《算學(xué)課藝》的力學(xué)問題與京師同文館數(shù)學(xué)教育

聶馥玲

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 科學(xué)技術(shù)史研究院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

京師同文館，清政府于1862年設(shè)立，最初以培養(yǎng)外語人才為主，1867年設(shè)立天文算學(xué)館，由當(dāng)時著名數(shù)學(xué)家李善蘭擔(dān)任算學(xué)教習(xí)。經(jīng)長期的教學(xué)，天文算學(xué)館積累了許多問題及其答案，后由副教習(xí)席凎、貴榮編輯成《算學(xué)課藝》?！端銓W(xué)課藝》是當(dāng)時同文館數(shù)學(xué)教學(xué)成效的具體例證，是研究晚清數(shù)學(xué)教學(xué)的很好素材。［1］同文館數(shù)學(xué)教育對當(dāng)時西方近代數(shù)學(xué)的傳播產(chǎn)生了很大的影響，［2］受到學(xué)界的普遍關(guān)注，學(xué)者對《算學(xué)課藝》的 內(nèi)容、［1］，［3］影響［4］等進(jìn)行了研究。但這些研究主要針對《算學(xué)課藝》中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，對其中的力學(xué)內(nèi)容及其應(yīng)用，以及對西方力學(xué)傳播產(chǎn)生的影響少有探討。本文對《算學(xué)課藝》中的力學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，以此理解同文館數(shù)學(xué)教育的一側(cè)面。

一、《算學(xué)課藝》簡介

《算學(xué)課藝》，［5］由李善蘭閱定，席淦、貴榮編次，熊方柏、陳壽田、胡玉麟、李逢春同校，于光緒庚辰（1880）年出版。收錄52位學(xué)生的課藝，總計198題。每卷之首題署“同文館算學(xué)教習(xí)李壬叔先生閱定，副教習(xí)席淦、貴榮編次，肄業(yè)生熊方柏、陳壽田、胡玉麟、李逢春同?！薄？偨塘?xí)丁韙良光緒六年序稱：“開館以來十有余載，茲由副教習(xí)席淦、貴榮等將所積試卷選輯四帙，顏曰《算學(xué)課藝》?！?/p>

《算學(xué)課藝》共四卷。第一卷50題，為天文（20題）、力學(xué)（30題）；其余為數(shù)學(xué)（二、三、四卷分別為46題、42題、60題）。內(nèi)容涉及很廣，包括中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)、西方數(shù)學(xué)以及天文和力學(xué)等方面?！胺蔡煳摹⒌乩?、火器、測量均為切實之要端”，“其題以弧角、重學(xué)、勾股為最多，頗有精理”。［6］

力學(xué)題集中在第一卷中，天文學(xué)和數(shù)學(xué)中也有少量內(nèi)容涉及力學(xué)知識、原理問題，總共全書有34個力學(xué)問題，占到了全書內(nèi)容的17%。

另外書中還有一題多解的情況，如席淦和楊兆鋆分別用了不同方法對于15、16兩個重心的問題給予解答。為什么在“算學(xué)課藝”中錄入相當(dāng)數(shù)量的力學(xué)問題，丁韙良為該書寫的序言中講到：“蓋格物為算學(xué)之用，而算學(xué)為格物之本。故學(xué)算而不及格物則虛薄而無憑，格物而不籍算學(xué)則淺嘗而不入。譬諸鑿井者，其器不利，僅得石罅之細(xì)流，利則通泉脈而達(dá)重淵。器之為用大矣哉！太西格致之學(xué)日興者無他，亦只善用古人之器而已。顧當(dāng)時創(chuàng)術(shù)者不過慕其理之真切，初未料為用如是之廣。甚有謂算數(shù)為五行外別創(chuàng)世界，騖于高論而不屑用于俗事，殊不知算學(xué)之窔奧正寓于事物之尋常，雖匠氏之規(guī)矩準(zhǔn)繩尤不及也。希臘地處偏隅，舟楫未出大洋，今航海者本其測算之術(shù)，履險如夷。在希人不過研究弧角之理，又何嘗思及通商海外乎？是知實學(xué)原無求效之心，而利益自在其中矣。近代攻格致諸學(xué)者知算學(xué)利國便民，于古人所遺法度，推廣以闡其微，則是別創(chuàng)世界之中著開疆拓土之功，不啻以遠(yuǎn)鏡窺天而覺天高于古，以輪艘渡海而覺地廣于古也。觀夫以代數(shù)用于幾何、勾股各種曲線，以微積用于各面、各體游刃于虛，勢如破竹，不但格致制器等學(xué)標(biāo)新領(lǐng)異，即算學(xué)亦極深研幾。好事者設(shè)會，共相策勵，月刊、算報以傳播難題妙法，其用心洵可嘉矣?！酿^內(nèi)分設(shè)專館以攻歷算格致諸學(xué)，殆深知富強之道寓于此焉?！?/p>

