這種“只重結果,不重過程”的短視行為根本無助于提升學生對通性通法的認同感,不僅使得通性通法在學生是眼里成了“怪法”,成了“天外來物”,而且嚴重抑制了學生數(shù)學思維的發(fā)展.
單純從字面上看,通性通法無非是指解決具有相同性質數(shù)學問題所用的通用的思想方法.但在實際操作中,總結和發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的通性通法其實并不是一件容易的事,很多教師經(jīng)常會陷入“只見樹木,不見森林”的尷尬境地.以上述二則教學案例為例,在教師眼里似乎只有兩道題的解法屬于通性通法的范疇,而根本沒有認識到在教學過程中所展現(xiàn)的其他數(shù)學思想方法實際上也是通性通法,而它們的價值和地位有時卻遠遠高于這兩道題本身的解法.
在案例1中,其實我們不得不佩服學生的解題直覺,一看到f(2x+1)=x2-2x,馬上聯(lián)想已學過的幾個函數(shù),并且大膽的推測f(x)是二次函數(shù),這正是合情推理思想在數(shù)學解題中的具體體現(xiàn),這難道不是我們在整個高中階段所倡導的通性通法嗎?合情推理的實質是“發(fā)現(xiàn)——猜想”,在解決問題時的合情推理的特征是不按邏輯程序去思考,但實際上是學生把自己的經(jīng)驗與邏輯推理的方法有機地整合起來的一種跳躍性的表現(xiàn)形式.合情推理在高中階段通常不會像演繹推理那樣受到師生的重視,教師本可以借此喚醒學生對合情推理的認知,盡管學生在應用的過程中存在著“忽視嚴密”的瑕疵,但完全可以在教師的引導下證明猜想的正確性.但令人遺憾的是,教師完全無視學生的思維成果,抱守題目的標準解法,固步自封.
在案例2中,數(shù)學結合的思想是高中數(shù)學解題的最基本的思想之一,當然也是重要的通性通法之一.學生能夠想到從圖形入手,經(jīng)過觀察、分析等思維過程圓滿解決問題對高一新生來說已是難能可貴,盡管這種思想方法存在著較大的局限性.作為教師首先應該對學生的解法給予高度的評價,強化學生思維中的數(shù)形結合的意識.
鑒于對通性通法的種種認知不足和教學偏差,那么我們應該如何把握通性通法的教學?
首先我們在通性通法的教學上應該回歸自然.通性通法之所以稱為通性通法是因為它常常從基本概念、原理出發(fā),以基礎知識為依托、以基本方法為技能,按照既定的步驟,逐步推出問題和解答,解法思想順乎一般思維規(guī)律,其具體操作過程易于為多數(shù)學生所掌握.因此在教學中應注意講清通法的概括過程,并通過啟發(fā)和引導,向學生提示每種通法產(chǎn)生的過程,這樣更有利于學生對通法本質,對數(shù)學思想的理解,從而使學生感到通性通法自然、流暢、易于理解、易于掌握和運用的.以案例2的問題為例,學生的解法確實有其局限性,教師的解法確實是學生應該掌握的通性通法,但這種方法涉及到了一些對高一新生來說很陌生的數(shù)學思想方法,如“設x>0”,然后通過轉換成“-x<0”,代入已知解析式求出未知的解析式,這種設未知——變已知——代已知——求未知的解題思路實際上是化歸思想一種具體表現(xiàn),對剛剛接觸函數(shù)不久的學生來說在理解上確實有很大的困難.這就需要教師加強引導,幫助學生理清解題思路,讓學生感受到解題方法是自然合理的.比如,教師不妨把這種解題思路形象概括為“移花接木”法,這樣就會有助于學生對解題思路的理解.
其次我們在通性通法的教學上要遵循螺旋上升原則.中學數(shù)學中常用的數(shù)學解題通性通法有換元法、配方法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、消元法、特殊值法等,涉及的數(shù)學思想包括:轉化思想、方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、合情推理等.由此可見,通性通法涉及的內(nèi)涵是既豐富又煩瑣,因此我們在教學中切勿急功近利,而要遵循學生的認知規(guī)律,采取由易到難,由具體到抽象的策略.比如,高一學生剛剛開始接觸數(shù)學,抽象思維相對薄弱,讓學生形成從具體圖形入手解決數(shù)學問題的思維習慣應該就是這個階段最為重要的通性通法.然后通過學生思維的不斷完善,數(shù)學視野的不斷拓展,教師再引領學生探索更為抽象的數(shù)學思想方法,從而逐步擺脫具體圖形的束縛,最終實現(xiàn)數(shù)與形的完美融合,領悟數(shù)形結合思想的精髓.又比如,求函數(shù)值域思想方法多達十余種,但其中學生容易掌握的最主要的通性通法就是利用函數(shù)的單調性求值域;在判斷函數(shù)單調性的方法中,高一新生應該掌握的通性通法是利用單調性的定義直接判定;隨著函數(shù)學習的不斷深入,利用復合函數(shù)的性質判斷函數(shù)單調性就成為了又一個需要學生掌握的通性通法;到了高二學生接觸到導數(shù)的知識后,那么利用求導判定函數(shù)的單調性就成為了學生今后的主要通性通法.這就是我們數(shù)學教學中要遵循的螺旋上升策略.
日本教育家米山國藏認為:“成功的數(shù)學教學,應當是數(shù)學精神,思想方法深深地、永遠地、銘刻在學生的頭腦里,長久地活躍于他們?nèi)粘5臉I(yè)務中,雖然那時數(shù)學的知識已經(jīng)淡忘.”通過上述分析,通性通法教學只有回歸自然,才能讓學生銘記于心.
1.肖瑞元.教學豈能急功近利[J].陜西教育,2011(6):12.
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