一類(lèi)非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探獾谋茣r(shí)間估計(jì)*

王勤鋒，周壽明

（重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331）

非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探獾谋片F(xiàn)象在過(guò)去幾十年內(nèi)已經(jīng)得到了很多人的關(guān)注，在文獻(xiàn)［1－7］中，他們研究了一些線(xiàn)性?huà)佄锓匠探獾娜执嬖凇⒕植看嬖?、解的爆破、爆破速率、爆破集、爆破時(shí)間上界估計(jì).然而，比較難得到爆破時(shí)間的一個(gè)下界估計(jì).

在2008年，Payne，Philippin和Schaefer等人在文獻(xiàn)［8］中考慮了下列一類(lèi)帶有齊次邊界條件方程解的爆破現(xiàn)象

當(dāng)ρ是一個(gè)C1函數(shù)，而且滿(mǎn)足

他們得到了爆破時(shí)間的一個(gè)下界估計(jì).

進(jìn)一步，在2009年，Li，Liu和Lin在文獻(xiàn)［10］中考慮了問(wèn)題（1）的第三界邊界條件

并且給出了爆破時(shí)間的一個(gè)下界估計(jì)以及非爆破條件.

在2011年，Li，Liu和Xiao在文獻(xiàn)［11］中研究了下列帶有第三界邊界條件的方程

容易驗(yàn)證在方程（4）中，ρ（|▽u|2）=|▽u|p+1并不滿(mǎn)足Payne等人在研究這類(lèi)方程時(shí)所限制的條件（2），但作者依然得到了爆破時(shí)間的一個(gè)下界估計(jì).受上述工作的啟發(fā)，討論下面一類(lèi)非線(xiàn)性?huà)佄锓匠痰谋茣r(shí)間的下界估計(jì)

其中 Ω?R3為帶有光滑邊界的有界凸區(qū)域，0≤m≤1，k＞0，函數(shù)f（x）滿(mǎn)足0＜f（s）≤a1+a2sq，s＞0，a1＞0，a2＞0.

1 主要結(jié)果

定理2 如果u（x，t）是方程（5）的解，且q－1－p＜0，則u（x，t）不會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

2 主要結(jié)果及證明

下面給出定理1和定理2的證明，首先給出定理1的證明，之后證明定理2.

定理1的證明

證明 對(duì)φ求導(dǎo)，有

再由f的限制條件及|▽un|2=n2u2n－2|▽u|2，有

其中|Ω|是Ω的體積，設(shè)v=un，故

由Poincare不等式

其中λ1是問(wèn)題（11）的第一正的特征值.

可以得到

由于Ω是凸集，可定義

則式（13）可轉(zhuǎn)化為

θ＞0，聯(lián)合式（12）和式（15），則有

在這里限制凸集Ω滿(mǎn)足

其中，聯(lián)合式（8）和式（18）有

運(yùn)用不等式arbs≤ra+bs，r+s=1，a，b＞0. 由式（20）和（21），得到

在這里

其中λ0是問(wèn)題（26）的第一特征值.

把式（27）代入式（24），得到

若u（x，t）在有限時(shí)間T發(fā)生爆破，對(duì)式（29）兩邊積分可得

定理1證畢，下面給出定理2的證明.

定理2的證明

證明 設(shè)Φ（t）=∫Ωu2dx，對(duì)Φ（t）兩邊求導(dǎo)有

類(lèi)似于前面的討論，

因p+1＞q，所以

所以

容易看出，如果u（x，t）在有限時(shí)間爆破，由式（34）和式（36）可以得出Φ'（t）≤0，這是矛盾的.定理2證畢.

［1］FRIEDMAN A，MCLEOD B.Blow－up of positive solutions of semilinear heat equations［J］.Indiana Univ Math，1985（34）:425－447

［2］CAFFARRELLI A，F(xiàn)RIEDMAN A.Blow－up of solutions of nonlinear heat equations［J］.Math Anal Appl，1988（129）:409－419

［3］PAYNE L E，SCHAEFER P W.Lower bounds for blow－up time in parabolic problems under Dirichlet conditions［J］.Math Anal Appl，2007（328）:1196－1205

［4］GALAKTIONOV V A，VAZQUEZ J L.The problem of blow up in nonlinear parabolic equations［J］.Discrete Contin Dyn Syst，2002（8）:399－433

［5］BALL J M.Remarks on blow up and nonexistence theorems for nonlinear evolution equations［J］.Quart Math Oxford，1977（28）:473－486

［6］FRIEDMAN A.Remarks on the maximum principle for parabolic equations and its applications［J］.Pacific Math，1958（8）:201－211

［7］BANDLE C，BRUNNER H.Blow－up in diffusion equations［J］.Comput Appl Math，1998（97）:3－22

［8］PAYNE L E，PHILIPPIN G A，SCHAEFER P W.Blow－up phenomena for some nonlinear parabolic problems［J］.Nonlinear Anal，2008（69）:3495－3502

［9］PAYNE L E，PHILIPPIN G A，SCHAEFER P W.Bounds for blow－up time in nonlinear parabolic problems［J］.Math Anal Appl，2008（338）:438－447

［10］LI Y F，LIU Y，LIN C H.Blow－up phenomena for some nonlinear parabolic problems under mixed boundary conditions［J］.Nonlinear Anal RWA，2010（11）:3815－3823

［11］LI Y F，LIU Y，XIAO S Z.Blow－up phenomena for some nonlinear parabolic problems under Robin boundary conditions［J］.Math Comp Mode，2011（54）:3065－3069

［12］袁幼成，周宗福，周輝.一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程共振邊值問(wèn)題解的存在性［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012（3）:1－6