上述內(nèi)容表達(dá)了數(shù)學(xué)與其他格致之學(xué)的密切關(guān)系、數(shù)學(xué)在解決問題時的顯著功效和數(shù)學(xué)與國之富強之關(guān)系。這里把數(shù)學(xué)作為了解決格致之學(xué)的問題與富國強民之根本。而力學(xué)是制器之學(xué)，天文學(xué)是測天之學(xué)，這些學(xué)科“均為切實之要端”，故《算學(xué)課藝》中的力學(xué)與天文學(xué)問題可以展示數(shù)學(xué)的妙處。因此，《算學(xué)課藝》不僅是考察數(shù)學(xué)教育的重要文獻(xiàn)，同時也是考察西方力學(xué)在晚清吸收、消化、傳播的最好的研究對象，同時也是研究晚清數(shù)學(xué)教育的特點的重要文本。

二、《算學(xué)課藝》中的力學(xué)問題

西方力學(xué)明末清初傳入中國，主要是古典靜力學(xué)和零星的近代動力學(xué)知識。鴉片戰(zhàn)爭之后，系統(tǒng)的經(jīng)典力學(xué)內(nèi)容開始傳入，其中傳入最早、最為系統(tǒng)的是李善蘭和艾約瑟翻譯的《重學(xué)》。該書包括了當(dāng)時西方經(jīng)典力學(xué)的幾乎所有知識，數(shù)學(xué)上應(yīng)用了代數(shù)學(xué)和微積分，采用公理化體系。就經(jīng)典力學(xué)的整體內(nèi)容而言，《重學(xué)》中沒有涉及圓周運動，只是給出了處理曲線運動的一般方法；動能定理的表述也不夠規(guī)范（動能表達(dá)式是mv2而不是日譯教科書如《物理學(xué)》、《力學(xué)課編》等傳入之后，這部分知識在晚清有完整的表述。從總體而言，晚清傳入的其他力學(xué)著作的知識難度都沒有超出重學(xué)。

《算學(xué)課藝》中涉及的力學(xué)問題如表1，其特點如下：

（1）涉及的內(nèi)容廣泛?！端銓W(xué)課藝》涵蓋了《重學(xué)》中的大部分主要內(nèi)容，也基本覆蓋了晚清傳入的大部分經(jīng)典力學(xué)的內(nèi)容。在34個力學(xué)問題中包含了靜力學(xué)、動力學(xué)、運動學(xué)的內(nèi)容。最多的是拋體和重心問題，均為10個。另外，還涉及萬有引力定律（2個）、流體力學(xué)（3個）、簡單機械（3個，直桿、曲桿、輪軸）、比重2個，碰撞問題、速度的合成、動能定理、剛體平衡等各1個，詳見表1。

（2）力學(xué)知識難度較大?！端銓W(xué)課藝》不僅包括初等、中等力學(xué)問題，如重心問題、碰撞問題、運動的合成與分解、拋體問題等，也涉及高等力學(xué)知識，如剛體的轉(zhuǎn)動等。如25題：“凡懸輪其每點所具之力按距軸心自乘正比，其理若何？”汪鳳藻對該題的答案是：力這里的力是現(xiàn)在的力矩，角速是角加速度，質(zhì)重為質(zhì)量，表達(dá)為現(xiàn)在的公式則是為圓盤繞過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量，β為角加速度。此題涉及到剛體轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程。這部分內(nèi)容是晚清力學(xué)傳播的薄弱環(huán)節(jié)，自《重學(xué)》傳入之后，除了在《實務(wù)通考》中有所涉及之外，其他編譯書籍中少有提及。［7］

