一類跳擴(kuò)散過程不變測度的存在唯一性

吳 曄

(福建江夏學(xué)院電子信息科學(xué)系，福建 福州 350108)

0 引言

近年來，以布朗運(yùn)動(dòng)和跳過程為基本模塊的跳擴(kuò)散過程引起人們極大的關(guān)注.跳擴(kuò)散過程的定義:設(shè)Wt為d維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，N(dt，dz)為Rd上獨(dú)立于Wt的Possion隨機(jī)測度且具有特征測度μ(dz)．設(shè)?N(dt，dz):=N(dt，dz)-dt×μ(dz)為補(bǔ)償測度．考慮下列Rd上的隨機(jī)微分方程:

其中，σ、b和∫c(·，z)2μ(dz)在Rd上連續(xù)，且對(duì)任意進(jìn)一步，假設(shè):1)對(duì)任意K〉0和任意存在常數(shù)LK〉0，使得存在常數(shù)C〉0，使得對(duì)任意

在條件1)、2)下，隨機(jī)微分方程 (1)存在唯一強(qiáng)解 (參見文獻(xiàn) [1-2])，過程Xt稱之為跳擴(kuò)散過程，它在實(shí)際中有廣泛應(yīng)用．式 (1)確定的跳擴(kuò)散過程是一類強(qiáng)馬氏過程，它的無窮小生成元作用在光滑函數(shù)上具有以下形式:

這里，對(duì)任意x∈Rd，a(x)=σ(x)σ*(x)．由方程 (1)中系數(shù)的連續(xù)性可知，式 (2)為任意f∈C2b(Rd)均有意義．

本文旨在給出跳擴(kuò)散過程存在唯一不變測度的充分條件．設(shè)(Pt)t≥0為Xt對(duì)應(yīng)的馬氏半群，π為Pt的平穩(wěn)概率測度，即對(duì)任意t〉0和A∈B(Rd)，∫P(t，x，A)π(dx)=π(A)．如果Xt具有唯一不變概率測度π，且對(duì)任意x∈Rd，當(dāng)t→∞，轉(zhuǎn)移概率P(t，x，·)全變差收斂于π，則跳擴(kuò)散過程稱為全變差定義下穩(wěn)定[3]．跳擴(kuò)散過程不變測度的存在性已經(jīng)被許多學(xué)者所研究，但是其唯一測度性是個(gè)很困難的問題．常用于研究不變測度唯一性的方法是Doob-Khasminskii條件[4]，即證明半群Pt是強(qiáng)Feller且不可約的.目前，關(guān)于跳擴(kuò)散過程強(qiáng)Feller性質(zhì)和不可約性質(zhì)的研究還很少，僅見文獻(xiàn) [5]關(guān)于擴(kuò)散矩陣a(x)嚴(yán)格正定和特征測度μ(dz)滿足某種條件時(shí)的討論.為了證明跳擴(kuò)散過程不變測度的唯一性，本文采用耦合方法并結(jié)合馬氏過程e-性質(zhì)．

定理1 設(shè)Xt為方程的唯一強(qiáng)解，假設(shè)下列兩個(gè)條件成立:1)存在常數(shù)κ〉0和η∈(1，2)，使得當(dāng)充分大時(shí)，2)假設(shè)存在常數(shù)δ〉0，使得對(duì)任意x，y∈Rd且則過程Xt具有唯一的不變測度π且對(duì)任意x∈Rd，當(dāng)T→∞時(shí)，Pt弱收斂于π．

1 不變測度的存在性

命題1 設(shè)Xt為方程 (1)的唯一強(qiáng)解，假設(shè)下列條件之一成立:

則過程Xt存在不變測度．

證明 文獻(xiàn)[3]的定理4.5指出，如果馬氏過程xt是Cb(Rd)-Feller連續(xù)且滿足下列的Foster-Lyapunov漂移條件:存在c，d〉0和緊函數(shù)f≥0，緊集C，使得對(duì)任意x∈Rd，則Xt具有不變測度．進(jìn)一步根據(jù)文獻(xiàn)[6]，可以選擇緊函數(shù)f屬于算子L的廣義定義域?D(L):={f:是關(guān)于Px的局部鞅}，其中Ft是Xt的自然信息域σ(Xs:s≤t)．根據(jù)文獻(xiàn)[6-8]，有D(L)?(L)，其中:(L):={f∈C2b(Rd): 函數(shù)是局部有界}．

由文獻(xiàn)[9]知道，跳擴(kuò)散過程X是Cb(Rd)-Feller連續(xù)．另外，設(shè)ρ∈C2(Rd)，使得當(dāng)其中 η ∈ (1，2);當(dāng)時(shí)，時(shí)，有對(duì)任意記V(x)=ρ(x)2-η，則?iV和?ijV局部有界，并且V∈D(L)?D?(L)．進(jìn)一步，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)x充分大時(shí)，根據(jù)式 (3)，LV(x)≤-κ(2-η)/2．根據(jù)方程 (1)系數(shù)的連續(xù)性，利用中值定理得到，對(duì)任意緊集C，存在d〉0，使得supx∈CLV(x)≤d．這樣，給出條件 (4)的成立性，從而證明命題1第一個(gè)結(jié)論．

為驗(yàn)證命題1第二個(gè)結(jié)論，只需考慮不等式 (6)．根據(jù)中值定理，有這樣

2 不變測度的唯一性

2.1 耦合過程的構(gòu)造

首先將式 (2)給出算子，寫成 L:=L1+L2，其中對(duì)于擴(kuò)散部分 L，使用起步走耦合(參見文獻(xiàn)[10])．設(shè)對(duì)任意x，y∈Rd，C(x，y)=σ(x)σ(y)*．這樣對(duì)應(yīng)的2d×2d 擴(kuò)散矩陣，漂移項(xiàng)為另一方面，L2的耦合算子定義如下:．這樣是式(2)給出算子L的耦合．根據(jù)文獻(xiàn) [8]，可以證明存在一耦合過程Zt:=(?Xt，?Yt)，使得當(dāng)t≥T時(shí)并且過程Zt在T時(shí)刻之前對(duì)應(yīng)的算子就是本文構(gòu)造的算子，其中T是Zt的耦合時(shí)間，即

引入一列輔助函數(shù){hn}n≥1，其中對(duì)任意n≥1，hn∈C2(R)，當(dāng)當(dāng)(參見文獻(xiàn) [6])．有命題2．

命題2 對(duì)任意x，y∈Rd且其中

2.2 不變概率測度的唯一性

首先給出不變概率測度與Wasserstein度量的關(guān)系．給定一度量函數(shù)φ和兩個(gè)概率測度P1，P2，則 φ-Wasserstein度量定義如下:其中 P 表示所有的關(guān)于 P1，P2的耦合測度[11-12]．

命題3 設(shè)馬氏轉(zhuǎn)移函數(shù)P(t，x，·)是Cb(Rd)-Feller連續(xù)且Foster-Lyapunov漂移條件式 (5)成立，假如存在δ，κ〉0，使得對(duì)任意有

2.3 定理1的證明

從命題1的證明過程可知，過程Xt是Cb(Rd)-Feller連續(xù)且Foster-Lyapunov漂移條件 (5)成立，從而過程具有不變概率測度．根據(jù)命題3，只要證明式(7)．采用2.1節(jié)中耦合算子和耦合過程，那么這樣只要證明，存在常數(shù)c〉0，使得對(duì)任意δ〉0且x，y∈Rd滿足根據(jù)文獻(xiàn)[8]定理2.1和命題2的證明可以得到該結(jié)論．

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