解“一元一次不等式（組）”錯誤面面觀

鞠紅軍

一元一次不等式和一元一次不等式組的解法是《一元一次不等式》中的重要內容之一，同學們在初學一元一次不等式的解法時，難免會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤.現(xiàn)列舉一些常見錯誤，并作出剖析，請同學們引以為戒.

一、 不能正確把握不等式的性質，導致解答錯誤

例1 解不等式：4x-6

【錯誤解答】移項，得4x+x<-6，

合并同類項，得5x<-6，

所以不等式的解集為x<-■.

【錯因剖析】在移項時，將單項式“-6”從不等式的左邊移到不等式的右邊，將“x”從不等式的右邊移到左邊時，沒有變號.由于部分同學不能正確理解不等式的基本性質1，導致錯誤.

【正確解答】移項，得4x-x<6，

合并同類項，得3x<6，

所以不等式的解集為x<2.

【方法歸納】解一元一次不等式的過程中，移項的依據(jù)是不等式的基本性質1，因此，移項時一定要注意變號.

例2 解不等式：■-■>1.

【錯誤解答】去分母，得3（x+1）-2（2x-4）>1，

去括號，得3x+1-4x-8>1，

合并同類項，得-x>8，

所以不等式的解集為x<-2.

【錯因剖析】在去分母時，將不等式的兩邊同時乘以最簡公分母6，沒有根據(jù)不等式的性質2，對不等式兩邊各項同時乘以6；在去括號時，化簡“-2（2x-4）”時不能正確應用乘法分配律.由于不能正確理解不等式的基本性質2，濫用乘法分配律，導致錯誤.

【正確解答】去分母，得3（x+1）-2（2x-4）>6，

去括號，得3x+3-4x+8>6，

合并同類項，得-x>-5，

所以不等式的解集為x<5.

【方法歸納】在對所給不等式去分母時，必須根據(jù)不等式性質2，在不等式的兩邊同時乘以它們的最簡公分母.

例3 解不等式：■-■>1.

【錯誤解答】原不等式可以化為■- ■>10.

去分母，得-2（40x-15）-5（8-5x）>-100.

去括號，得-80x+30-40+25x>-100.

移項，得-80x+25x>-100+30-40.

合并同類項，得-55x>-110.

系數(shù)化為1，得x<2.

【錯因剖析】將不等式中分母含有小數(shù)的項化為整數(shù)時，應用了分數(shù)的基本性質，與其他項的變形無關，混淆了分數(shù)的基本性質和不等式的基本性質，導致錯誤.另外，在分母中的小數(shù)化為整數(shù)和移項的過程中還出現(xiàn)了運算錯誤.

【正確解答】原不等式可以化為■- ■>1.

即（8x-3）-（25x-4）>1.

去括號，得8x-3-25x+4>1.

移項，得8x-25x>1-4+3.

合并同類項，得-17x>0.

系數(shù)化為1，得x<0.

【方法歸納】在原不等式的變形過程中，各部分的變形是根據(jù)分數(shù)的基本性質，與其他部分沒有關系，只需要分子、分母同時乘同一個不等于0的整數(shù)即可；去分母的依據(jù)是不等式的性質2，在不等式兩邊同乘-10時，不等號的方向必須改變.

二、 不能正確獲取不等式在數(shù)軸上解集的信息，導致解答錯誤

例4 關于x的不等式3x-2a≤-2的解集如圖所示，則a的值是_______.

【錯誤解答】≤-■.

【錯因剖析】由關于x的不等式3x-2a≤-2，可以求得它的解集為x≤■.再由數(shù)軸可以知道這個不等式的解集為x≤-1.則■=-1，解得，a=-■.

【正確解答】-■.

【方法歸納】這類問題，首先根據(jù)不等式求得含有字母a的不等式解集，再根據(jù)數(shù)軸上的解集逆向確定不等式的解集，從而建立關于a的一元一次方程，達到解決問題目的.

三、 不能正確確定不等式的整數(shù)解，導致解答錯誤

例5 不等式3x-5<3+x的正整數(shù)解有（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【錯誤解答】A.

【錯因剖析】由于有的同學解得不等式3x-5<3+x的解集為x<2，因而不能正確確定不等式的整數(shù)解，導致解答錯誤.

【正確解答】要求不等式的正整數(shù)解，首先解出這個不等式3x-5<3+x的解集為x<4，再確定符合x<4的正整數(shù)解有1、2、3，共3個.因此，本題正確應該選C.

【方法歸納】這類問題往往先求得一元一次不等式的解集，再從解集中找出符合條件的整數(shù)解.這類問題，有時還借助于數(shù)軸，在數(shù)軸上標出解集，就可找出相應的特殊值.

四、 不能正確理解不等式組解集的意義，導致解答錯誤

例6 若不等式組x>a，3x+2<4x-1的解集是x>3，則a的取值范圍是_______.

【錯誤解答】a<3.

【錯因剖析】不等式組的解集就是其中各不等式解集的公共部分.不等式組x>a，3x+2<4x-1即可化為x>a，x>3.再根據(jù)其解集為x>3，即可知道a的取值范圍.有的同學由于不能正確理解不等式組解集的意義，導致解答錯誤.

【正確解答】由于3x+2<4x-1的解集為x>3，而原不等式組的解集是x>3，因此a≤3.

【方法歸納】不等式組x>a，x>b的解集為x>a時，則a≥b；

不等式組x

不等式組x>a，xa，x

五、 不能從問題條件獲取不等量關系，導致出現(xiàn)錯誤

例7 在一次社會實踐活動中，某班可籌集到的活動經費最多900元.此次活動租車需300元，每個學生活動期間所需經費15元，則參加這次活動的學生人數(shù)最多為_______人.

【錯誤解答】設參加這次活動的學生人數(shù)為x人，則15x<900-300，解得x<40，故參加這次活動的學生人數(shù)最多為39人，則本題應該填：39.

【錯因剖析】由于有的同學不能準確地從實際問題中獲取不等量關系，建立恰當?shù)囊辉淮尾坏仁?，因而出現(xiàn)錯誤.

【正確解答】設參加這次活動的學生人數(shù)為x人，則15x≤900-300，解得x≤40，故參加這次活動的學生人數(shù)最多為40人，即本題應該填：40.

【方法歸納】解答這類問題的關鍵在于，根據(jù)題意準確捕捉不等量關系，建立關于一元一次不等式，再求得符合問題的結論.