表1 《算學(xué)課藝》中涉及的力學(xué)問題

（3）比較注重知識的更新，如涉及到了動能定理，由于動能定理在19世紀(jì)30年代之后有完整表述，李善蘭翻譯《重學(xué)》時，《重學(xué)》中的動能的表達(dá)還只是mv2，但在20題陳壽田的答卷中卻有完整的表述，這說明在教學(xué)中，李善蘭不僅傳授《重學(xué)》中的內(nèi)容，還注意《重學(xué)》中不完備知識的更新。

（4）《算學(xué)課藝》中術(shù)語和表示方式基本沿用了《重學(xué)》中的術(shù)語和表示方式。如符號和表示方式還是用到中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的天元術(shù)，用天、地、人、物表示未知數(shù)，分?jǐn)?shù)的表示法，仍然使用分子在下，分母在上等，這與李善蘭翻譯的《重學(xué)》、《代微積拾級》等著作的符號使用基本相同。術(shù)語也大部分使用了《重學(xué)》中的術(shù)語，如“重距積”（力矩），“地力”（重力加速度），“倚點”（支點），“凸力”（彈性力），“最遠(yuǎn)界”（射程）等。

從上述分析來看，《算學(xué)課藝》所涉及的力學(xué)內(nèi)容較為全面，而且也達(dá)到了一定的難度，特別是動力學(xué)中的拋體問題、碰撞問題、剛體轉(zhuǎn)動等問題都有涉及，這在當(dāng)時的力學(xué)知識的教學(xué)中是少有的。從所涉及的內(nèi)容來看，也能看出重心問題和拋體問題在當(dāng)時受到了特別的重視，這兩類問題的總數(shù)達(dá)到了全部力學(xué)問題的近三分之二。這一點與晚清力學(xué)傳播的整體情況是一致的。［8］

三、《算學(xué)課藝》數(shù)學(xué)應(yīng)用的影響

晚清算學(xué)課藝很多［9］，［3］，但大部分算學(xué)課藝都是純數(shù)學(xué)問題，像同文館《算學(xué)課藝》這樣涉及這么多力學(xué)問題的還非常少見。這種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式也產(chǎn)生一定影響，如，楊兆鋆的《須曼精廬算學(xué)》也有同樣的風(fēng)格。

楊兆鋆（1854－？）字誠之，號須圃，浙江烏程人。同治六年（公元1867年）入上海廣方言館。同治十年（公元1871年）由兩江總督曾國藩第二次咨送到京師同文館英文館學(xué)習(xí)。光緒五年（公元1879年），楊兆鋆畢業(yè)后升遷出館，任蘇松太道公署翻譯。光緒十年（公元1884年），隨許景澄公使出洋。歸國后，以道員身分發(fā)江蘇補用。光緒十九年（公元1893年），楊兆鋆任金陵同文館教習(xí)，兼授算學(xué)。楊兆鋆1898年撰寫完成《須曼精廬算學(xué)》［10］二十四卷，但沒有刊刻。1916年才由浙江吳興劉承干嘉業(yè)堂刊刻，1986年浙江圖書館文物出版社據(jù)吳興劉氏嘉業(yè)堂本影印與《嬰桐廬算剩》合刻成七冊［11］。

