特殊分塊矩陣的群逆的表示

周洪玲，王 成，范廣慧，袁海燕

（1.黑龍江工程學院 數學系，黑龍江 哈爾濱 150050；2.91428部隊，浙江 寧波315456）

研究分塊矩陣的廣義逆對許多應用領域及廣義逆的計算都十分重要，形如的矩陣對微分方程的最優(yōu)解法起到了深遠的影響[1－7]。而形如矩陣的Drain逆是由Campbell在文獻[6]中提出的，并且至今尚未得到解決。在某些特殊條件下，人們給出了其群逆的一般表示。本文將在新的特殊情況下探索此類分塊矩陣群逆的表示方法。

設Cm×n是所有m×n復矩陣的集合。設A∈Cn×n，若X∈Cn×n滿足如下矩陣方程：

則稱X為A的群逆，記作X＝A＃。由文獻[8]知它若存在則唯一。如果僅滿足AXA＝A，則稱X為A的一個｛1｝－逆，記作X＝A（1）。又設A∈Cm×n，令A＊為A的共軛轉置。

1 引理

引理1[8]設A∈Cn×n，Ind（A）＝1，則A＃＝A（A3）（1）A。

引理2[9]設A2＝A∈Cn×n，且rank（A）＝r≠0，則存在酉矩陣U，使得

2 主要結果

證明 （1）存在性（見文獻[10]的定理1）

由分塊矩陣的初等變換有

由式（ABC）（1）＝C（－1）B（1）A（－1）（A，C 可逆）有即

又A2＝A，由引理2知存在酉矩陣U使

則

于是不妨設

又由矩陣的初等變換得

由于ΔΔ＊半正定，從而I＋ΔΔ＊正定，因此，I＋ΔΔ＊可逆，則

由式（1）、式（4）得

其中B＝（I＋ΔΔ＊）－2，由引理1得

其中C＝（I＋ΔΔ＊）－1。

所以

[1]劉玉，曹重光.體上某些分塊矩陣的Drazin逆[J].黑龍江大學：自然科學學報，2004，21（4）：112－114.

[2]J.H.wilkinson.Note on the practical significance of the Drazin inverse in Recent Applications of generalized Inverses[M].S.L.Campbell，Ed Pitman London，1982.

[3]曹重光.體上分塊矩陣群逆的某些結果[J].黑龍江大學：自然科學學報，2001，18（3）：5－7.

[4]劉玉，曹重光.兩類塊陣的群逆表示[J].黑龍江大學：自然科學學報，2006，23（3）：413－414.

[5]M.P.Drazin.Pseudo inversion information processing letters[J].1988，26：263－267.

[6]S.L.campbell.The Drazin inverse and systems of second order linear differential equations[J].Linear and Multilinear Algebra，1983，14：195－198.

[7]GONZALES N C，DOPAZO E.Representations of the Drazin inverse of a class block matrices[J].Linear Algebra and its Applications，2005，400：253－269.

[8]王國榮.矩陣與算子廣義逆[M].北京：科學出版社，1994：15－20.

[9]馬元婧，曹重光.分塊矩陣的群逆[J].哈爾濱師范大學：自然科學學報，2005，21（4）：7－8.