用靈活的方法求解不定積分

薛秋

【摘要】求解不定積分是高等數(shù)學(xué)中最基本、最主要的內(nèi)容之一.由于不定積分的多變性、復(fù)雜性導(dǎo)致許多不定積分按照傳統(tǒng)的求法比較困難或不易求出. 如果我們能靈活使用各種積分方法和技巧，則許多不定積分很快就能順利地求出.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；不定積分；靈活使用

在高等數(shù)學(xué)中，求解不定積分是最基本、最重要的內(nèi)容之一.由于不定積分是微分的逆運(yùn)算，所以決定了求解不定積分的復(fù)雜性、多變性，也就是這樣造就了許多解題技巧和靈活的解題方法，那么在解題過程中怎樣才能快捷、正確地求出結(jié)果呢？這就要求必須仔細(xì)觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活組合使用各種積分方法和技巧，從而順利地求出不定積分.下面舉例說明.

例1 求∫dxsinx.

分析 本題大家最容易想到的方法是將分子化成：1=sin2x2+cos2x2，但這樣求解過程比較煩瑣，如果我們能利用湊微分：sec2xdx=dtanx，則運(yùn)算會得到簡化.

解 ∫dxsinx=∫dx2sinx2cosx2=∫sec2x2dx2tanx2=∫dtanx2tanx2=lntanx2+C.

例2 求∫cosxsinx+cosxdx.

分析 本題若用萬能代換t=tanx2求解，則計(jì)算工作量較大，顯然不是最好的方法.如果我們能根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，對分子做添項(xiàng)減項(xiàng)處理，再利用湊微分（-sinx+cosx）dx=d（sinx+cosx），從而快捷地求出結(jié)果.

解 ∫cosxsinx+cosxdx=∫cosx+sinx-sinxsinx+cosxdx=∫dx+∫-sinx+cosxsinx+cosxdx-∫cosxsinx+cosxdx.

從而2∫cosxsinx+cosxdx=∫dx+∫d（sinx+cosx）sinx+cosx，

故∫cosxsinx+cosxdx=x2+12lnsinx+cosx+C.

例3 求∫dxx（x7+1）.

分析 該題若用待定系數(shù)法求解，需要確定8個(gè)系數(shù)，這樣的計(jì)算量是很大的，但仔細(xì)觀察被積函數(shù)的特點(diǎn)，如果將分子、分母同乘x6，再利用湊微分x6dx=17dx7，則計(jì)算過程就會大大簡化，從而順利求出結(jié)果.

解 ∫dxx（x7+1）=∫x6dxx7（x7+1）=17∫dx7x7（x7+1）=17∫（1x7-1x7+1）dx7=17lnx7-17lnx7+1+c=17lnx7x7+1+C.

例4 求∫x51-x2dx.

分析 本題被積函數(shù)含有1-x2，因此大家最熟悉的方法是換元積分法，即令x=sint，但這樣計(jì)算量較大，如果我們將x5化成x4·x，再將x4化成x4=[1-（1-x2）]2，則計(jì)算量就會大大減少，從而提高解題的技巧.

解 ∫x5 1-x2dx=12∫x41-x2dx2=-12∫[1-（1-x2）]21-x2d（1-x2）=-12∫[1-x2-2（1-x2）32+（1-x2）52]d（1-x2）=-13（1-x2）32+25（1-x2）52-17（1-x2）72+C.

例5 求∫dx（x2-a2）3.

分析 由于被積函數(shù)含有x2-a2，因此自然會想到變量代換x=acsct，但這樣并不是靈活的方法.如果我們觀察被積函數(shù)的特點(diǎn)，將分子化為：1=x2-（x2-a2）a2，則解題的靈活性會得到很大的提高.

例6 求∫x+1x（1+xex）dx.

分析 表面上求解該題似乎無從下手，但我們觀察被積函數(shù)的特點(diǎn)并注意到d（xex）=ex（1+x）dx，這就是提示我們分子、分母必須同乘ex，從而達(dá)到理想的求解效果.

解 ∫x+1x（1+xex）dx=∫ex（x+1）ex（1+xex）dx=∫d（xex）xex（1+xex）=∫1xexd（xex）-∫11+xexd（xex）=lnxex1+xex+C.