楊兆鋆在算學(xué)方面有很深造詣，其算學(xué)才能得到李善蘭、席淦等人的高度贊賞。席淦在《須曼精廬算學(xué)》原序中說：“從游者六七十了，觀察年最少，而資凜獨異，遇有算學(xué)疑難問題，他人百思而不獲者，觀察則以數(shù)言解決之。每一稿出，皆相顧駭服。壬師時加批獎，有游心藕絲孔中之喻”。［10］楊兆鋆的“資凜獨異”從他在《算學(xué)課藝》中力學(xué)問題答卷的數(shù)量和涉及的問題也可見一斑。從表1看到，《算學(xué)課藝》中同一人的力學(xué)問題答卷最多的是汪鳳藻、貴榮和楊兆鋆，各4份，其次王宗福3份，其余的2份或1份。其中楊兆鋆的4份答卷中，剛體平衡1份，重心2份，碰撞1份，涉及的問題有一定難度。由此可說明楊兆鋆在同文館時期成績比較突出。

楊兆鋆的《須曼精廬算學(xué)》大部分內(nèi)容源于在京師同文館中所學(xué)，如其在自序中稱“凡六年受于李壬叔先生（即李善蘭）者，釐定若干卷”?！俄毬珡]算學(xué)》涉及圓錐三曲線、天文歷法、重學(xué)、幾何、垛積、不定方程等方面的內(nèi)容。卷六、七、八涉及力學(xué)問題，分別是“力學(xué)探原”，“重心釋理”，“動定格物”。

“力學(xué)探原”涉及力的合成分解和碰撞問題，還涉及了速度的合成分解?！爸匦尼尷怼敝饕婕爸匦膯栴}和部分剛體平衡問題，包括直角三角形、等邊與不等邊三角形、半圓形、四分之一圓，120度圓面，60度圓面的重心、不等邊六邊形的重心以及質(zhì)點系的重心等問題，還涉及了負(fù)面積法求重心，即物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴的物體）的重心問題的求解?！皠佣ǜ裎铩鄙婕傲藙蜃兯龠\動，其中包括自由落體、豎直上拋運動，也有液體的壓力、壓強、密度等問題。在這些內(nèi)容中沒有力學(xué)概念、定理、定律的介紹，各部分內(nèi)容以例題的形式來體現(xiàn)力學(xué)問題中數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，與《算學(xué)課藝》的形式極為相同。

另外，《須曼精廬算學(xué)》中還有一些問題直接來源于《重學(xué)》，如“有三角鐵板重一百二十斤，其三邊三四五之勾股形與三角，承以三柱，三柱所受壓力各若干。”此題與《重學(xué)》卷六“論剛質(zhì)相定之理”，“假如有剛體加于三垂足架上，求每足抵力。”的題的內(nèi)容相似，如圖1－1與1－2。又如“凡重物于垂圓面之周，不論何處由通經(jīng)行至底點其時相等，試解其理?！迸c《重學(xué)》卷十“論加速及互相牽引之理”第三款：“設(shè)平圓面直交地平，自頂點至圓界做諸通弦，則物在任何通弦下行自頂點至末點時刻俱等”相似，如圖2－1和2－2。這兩個問題基本是《重學(xué)》中兩個問題的變形。

從《須曼精廬算學(xué)》的內(nèi)容來看，大部分類型問題均可在《同文館算學(xué)課藝》中找到源頭。［12］而力學(xué)問題基本來源于《重學(xué)》。由此可以看出，楊兆鋆不僅在數(shù)學(xué)上受李善蘭影響，在對數(shù)學(xué)問題的思考、應(yīng)用上也受到李善蘭的影響。

從西方科學(xué)的發(fā)展歷程來看，數(shù)學(xué)與力學(xué)是密不可分的，所以有“混合數(shù)學(xué)”（mix mathematics）之稱，力學(xué)從數(shù)學(xué)獨立出來也是近代以后的事。晚清李善蘭與艾約瑟翻譯的《重學(xué)》的英文原本是休厄爾（William Whewell，1794－1866）著的 An Elementary Treatise on Mechanics。該書是劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)改革的結(jié)果，其主要目的是引進(jìn)法國分析數(shù)學(xué)，主要方法是要將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于物理問題，以便讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。［13］數(shù)學(xué)在西方那個時期的科學(xué)中，仍然占據(jù)著統(tǒng)治地位。其中力學(xué)也就成為數(shù)學(xué)物理學(xué)或混合數(shù)學(xué)。

