索賠額服從混合指數(shù)分布的破產(chǎn)概率及其漸近估計(jì)

許璐，趙聞達(dá)，余茜茜

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索賠額服從混合指數(shù)分布的破產(chǎn)概率及其漸近估計(jì)

許璐1，趙聞達(dá)2，余茜茜1

（1.江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056；2.明尼蘇達(dá)大學(xué)雙城分校 數(shù)學(xué)系，美國(guó) 明尼蘇達(dá)州 55414）

運(yùn)用古典概率論的有關(guān)知識(shí)，針對(duì)個(gè)體索賠額服從混合指數(shù)分布的破產(chǎn)概率問題，通過建立合適的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出了它的最終破產(chǎn)概率的顯式表達(dá)式，并得到了它的漸近估計(jì). 所得結(jié)果包含了現(xiàn)有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)論.

混合指數(shù)分布；最終破產(chǎn)概率；漸近估計(jì)；顯式解

文獻(xiàn)[1-2]利用計(jì)算機(jī)技術(shù)對(duì)一些具體分布的破產(chǎn)概率進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算分析；文獻(xiàn)[3]對(duì)任意的初始盈余與任意的個(gè)體索賠額給出了破產(chǎn)概率的遞推解、隱式解，同時(shí)得到了指數(shù)分布破產(chǎn)概率的顯式解；文獻(xiàn)[4-5]給出了最終破產(chǎn)概率與有限時(shí)間的生存概率的顯式解，卻沒有討論刻畫保險(xiǎn)公司破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)；文獻(xiàn)[6-10]討論了幾種不同分布模型的破產(chǎn)概率問題，但是，沒有涉及到個(gè)體索賠額服從混合指數(shù)分布的破產(chǎn)概率問題. 本文主要是在古典概率理論的基礎(chǔ)上討論個(gè)體索賠額服從混合指數(shù)分布的破產(chǎn)概率，并得到了它的漸近估計(jì).

1 模型的描述

2 主要結(jié)果

所以

所以

將式（4）代入式（3）得：

故

所以

從而可知：

故

從而式（2）得證，并且這與文獻(xiàn)[3]中的結(jié)果一致.

定理2 設(shè)個(gè)體索賠額服從混合指數(shù)分布，則索賠總額也服從混合指數(shù)分布的最終破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)為：

證明 采用通常的卷積記法，利用更新方程的定義有

由式（1）知：

[1] SEAL H L. Numerical calculation of probability of ruin in the Poisson/exponential case [J]. Mitteilangen der Vereinigung Schmeicerischer Versichrungs Mathematiker, 1972, 72: 77-100 .

[2] RAMSAY C M. On an integral equation for discounted compound-Annuity distributions [J]. ASTIN Bulletin, 1989, 19(2): 191-198.

[3] GERBER H U. 數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)論導(dǎo)引[M]. 成世學(xué)，嚴(yán)穎，譯. 北京：世界圖書出版公司，1997.

[4] 成世學(xué)，伍彪. 完全離散的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型[J]. 運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，1998, 2(3): 42-54.

[5] SHIU E S W. The probability of eventual ruin in the compound binomial model [J]. ASTIN Bulletin, 1989, 19(2): 179-190.

[6] 許璐. 離散經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)概率及其漸近解[J]. 江漢大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001, 18(3): 43-45, 78.

[7] 許璐. 索賠總額服從幾何分布的破產(chǎn)概率及漸近解[J]. 高等數(shù)學(xué)通報(bào)，2001(l): 28-30.

[8] 成世學(xué)，朱仁棟. 完全離散的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中的漸近解和Lundberg型不等式[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001, 16(3): 348-358.

[9] 成世學(xué). 破產(chǎn)論研究綜述[J]. 數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002, 31(5): 403-422.

[11] 梁之舜，鄧集賢，楊維權(quán)，等. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 北京：高等教育出版社，1990.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Ruin Probability and Asymptotic Estimate When Claims Obey a Mixed Exponential Distribution Model

XULu1, ZHAOWen-da2, YUQian-qian1

(1. School of Mathematics and Computer Science, Jianghan University, Wuhan 430056, China; 2. Department of Mathematics, University of Minnesota Twin Cities, Minnesota 55414, U.S.A.)

The classical probability theory is used to derive solution of the ultimate ruin probability in a mixed exponential distribution model, and its asymptotic estimation is obtained. The related results in literatures are improved in this conclusion.

mixed exponential distribution; the ultimate ruin probability; asymptotic estimation; explicit expression

1006-7302（2013）01-0006-05

O211.67

A

2012-10-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.10961003）；江西省教育廳科學(xué)計(jì)劃資助項(xiàng)目（GJJ08338）

許璐（1969—），男，湖北武漢人，副教授，碩士，研究方向?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì).