各向異性的非徑向DEA模型

龔曲華，李智勇

(1．福建江夏學(xué)院電子信息科學(xué)系，福建 福州350108;2．集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析 (Data Envelopment Analysis，簡稱DEA)是以相對效率概念為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)規(guī)劃為主要工具，根據(jù)多指標投入和多指標產(chǎn)出數(shù)據(jù)，對相同類型的單位 (部門或企業(yè))進行相對有效性或效益評價的一種新的方法．該方法通過建立規(guī)劃模型達到對決策單元進行評價的目的，本質(zhì)上是判斷決策單元是否位于生產(chǎn)前沿面上，它的主要優(yōu)點是可以對多個投入特別是多個產(chǎn)出的問題進行評價[1]．?dāng)?shù)據(jù)包絡(luò)分析最主要的兩個任務(wù)是:1)判定決策單元是否是DEA有效;2)對于非DEA有效的決策單元，給出改善方案，使之成為DEA有效．對于非DEA有效的DMU，目前普遍的改善辦法是:以非DEA有效的DMU在生產(chǎn)前沿面上的投影作為改善后的DMU[2]．DEA已廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，如物流企業(yè)生產(chǎn)分析[3]、證券投資基金管理[4]等．

一般而言，DEA模型一旦選定，相應(yīng)的投影策略也隨之確定．DEA模型包括兩大類:徑向DEA模型 (radial model)和非徑向DEA模型 (non-radial model)．徑向DEA模型包括輸入型DEA模型和輸出型DEA模型，常見的模型有:輸入型 (輸出型)CCR模型，輸入型 (輸出型)BCC模型，輸入型 (輸出型)FG模型和輸入型 (輸出型)ST模型．它們所對應(yīng)的投影策略存在一個共同的特點:或者同步縮小輸入指標值，或者同步放大輸出指標值，稱為各向同性．因此，必須借助其他的輔助模型才能知道是哪一個指標導(dǎo)致了DMU的非DEA有效，這在現(xiàn)實中是不合理的，因為各個輸入輸出指標的角色并不完全一樣．于是研究者開始關(guān)注非徑向DEA模型，相繼出現(xiàn)了加權(quán)的非徑向DEA模型和Russell模型等．這些非徑向DEA模型，或者難于解釋，或者難于求解．以Russell模型為例，它兼具理論和應(yīng)用雙重價值，并成功克服了徑向DEA模型的上述缺點．該模型存在已久，于1978年由Fare和Lovell[5]共同提出．但是，因為該模型是一個非線性規(guī)劃模型，難于求解，所以盡管生產(chǎn)經(jīng)濟學(xué)已經(jīng)證明它比一般的模型更合理，但該模型還是長期受到研究者的冷遇．直到2006年，Sueyoshi等人[6]指出該模型等價于一個二次錐規(guī)劃模型 (second-order cone programming)，才給出了該模型的一個比較合理的求解方法．盡管如此，實際工作者還是不喜歡該模型，因為它需要引入太多的輔助變量才能說明其等價性，太多的輔助變量也增加了問題的求解規(guī)模．因此，一個好的DEA模型起碼應(yīng)具備2點:1)模型有意義且易求解;2)模型易解釋且對實際問題有指導(dǎo)作用．基于上述目標，并結(jié)合徑向型DEA模型易于求解的優(yōu)點，本文提出一種新的非徑向型DEA模型．

1 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析

早在1951年，Koopmans[7]就提出了有效性度量的概念．之后，各種單輸入單輸出的有效性度量方法相繼被提出．1957年，F(xiàn)arrell[8]考慮了多輸入多輸出的有效性度量方法，同時還提出了經(jīng)典的雙輸入單輸出的有效性度量方法．1978年，著名的運籌學(xué)家Charnes等人從數(shù)學(xué)規(guī)劃角度將有效性度量推廣到多輸入多輸出的情形，提出了第一個數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型——CCR模型[9]，開啟了DEA研究的先河．之后，相繼出現(xiàn)了比較有代表性的BCC模型、FG模型和ST模型．1996年，Yu等人給出了CCR模型、BCC模型、FG模型和ST模型的統(tǒng)一形式的綜合模型[10]．

假設(shè)有n個決策單元{DMUi}ni=1，每個DMU有m個輸入和s個輸出，DMUi的輸入向量和輸出向量分別為 Xi=(x1i，x2i，…，xmi)T，Yi=(y1i，y2i，…，ysi)T，i=1，2，…，n ．綜合模型形式如下[2]:

生產(chǎn)可能集 (Production Possibility Set)是DEA領(lǐng)域的一個關(guān)鍵概念，定義為:其中投入X，可產(chǎn)出Y}．它的形式是由不同的公理體系唯一確定的．在實際應(yīng)用中，往往根據(jù)特定的經(jīng)濟環(huán)境和經(jīng)濟特性，以及用生產(chǎn)可能集去刻畫的具體事物和用來表述的特征的不同，采取各種關(guān)于生產(chǎn)可能集的公理體系，唯一形式地確定出生產(chǎn)可能集的結(jié)構(gòu) (數(shù)學(xué)的表示形式)．?dāng)?shù)理經(jīng)濟學(xué)的一個重要的研究方法就是:利用公理體系，經(jīng)過數(shù)學(xué)推理和證明，確定出經(jīng)濟系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)．式 (1)所對應(yīng)的生產(chǎn)可能集為:

定理1[2]式 (1)對偶規(guī)劃為:

當(dāng)δ1=0時，式 (1)即為CCR模型，

1，δ2=0時，式 (1)即為BCC模型0};當(dāng)δ1=δ2=1，δ3=0時，式 (1)即為FG模型當(dāng)δ1=δ2=δ3=1時，式 (1)即為ST模型

為了定義DEA有效性，介紹如下兩個規(guī)劃:其中:1s=(1，…，1)T∈ Rs，1m=(1，…，1)T∈ Rm，F(xiàn)(X，Y)=(X1，…，Xm，-Y1，…，-Ys)T．

定義1(DEA有效) 稱DMU(Xk，Yk)是DEA有效，如果它是式 (4)的Pareto解，即不存在(X，Y)∈ TDEA，使得 F(X，Y)≤ F(Xk，Yk)，F(xiàn)(X，Y)≠ F(Xk，Yk)．

注:也有些文獻[11]是通過相對有效值和松弛變量定義DEA有效性，然后證明DEA有效與Pareto解是等價的．兩種定義方法異曲同工．

定理2[11]以下論述等價:1)DMU(X，Y)是 DEA有效;2)式 (2)的最優(yōu)值等于1且式

(3)的最優(yōu)值等于0．

注:若式 (2)的最優(yōu)值等于1但式 (3)的最優(yōu)值大于0，則稱之為弱DEA有效．

定義2(投影)設(shè)?θ*是式(2)的最優(yōu)值，(ˉs*，^s*)是式(3)的最優(yōu)解．令則稱為DMUk在生產(chǎn)可能集TDEA的生產(chǎn)前沿面上的投影．

定理3[2](投影定理) 設(shè)如上述定義，則是DEA有效．

可以用圖1來說明上述基于“投影”的非DEA有效的DMU改善過程．實際上改善過程包含兩個部分:其一，各個輸入指標同步縮小，直至位于生產(chǎn)前沿面上 (即弱DEA有效);其二，去除一些多余的輸入，使之成為Pareto解，即DEA有效．決策單元A(E)的改善過程是:A?B?C，E?F．這樣的改善過程有兩個不足:1)只能改變輸入指標值，不能改變輸出指標值;2)輸入指標需首先同步縮?。鲜鼋榻B的是輸入型DEA模型，同樣結(jié)論與推導(dǎo)過程可以用于輸出型的DEA模型．

圖1 決策單元投影圖（單位輸出）Fig.1 Decision making unit projection

2 各向異性的DEA模型

定義2中基于投影的決策單元的改善策略具有同步縮小輸入指標 (稱為各向同性)的特點，這在實際應(yīng)用中是不合理的，每個輸入輸出指標的權(quán)重是不一樣的．自然地，對各個輸入指標的調(diào)整也不能等同看待．因此，本節(jié)旨在建立一個能體現(xiàn)各輸入指標權(quán)重的各向異性的一個新的DEA模型．

定義3(Hadmard乘積算子) 設(shè)x=(x1，…，xn)T∈Rn，y=(y1，…，yn)T∈Rn，稱(x1y1，…，xnyn)T為x，y的Harmard乘積，記為x?y．

考慮如下互為對偶的DEA模型

其中，a〉0(b〉0)∈Rm(Rs)是任意常向量，δ1，δ2是取值于{-1，0，1}的常數(shù)．

也可以將式 (6)寫成如下的簡便形式

定理4 式 (5)和式 (6)互為對偶．

證明 直接利用線性規(guī)劃的對偶定理即知．

定義如下的多目標規(guī)劃:

其中，F(xiàn)(X，Y)=(X1，…，Xm，-Y1，…，-Ys)T．

定理5 設(shè)a〉0(b〉0)∈Rm(Rs)是任意給定的常向量，δ1，δ2是取值于(-1，0，1)的常數(shù)，且所有的輸入輸出都是正值，則以下論斷等價:1)式 (5)的最優(yōu)值等于0;2)式 (6)的最優(yōu)值等于0;3)(1Ts，1Tm)T是式 (6)的一個最優(yōu)解;4)(Xk，Yk)是式 (8)的Pareto解．

證明 1)?2)易知，式 (5)有可行解:w=0;μ=0;μ0=0，式 (6)有可行解:θ=(θ1，…，θk，…，θm)=(1，…，1，…，1)，φ =(φ1，…，φk，…，φs)=(1，…，1，…，1)，λ =(λ1，…，λk，…，λn)=(0，…，1，…，0)，ξ=0．故式 (5)和式 (6)均有可行解，從而由線性規(guī)劃理論可知，式 (5)和式(6)有相同的最優(yōu)值．