從這一點上看，《算學(xué)課藝》選擇較多數(shù)量的力學(xué)問題某種程度上反映了數(shù)學(xué)與力學(xué)的天然的關(guān)系。而從傳播力學(xué)知識的角度而言，《算學(xué)課藝》的內(nèi)容和形式在晚清的力學(xué)傳播中也是屈指可數(shù)的。晚清西方經(jīng)典力學(xué)傳入之后，也有一些有“重學(xué)”或“力學(xué)”字樣的叢書中專門探討力學(xué)內(nèi)容，其內(nèi)容多是概念的摘抄梳理，有的雖然有“測算”的字樣，但實際上力學(xué)的定量化方法被濾掉，代之以大量的知識點的梳理，基本沒有體現(xiàn)用數(shù)學(xué)工具解決力學(xué)問題的方法。這是晚清力學(xué)傳播的特點，也是缺憾。但在同文館的數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠貫穿如此豐富的力學(xué)知識，非常難得。正如丁韙良對他們的成就大加贊賞：“閱者于諸生造詣亦可略見一斑，是皆李壬叔先生教授之力也。嗚呼！合中西之各術(shù)，紹古圣之心傳，使算學(xué)復(fù)興于世者非壬叔，吾誰與歸？將來果能開歷算之科以取士，定見奇才輩出，而天下儒林亦莫不肄業(yè)及之，則防海御邊諸策皆不期而自備矣。”［5］

從對《算學(xué)課藝》中的力學(xué)問題的分析中可以看到京師同文館的數(shù)學(xué)教學(xué)的一個側(cè)面，不僅有純數(shù)學(xué)問題的探討，同時也有用數(shù)學(xué)解決力學(xué)、天文學(xué)問題的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)不僅是抽象的、邏輯的，而且“算學(xué)之窔奧正寓于事物之尋?！?，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實際問題時的奇妙之處。從這個意義上講，京師同文館的數(shù)學(xué)教學(xué)也值得我們現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的借鑒。

［注釋］

①最初某布尼茲取mv2為活力，而不是mv2/2，到19世紀(jì)20年代，當(dāng)代法國學(xué)者科里奧利引進(jìn)功的概念后，才成為mv2/2。

［1］李兆華.中國數(shù)學(xué)史大系（第8卷）［M］.北京師范大學(xué)出版社，2000.276.

［2］李兆華.中國近代數(shù)學(xué)教育史稿［M］.山東教育出版社，2005.45.

［3］李兆華.晚清算學(xué)課藝考察［J］.自然科學(xué)史研究，2006（4）：322－342.

［4］繆悅.從京師同文館算學(xué)試題看早期的新式數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報（教育科學(xué)版），2010（2）：82－85.

［5］席凎，貴榮.算學(xué)課藝［M］.光緒六年（1880）同文館聚珍版.

［6］丁福保.四部總錄算法編［M］.文物出版社，1984.

［7］聶馥玲.晚清《時務(wù)通考》對西方力學(xué)知識的傳播［J］.力學(xué)與實踐，2012（1）：111－115.

［8］聶馥玲.晚清匯編叢書對力學(xué)知識的傳播［J］.西北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（3）：527－532.

［9］李迪.清末的書院與"算學(xué)課藝"［C］.中日近現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育史（第三卷），ハンカイ出版印刷株式會社，1999.146－153.

［10］楊兆鋆.須曼精廬算學(xué)［M］.吳興嘉業(yè)堂刊刻，1916.

［11］王全來.同文館畢業(yè)生楊兆鋆及其數(shù)學(xué)工作［D］.天津師范大學(xué)碩士論文，2001.10.

［12］王全來.清末數(shù)學(xué)教育的一個案分析－－李善蘭數(shù)學(xué)工作對楊兆望的影響［J］.廣西民族大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008（3）：27－30.

［13］Todhunter.William Whewell，D.D.Master of Trinity College Cambridge：An Account of his Writings with Selection from his Literary and Scientific Correspondence（2vols）［M］.London，1876：16.