一道數(shù)學(xué)測試題引發(fā)的思考

崔衍香

【案例描述】：

在六年級剛學(xué)完用公式求圓錐體積后的一次測試中，我出了這樣一道題：一個(gè)玻璃容器的底面直徑是12厘米，它里面裝有一部分水。若往水中放入一個(gè)高9厘米的圓錐形鉛錘，等它完全進(jìn)入水中后，則水面上升了0.5厘米。這個(gè)圓錐形鉛錘的體積是多少立方厘米？

測試結(jié)果，整個(gè)學(xué)年列式正確率為38.9%。孩子們的錯(cuò)誤做法中，包括×0.5×9和3.14×12×0.5”，還有一部分的錯(cuò)誤做法是3.14×（12÷2）2×0.5×。

【案例分析】：

分析一：學(xué)生錯(cuò)解的原因究竟在哪里？

應(yīng)該說，我是不完全贊同老師們的看法的——老師的考前提醒和強(qiáng)調(diào)，其實(shí)是針對學(xué)生在近階段用公式法求圓錐體積時(shí)，總是有部分學(xué)生出現(xiàn)忘記乘的現(xiàn)象提出的。提醒的語言的確有不準(zhǔn)確的地方——應(yīng)該是“利用圓錐體積公式來求圓錐體積的時(shí)候，別忘了乘”?？墒窃谀欠N特定的環(huán)境中，老師們這么說，孩子們是完全能明白老師的意思的。所以，老師的強(qiáng)調(diào)和提醒并沒有錯(cuò)。對于孩子掌握知識的易錯(cuò)點(diǎn)，老師就應(yīng)該及時(shí)的提醒。那么導(dǎo)致孩子出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因，究竟在哪里呢？

我對六年級全體學(xué)生馬上進(jìn)行了另一次測試：一個(gè)玻璃容器的底面邊長是12厘米，它里面裝有一部分水。若往水中放入一個(gè)高9厘米的圓錐形鉛錘，等它完全進(jìn)入水中后，則水面上升了0.5厘米。這個(gè)圓錐形鉛錘的體積是多少立方厘米？結(jié)果發(fā)現(xiàn)求圓錐形鉛錘體積，列式的正確率為58%。

于是，我得出了以下結(jié)論：

1. 對“水測法”求物體體積這一知識的遺忘以及理解上的欠缺，是導(dǎo)致錯(cuò)解的關(guān)鍵性原因。人教版教材在數(shù)學(xué)五年級下冊第三單元長方體和正方體中，在容積和容積單位這一章節(jié)、教材51頁安排有這樣一個(gè)例題，就是求“浸入水中的雪花梨的體積”，來專門幫助學(xué)生掌握用“水測法”求不規(guī)則物體的體積；并在54頁練習(xí)九的相關(guān)練習(xí)中安排了求浸入長方體容器水中的土豆的體積；在六年級下冊第二單元圓柱與圓錐中，在圓錐的體積這一章節(jié)、教材26頁專門提示：可以用“水測法”計(jì)算圓錐形物體的體積后，才安排了探究圓錐體積公式的實(shí)驗(yàn)，并利用公式求圓錐形物體的體積?？梢?，學(xué)生在解決測試的問題時(shí)，應(yīng)該首先想到求圓錐體積的兩種方法：一是在條件允許的情況下，用公式直接求出圓錐的體積；二是利用水測法，借助求“圓錐形鉛錘浸入水中后導(dǎo)致水面上升的那部分水的體積”來求圓錐形鉛錘的體積。

2. 知識間的相互干擾，是導(dǎo)致錯(cuò)解的另一原因。同樣的圓錐形鉛錘，放進(jìn)正方體容器中就能正確求出它的體積，而放進(jìn)圓柱形容器中，就要乘三分之一，這是為什么呢？原來，在六年級下冊中，學(xué)生在探究圓錐體積公式時(shí)，是通過“一個(gè)圓柱形容器中的水（滿的），可以正好倒?jié)M3個(gè)與它等底等高的圓錐形容器中（或者用一個(gè)圓錐形容器裝滿水倒進(jìn)一個(gè)與它等底等高的圓柱形容器中，需要倒三次）”的實(shí)驗(yàn)得到的，其后又對“圓錐體積等于與它等底等高的圓柱體積的三分之一”這一新的結(jié)論進(jìn)行了很多相關(guān)的練習(xí)。而本道測試題所給出的事例又是，“圓錐形鉛錘放進(jìn)了圓柱形容器中，導(dǎo)致圓柱形容器中的水面上升，求圓錐形鉛錘的體積”。所以學(xué)生就綜合運(yùn)用了這兩個(gè)知識點(diǎn)——先將求圓錐形鉛錘體積轉(zhuǎn)化成求圓柱形水的體積，因?yàn)檫@圓柱形的水與圓錐形鉛錘是一樣大的（把體積相等誤當(dāng)做等底等高），老師不也是強(qiáng)調(diào)“看見求圓錐體積就先乘”嗎，圓錐體積當(dāng)然要等于與它等底等高的圓柱體積的三分之一了。于是，錯(cuò)解也就這樣產(chǎn)生了。