全轉(zhuǎn)置正交矩陣的幾個性質(zhì)

郭 華

（重慶工商大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 400067）

1 預備知識

定義2 若實數(shù)域上的n階方陣A，滿足AAo=E，則稱A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

由定義可知下列結(jié)論顯然成立:

引理1 A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣的充分必要條件為A－1=AO.

引理2 A為n階矩陣，則|A|=|AO|.

可得

2 3個充要條件

性質(zhì)1n階實矩陣A=（aij）是全轉(zhuǎn)置正交矩陣的充要條件為

證明 當A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣時，AAO=E，即

由矩陣乘法和比較兩端對應元素即得:

性質(zhì)2 A為n階全轉(zhuǎn)置正交矩陣當且僅當|A|=±1，且當|A|=1時，有元素aij的代數(shù)余子式Aij=an－j+1，n－i+1，當|A|= －1 時，有元素 aij的代數(shù)余子式 Aij= －an－j+1，n－i+1.

證明 “?”:因為A為n階全轉(zhuǎn)置正交矩陣，所以AAO=E，兩邊取行列式得|AAO|=|E|=1，即|A||AO|=|A|2=1，故|A|= ±1.

當|A|=1時，

由 A－1=AO可得:Aij=an－j+1，n－i+1.同樣當|A|= －1，易得 Aij= －an－j+1，n－i+1.

“?”:當|A|=1，Aij=an－j+1，n－i+1時，與當|A|= －1，Aij= －an－j+1，n－i+1時，容易得 A－1=AO，所以 A 為全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

性質(zhì)3 對階數(shù)n≥3的實矩陣，A=（aij）是全轉(zhuǎn)置正交矩陣的充要條件為|A|≠0，并當|A|＞0時，有aij=An－j+1，n－i+1;|A|＜0 時，有 aij= －An－j+1，n－i+1（i，j=1，2，…，n）.

證明 “?”:注意到

因為 A 是全轉(zhuǎn)置正交矩陣，由性質(zhì) 2 即知|A|= ±1，且|A|=1 ＞0 時，有 Aij=an－j+1，n－i+1，即 aij=An－j+1，n－i+1;當|A|= －1 ＜0 時，有 Aij= －an－j+1，n－i+1，即 aij= －An－j+1，n－i+1，必要性得證.

“?”:當|A|＞0，aij=An－j+1，n－i+1時，只需證明|A|=1 即可.因為此時即有 Aij=an－j+1，n－i+1，于是

故有 AAO=AA*=|A|E，因為|A|＞0，且|A|=|AO|，所以|A|2=|AAO|=||A|E|=|A|n，于是|A|n－2=1，因n≥3，所以|A|=1，由性質(zhì)2知A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

當|A|＜ 0，aij= －An－j+1，n－i+1，同樣只需證|A|= －1 即可.此時同樣可證 A* = －AO，從而 AAO=－AA*= －|A|E.因為|A|≠0，所以|A|2=|AAO|=|－|A|E|n=（－1）n|A|n，于是|A|n－2=（－1）n故|A|=－1，由性質(zhì)2知A為全轉(zhuǎn)置正交矩陣.

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