三次函數(shù)的幾何性質(zhì)

玉邴圖

（廣南縣第一中學(xué)，云南 廣南 663300）

三次函數(shù)的幾何性質(zhì)

玉邴圖

（廣南縣第一中學(xué)，云南 廣南 663300）

新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置導(dǎo)數(shù)以后，中學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)刊論述三次函數(shù)代數(shù)性質(zhì)的文章多不勝數(shù)，而論述三次函數(shù)幾何性質(zhì)的卻寥寥無幾。為此，文章從幾何角度對(duì)三次函數(shù)進(jìn)行研究，得到三次函數(shù)極值點(diǎn)的一組幾何性質(zhì)，它對(duì)解答或編擬三次函數(shù)的創(chuàng)新題目具有廣泛的應(yīng)用。

三次函數(shù)；幾何性質(zhì)；應(yīng)用

定理1三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，兩個(gè)極值點(diǎn)連線的斜率。

證明：設(shè)兩個(gè)極值點(diǎn)為P（x1，y1），Q（x2，y2），則

因?yàn)閒 '（x）= 3ax2+2bx+c，令f '（x）= 0得方程3ax2+2bx+c = 0 （2）

要使三次函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程（2）須有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即。由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系知x1，x2是方程（2）的兩個(gè)根，y1=ax13+bx12+cx1+d ，y2=ax23+bx22+cx2+d，（此段內(nèi)容，以下同，不再論述），由（1）得

定理2三次函數(shù)導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之差的絕對(duì)值。

證明：由題意和方程（2）得兩個(gè)零點(diǎn)之差的絕對(duì)值。

定理3三次函數(shù)的兩個(gè)極值之差的絕對(duì)值。

證明：由定理2及應(yīng)用方程（2）根與系數(shù)的關(guān)系得

定理4三次函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)間的距離。

定理5三次函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)和原點(diǎn)組成的三角形面積，，|A|表示對(duì)行列式A的值取絕對(duì)值。

證明：因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)為O（0，0），故該三角形面積為

故，由（4）和定理2得

將方程（2）的兩根之和與積代入（5）得

定理6三次函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)與其圖像和y軸交點(diǎn)組成的三角形面積，|B|表示對(duì)行列式B的值取絕對(duì)值。

證明方法與定理5相仿，從略。

定理7三次函數(shù)兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)是。

定理8設(shè)三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，則

① 當(dāng)a為參數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是y = 2bx2+cx+d；

② 當(dāng)b為參數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是y = -2ax3+cx+d。

證明：設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）由定理7得

定理9函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為P，Q，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OQ⊥OP的充分必要條件是

證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），而O（0，0），則由題意得

按向量數(shù)量積運(yùn)算法則，將其整理成x1+x2與x1x2的形式以后，將方程（2）的兩根之和與積代入整理得18abcd+b2c2-4ac3-27a2d2-4b3d-9ac = 0。

定理10函數(shù)f（x）= ax3+bx2+cx+d（a≠0，兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)其圖像與y軸的交點(diǎn)張直角的充分必要條件是4ac2-b2c+9a = 0。

證明思路和方法與定理9相仿，從略。

三次函數(shù)是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)且占分值比較重，但是，縱觀近十年高考的三次函數(shù)題，都是常見的常規(guī)題型，創(chuàng)新問題不多，有了上述幾個(gè)定理，可很方便地編擬一些有創(chuàng)意的題目，下面略舉數(shù)例說明。

例1求經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且垂直于函數(shù)f（x）= -x3+2x2+2x+3兩個(gè)極值點(diǎn)P，Q連線L的直線方程。

例2已知三次函數(shù)的兩個(gè)極值之差的絕對(duì)值是2，求的值。

例3三次函數(shù)f（x）= x3+2x2-2x+1兩個(gè)極值點(diǎn)為P，Q，其圖像和y軸交點(diǎn)為M，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形PQO的面積為S1，三角形PQM的面積為S2，求。

［1］劉宜兵.實(shí)系數(shù)一元三次方程實(shí)根的一個(gè)判別法［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011（4）：37-38.

On the Geometric Properties of Cubic Function

YU Bing-tu
(No. 1 Middle School, Guangnan 663300, China)

After derivative is introduced in the new curriculum standards for the high school math, a lot of papers arouse which discuss algebraic properties of cubic function, but there are few that discuss the geometric properties of cubic function. Therefore, the paper, from a geometric point of view, studies the cubic function, and obtains a set of extreme points of geometric properties that has wide application for innovating cubic functions test paper.

Cubic function; geometric properties; application

O122

A

1674-9200（2013）03-0034-03

（責(zé)任編輯 李世云）

2013 - 03 - 25

玉邴圖（1958 -），男，云南廣南人，云南省特級(jí)教師，全國模范教師，云南省委聯(lián)系專家，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和解析幾何理論研究。