對反散射方法所得S-G方程解的數(shù)值模擬

史 偉，曹建莉

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001）

對反散射方法所得S-G方程解的數(shù)值模擬

史 偉，曹建莉

（河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河南 鄭州 450001）

本文采用反散射方法得到給定初始值的條件下S-G方程的解，再利用maple軟件編程選取適當(dāng)?shù)膮?shù)得到解的數(shù)值模擬.

S-G方程；反散射方法；maple軟件

S-G方程是數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中的熱點方程，反散射方法是孤立子理論中的一種經(jīng)典方法，得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]，而與數(shù)學(xué)軟件的結(jié)合卻是近幾年的事[4].本文討論在給定初始條件q(x,t)|t=0=q(x),r(x,t)|t=0=r(x)時S-G方程的解，首先求出以初始條件中q(x)，r(x)為位勢的方程（1）的散射數(shù)據(jù)，然后求出當(dāng)q(x,t)，r(x,t)作為S-G方程解的時候，其相應(yīng)的散射數(shù)據(jù)隨時間的變化規(guī)律，最后由T-L-M積分方程組，根據(jù)散射數(shù)據(jù)來恢復(fù)q(x,t)，r(x,t)，最后用maple軟件選取適當(dāng)?shù)膮?shù)給出S-G方程解的數(shù)值模擬.

1 S-G方程

首先考察一般特征值問題

其中q=q(x,t),r=r(x,t)，并設(shè)φ1,φ2隨時間t的演化規(guī)律為

其中A，B，C是x，t，ξ的函數(shù)，并設(shè)ξt=0,由φ1xt=φ1ix,及φ2xt=φ2tx推出A，B，C要滿足以下三個方程

將A，B，C取為ξ的多項式

代入(3)并比較ξn+1的系數(shù)，得bn=cn=0;比較ξn的系數(shù)，可得anx=0,bnx+2ibn-1=-2qan,cnx-2icn-1=2ran.由此定出an=常數(shù)及bn-1,cn-1.如此反復(fù)，即可定出aj,bj,cj,比較ξ0的系數(shù)，給出非線性演化方程.取n=3,用maple軟件計算得

（4），（5）中的系數(shù)a0,a1,a2,a3均為常數(shù)，適當(dāng)選取這些常數(shù)，并取q(x)，r(x)建立關(guān)系，方程可約化為：

2 利用反散射方法得到S-G方程的解定義

為S-G特征問題的散射數(shù)據(jù).給定散射數(shù)據(jù)（8）后，再恢復(fù)S-G特征值問題（1）中的位勢q(x)，r(x).

積分方程（10）的解未必對所有的x都是存在唯一的.例如，當(dāng)ρ(ξ)=(ξ)=0，上，下平面各有一個特征值λ(Imλ>0(Imλ<0)對應(yīng)的歸一化因子是c，，積分方程化為

用maple解代數(shù)方程得

設(shè)q(x)，r(x)分別是方程（5），（6），（7）的解，q,r及其導(dǎo)數(shù)當(dāng)|x|→∞時很快趨于零，當(dāng)t=0時，q=q(x)，r=r(x)，而且以q (x)，r(x)為位勢的特征值問題（1）的散射數(shù)據(jù)為

因此，r=-q為實函數(shù)時的n孤子解為

3 利用maple軟件作圖

用maple軟件做圖，并選擇參數(shù)的值代入程序，運行程序得圖1.

圖1

圖2

用maple軟件做圖，并選擇參數(shù)的值代入程序，運行程序得圖2.

用maple軟件做圖，并選擇參數(shù)的值代入程序，運行程序得圖3.

圖3

圖4

用maple軟件做圖，并選擇參數(shù)的值代入程序，運行程序得圖（4）.

4 總結(jié)

計算機科學(xué)的發(fā)展，使復(fù)雜、冗長的代數(shù)計算可以順利完成，完成了人力所不能及的復(fù)雜計算，利用數(shù)學(xué)軟件得到更多的精確解，還可以得到其解的數(shù)值模擬.

〔1〕李翊神.特征值問題，散射與反散射理論.南京大學(xué)學(xué)報，1987.

〔2〕LiYishen,Chin Ann moth.2(1981),147-156.

〔3〕L.Hormander,Complex Analysis in Several Variables, 1966.

〔4〕馬開平.maple高級應(yīng)用及經(jīng)典實例.2002.

O241.82

A

：1673-260X（2013）01-0004-03

河南工業(yè)研究生創(chuàng)新基金資助（11YJCX 58）；鄭州市科技發(fā)展計劃項目資助（20110306）