不等式（組）中蘊含的數(shù)學思想

李景財

同學們在學習數(shù)學的基礎知識、基本技能的過程中，要加強數(shù)學思想方法的滲透，要在分析解決問題的過程中揭示數(shù)學思想方法.本文以七年級數(shù)學第九章《不等式與不等式組》為例，談談其中蘊含的數(shù)學思想.

一、類比思想

學習一元一次不等式可類比一元一次方程的知識.下面從求解步驟及解集等方面進行類比.

例1 （1）解方程 x+■=1-■，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

（2）解不等式x-■≥■-■，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.

解析：（1）去分母，得6x+（x+2）=6-3·（2x-3）.

去括號，得6x+x+2=6-6x+9.

移項，得6x+x+6x=6+9-2.

合并同類項，得13x=13.

系數(shù)化為1，得 x=1.

此方程的解集只有一個數(shù)1，在數(shù)軸上表示如圖1.

圖1

（2）去分母，得6x-2（5+2x）≥3（3x-1）-14.

去括號，得6x-10-4x≥9x-3-14.

移項，得6x-4x-9x≥-3-14+10.

合并同類項，得-7x ≥-7.

系數(shù)化為1，得x≤1.

這個不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖2.

圖2

點評：從求解步驟看：兩者都是通過去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1等步驟；但在去分母和系數(shù)化為1這兩步，當不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，而方程等號不變.

從解集看：一元一次不等式的解集可能包含無數(shù)個解，在數(shù)軸上用無數(shù)多個點的集合形象表示；而一元一次方程的解集一般只有一個解，在數(shù)軸上用一個點表示.

類比便于同學們理解知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，便于在學習過程中不斷構(gòu)建和完善知識體系，有利于遷移能力的發(fā)展.

二、分類討論思想

例2 解關(guān)于x的不等式組

ax-4<8-3ax，（a+2）x-2>2（x-ax）+4.

解析：原不等式組可化為

4ax<12， ①3ax>6. ②

當a>0時，由① 、②可將不等式組化為x<■， x>■.

又∵3>2，■>0，∴■>■.

∴原不等式組的解集為■

當a<0時，由①、 ②可將不等式組化為x>■， x<■.

又∵3>2，■<0，∴■<■.

∴原不等式組的解集為■

當a=0時，由①、 ②可將不等式組化為

0·x<12，0·x>6.

∴原不等式組無解.

綜上所述，當a>0時，原不等式組的解集為■

當 a<0時，原不等式組的解集為■

當 a=0時，原不等式組無解.

點評： 此不等式組的解集與未知數(shù)的字母系數(shù)有關(guān)，應該用分類思想討論字母系數(shù)的取值范圍，再根據(jù)取值范圍分別求其解集.

三、轉(zhuǎn)化思想

例3 關(guān)于x的不等式（2a-b）x>a-2b ① 的解集是x<■，求關(guān)于x的不等式ax-b<0 ②的解集.

解析：∵①的解集是x<■，

∴2a-b<0， x<■.

∴■=■.

整理，得b=8a.

∵2a-b<0， ∴2a-8a<0，

∴a>0.

把b=8a代入②中， 得ax<8a，

∴x<8.

∴不等式②的解集為x<8.

點評：本題通過轉(zhuǎn)化的思想，用不等式①的兩個不同形式的解集，來建立a、b的等量關(guān)系，整理得出b=8a，實現(xiàn)了不等關(guān)系向等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化.把b=8a代入2a-b<0中，確定字母a的正負，再把b=8a代入②中，消除字母b，再次體現(xiàn)了消元轉(zhuǎn)化的思想.

四、數(shù)形結(jié)合思想

例4 已知關(guān)于x的不等式組x-a≥0，5-2x>1只有四個整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：解不等式組，得x≥a，x<2.

因原不等式組的整數(shù)解只有4個，說明x≥a與x<2在數(shù)軸上有公共部分，且公共部分包含的整數(shù)如圖3所示，即 -2、-1、0、1 .

圖3

所以a的取值范圍是-3

點評：根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，先借助數(shù)軸直觀地找到不等式的四個整數(shù)解，再確定a在數(shù)軸上的位置在-3與-2之間，且包含-2，由形得數(shù)，得出a的取值范圍.

數(shù)學思想蘊含于數(shù)學知識之中，是數(shù)學知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.