2)?3)很顯然．

3)?4)．設(shè)式(6)的最優(yōu)值等于0，如果(Xk，Yk)不是式(8)的Pareto解，那么存在使得令(θ，φ 不會均為恒一向量)，從而與假設(shè)矛盾．

3)?4)．設(shè)(Xk，Yk)是式 (8)的一個Pareto解．若存在式 (6)的最優(yōu)解(θ*，φ*)，使得則0≤θ*≤1m，φ*≥1s(θ*，φ*不會均為恒一向量)，從而(θ*?Xk，-φ*?Yk)≤(xk-yk)，(θ*?Xk，φ*?Yk)≠ (Xk，Yk)，與假設(shè)矛盾．

定義5(投影) 設(shè)(θ*，φ*)是式 (7)的最優(yōu)解．令則稱為DMUk在生產(chǎn)可能集的生產(chǎn)前沿面上的投影．

證明 若(θ*，φ*)是式 (6)的一個最優(yōu)解則(1T，1T)T是ms的一個最優(yōu)解，由定理5即知．

易知，基于定義5非有效DMU的改善策略，沒有把所有的輸入指標 (輸出指標)看成同等重要．它的改善依據(jù)是，哪個指標導(dǎo)致了DMU的非有效，就改善該指標，這是比較科學(xué)的方法．

可知:1)當(dāng)δ1=0，δ2=0時，式 (5)即為式 (9)，式 (6)即為式 (10)，即為TCCR;2)當(dāng)δ1=1，δ2=0時，式 (5)即為式 (11)，式 (10)即為式 (12)，即為 TBCC;3)當(dāng) δ1= －1，δ2=1時，式 (5)即為式 (11)，式 (6)即為式 (14)，即為TFG;4)當(dāng)δ1=1，δ2=1時，式(5)即為式 (15)，式 (6)即為式 (16)，即為 TST．

由投影定理很容易得到下面的兩個推論．

推論11)式 (9)和式 (10)互為對偶;2)式 (11)和式 (12)互為對偶;3)式 (13)和式 (14)互為對偶;式 (15)和式 (16)互為對偶．

3 例子分析

現(xiàn)以文獻[11]所提供的雙輸入單輸出的DMU為例，分別應(yīng)用式 (10)模型和非阿基米德無窮小CCR模型，分析計算結(jié)果．其中，非阿基米德無窮小CCR模型指的是:

其中ε是非阿基米德無窮小 (即小于任何正數(shù)且大于0的數(shù))．

例1 考慮具有6個DMC的模型，輸入和輸出數(shù)據(jù)如下:

例1的正確結(jié)果是:DMU3、DMU4和DMU5是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的，而DMU6是弱CCR有效的．此處的“非CCR有效的DMU”指的是:對應(yīng)的CCR有效值小于1的DMU，“弱CCR有效的DMU”指的是:對應(yīng)的CCR有效值等于1的DMU，但不是CCR有效的DMU，“CCR有效的DMU”同定義1．

運用非阿基米德無窮小CCR模型式 (17)，不同的參數(shù)得到的CCR有效的決策單元卻不一樣．記為DMUi所對應(yīng)的式(17)的最優(yōu)解．考慮以下兩種參數(shù)的選擇:1)ε=10－5，經(jīng)計算可知故DMU3、DMU4、DMU5和DMU6是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的;2)ε=10－9，經(jīng)計算可知故DMU3，DMU4和DMU5是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的，而DMU6是弱CCR有效的．不同的參數(shù)得到的結(jié)果不盡一樣，現(xiàn)實中，無從知曉ε到底該取多小，太大擔(dān)心結(jié)果不精確，太小又擔(dān)心影響計算精度．

再考慮式 (10)模型．記(θ*，φ*)是式 (10)的一個最優(yōu)解，取a=(1，…，1)∈Rm，b=(1，…，1)∈ Rn，計算結(jié)果如下:故DMU3、DMU4和DMU5是CCR有效的，DMU1和DMU2是非CCR有效的，而DMU6是弱CCR有效的，與真實結(jié)果一致．并且可驗證，依據(jù)定義5得到的改進的DMU的確變?yōu)镃CR有效的．

4 結(jié)論

與傳統(tǒng)的模型相比較，新模型有如下幾個優(yōu)點:1)全面解決了DEA有效性的判定問題;2)在改善非DEA有效的DMU方面更合理、更科學(xué);3)涵蓋TCCR、TBCC、TFG和TST4種生產(chǎn)可能集，是一種綜合性的DEA模型，同時它無需區(qū)分是輸入型DEA模型還是輸出型DEA模型;4)為“帶偏好錐”的DEA模型研究提供了新的思路．

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