不定方程y2=x3－13的初等解法

熊 軍，敬 勇

（1.重慶育才中學，重慶400050;2.西南財經(jīng)大學數(shù)學系，成都 610074）

利用代數(shù)數(shù)論知識［1－2］，易知不定方程

僅有解x=17，y=±70.下面避開代數(shù)數(shù)論，給出它的初等解法.

先作一些準備工作.考察不定方程

其中n∈Z+，n＞13 并且（n，13）=1.

若{x1，y1}為式（1）的解，滿足（x1，y1）=1，則稱{x1，y1}為式（1）的本原解.

引理1 若式（1）有本原解，則同余方程

有解.

證明 令{x1，y1}是式（1）的一組本原解，則（x1y1，n）=1，于是同余方程

有解，因此S2y21≡x21≡－13y2（modn），從而S2≡－13（modn）.引理1證畢.

引理2 令m＞1，（a，m）=1，則二元一次同余方程

必有解u0，v0，滿足

證明 考慮集合au+v，u的取值范圍是

v的取值范圍是

則這個集合的元素個數(shù)是

引理3 若式（2）有解S1（modn），則不定方程（1）有一組本原解{x1，y1}，滿足

證明 顯然有（S1，n）=1，因而由引理2知，必有u0，v0滿足

若k=2，則式（1）無解.若式（1）有解，考慮方程組

若{x1，y1}，{x2，y2}是式（1）的兩組不同的非負本原解，滿足

則S2±S1不同余.

由（x1，y1）=（x2，y2）=1，即得x1=x2，y1=y2，矛盾.

因1≤13y1y2，x1x2＜n，故13y1y2=x1x2，于是13|x1x2.但（x1，13）=1，（x2，13）=1，故（x1x2，13）=1，矛盾.

由此可得，若{x0，y0}為式（1）的一組非負本原解，則對應(yīng)著式（2）的一對解±S1（modn）.反之，若±S1（modn）為式（2）的一對解，則對應(yīng)著式（1）的一組非負本原解{x0，y0}.所以式（1）的非負本原解數(shù)是式（2）的解數(shù)的一半.

定理1 不定方程（1）的非負本原解數(shù)是

由于n∈Z+，n＞13并且（n，13）=1，因此式（1）的非負本原解必為正解，于是有推論1.

推論1 不定方程（1）的本原解數(shù)是其非負本原解數(shù)的4倍，即是

下面來考察不定方程

其中n∈Z+，（n，13）=1.

若{a，b}為式（11）的本原解，則n3=（a2+13b2）3=a6+3×13a4b2+3×132a2b4+133b6.配方得n3=（a3－39ab2）2+13（3a2b－13b3）2.

因為（a，b）=1，必有（a，2b）=1，故（a3－39ab2，3a2b－13b3）=1，于是式（10）有一組本原解{a3－39ab2，3a2b－13b3}.令式（10）和（11）的本原解之集分別為S和T，在S和T之間建立映射f如下:

則稱f是單射.令

這時{a1，b1}，{a2，b2}∈S，故{x0，y0}∈T，于是方程

有兩個有理根a1和a2.但式（12）的判別式

定理2 不定方程（10）的本原解為x=a3－39ab2，y=3a2b－13b3，其中{a，b}為式（11）的本原解，（a，2b）=1.

顯然，n=1時，式（10）和（11）的解均為{±1，0}，仍可歸結(jié)為表達式（12）.

推論2 不定方程x2+13y2=z3的本原解為

這里（a，2b）=1.

定理3 不定方程y2=x3－13僅有解x=17，y=±70.

證明 把y2=x3－13改寫為y2+13×12=x3，顯然（x，y）=1.由推論（2），得

得a= ±2，b= －1，故x=17，y= ±70.

［1］李偉.不定方程y3=x2+2的初等解法［J］.四川大學學報:自然科學版，1997，34（1）:16－19

［2］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學出版社，1992