微積分在概率論中的應(yīng)用

陳紅燕 鄧臻

摘 要：針對(duì)概率論為微積分的后續(xù)課程這樣一個(gè)教學(xué)實(shí)際，分析兩門(mén)課程之間的關(guān)系，研究微積分對(duì)概率論的滲透作用，通過(guò)實(shí)例等方法說(shuō)明了微積分在概率論中的幾點(diǎn)應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：集合 函數(shù) 隨機(jī)變量 分布函數(shù) 積分 微分

中圖分類(lèi)號(hào)：TS1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2013）03（a）-0242-02

微積分與概率論是兩門(mén)非常重要的數(shù)學(xué)學(xué)科，均是高等學(xué)校理工專(zhuān)業(yè)的必修課程，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課提供必要的數(shù)學(xué)工具。雖然兩者發(fā)展路徑不太一樣，但兩者間確有著密切的關(guān)系，可以說(shuō)微積分是概率論的地基，概率論是微積分的延續(xù)，大學(xué)課程里也是先開(kāi)設(shè)微積分，后開(kāi)設(shè)概率論，所以進(jìn)一步揭示微積分在概率論中的滲透，并將微積分的思想與方法巧妙的應(yīng)用到概率論的中去，是我們值得關(guān)注的問(wèn)題，本文將從幾個(gè)方面闡述微積分在概率論中的應(yīng)用。

1 集合在概率論中的應(yīng)用

勒貝格積分建立了測(cè)度論與集合論之間的關(guān)系，從而有了概率論，而集合論與微積分之間是源和流的關(guān)系，可以說(shuō)是微積分加速推動(dòng)了概率論的形成。

概率論的主要研究對(duì)象是隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果不唯一，把其所有結(jié)果組合在一起就構(gòu)成了一個(gè)集合，也就是樣本空間，我們關(guān)注的隨機(jī)事件便成了這個(gè)集合的子集，本質(zhì)上還是集合，后面便順理成章的用集合間的關(guān)系與運(yùn)算來(lái)處理事件間的關(guān)系與運(yùn)算，早期數(shù)學(xué)家們研究的古典概型也是有限集合的應(yīng)用，集合論的滲透使得概率論得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。

2 函數(shù)在概率論中的作用

概率論中無(wú)處不滲透著微積分中的函數(shù)思想。

（1）隨機(jī)事件。是一個(gè)集合，事件發(fā)生的概率就是定義在事件集上的一個(gè)集函數(shù)。

（2）隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)集函數(shù)，是概率論最重要的概念之一，它實(shí)現(xiàn)了從樣本空間到實(shí)數(shù)的一個(gè)過(guò)渡，從某種程度上結(jié)束了概率的古典概型時(shí)代，把概率論推上了更加寬廣的道路。

（3）為一個(gè)隨機(jī)變量，為一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為的分布函數(shù)，此函數(shù)也是概率論的又一重要概念，它描述了的取值規(guī)律性，并且具有非常好的函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)有界、可積、幾乎處處連續(xù)、幾乎處處可導(dǎo)等，因此微積分中的很多函數(shù)方法便可以順利的進(jìn)入概率論領(lǐng)域，此外連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度也是概率論引入的另一重要函數(shù)。

概率，隨機(jī)變量，分布函數(shù)與概率密度都是函數(shù)，在這些對(duì)應(yīng)關(guān)系下，概率論的研究道路越走越順暢，這也是微積分對(duì)概率論起到的至關(guān)重要的作用。

3 積分、微分在概率論中的作用

連續(xù)型隨機(jī)變量最大的亮點(diǎn)就是引入了概率密度函數(shù)，建立了概率與的關(guān)系，此關(guān)系的也可用分布函數(shù)與同時(shí)來(lái)表示：，在的連續(xù)點(diǎn)上，對(duì)上述表達(dá)式求導(dǎo)，即得：。

因此，概率論中連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)問(wèn)題從某種程度上轉(zhuǎn)為了微積分問(wèn)題，比如，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率，數(shù)學(xué)期望，方差等定義及其計(jì)算全部用微積分解決。

4 微積分的計(jì)算方法在概率論中的作用

概率論的很多問(wèn)題均轉(zhuǎn)化為微積分問(wèn)題，所以一些微積分計(jì)算方法便在概率論中得到了應(yīng)用，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

例1：設(shè)服從參數(shù)為的poisson分布，求其數(shù)學(xué)期望。

解：法一 利用微積分中特殊函數(shù)的展開(kāi)式。

5 微積分在概率論中的其它一些應(yīng)用

（1）分布函數(shù)的性質(zhì)： 看似兩個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)論，其實(shí)嚴(yán)格證明還得用到微積分的極限問(wèn)題；概率論中的大數(shù)定律與中心極限定理用到的也是微積分中的極限。

（2）概率論中多維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布是一個(gè)難點(diǎn)，但引入合適的雅可比行列式可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。

（3）微積分中的一些特殊函數(shù)在概率論中也有著廣泛應(yīng)用，如函數(shù)，借用它，我們定義了概率論中的兩個(gè)重要分布：分布與分布。

微積分有著幾百年的歷史，已經(jīng)非常完善，也許這也是為什么數(shù)學(xué)家們用微積分解決概率論問(wèn)題的原因之一，微積分確實(shí)推動(dòng)了概率論這門(mén)學(xué)科的快速發(fā)展。反之，概率論的很多思想也可以用于解決復(fù)雜的微積分問(wèn)題，希望我們可以發(fā)現(xiàn)更多的方法，用于兩者的共同發(fā)展。

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