用參數(shù)的思想分析直線系方程和曲線系方程

李念祖

在中學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)遇到具有共同性質(zhì)的直線或曲線，我們從它們的共同屬性出發(fā)，引入合理的參數(shù)來(lái)解決問(wèn)題，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，起到事半功倍的效果.

具體通過(guò)以下幾個(gè)例子來(lái)分析.

例1 求與直線3x+4y-7=0垂直，且在y軸上的截距為-2的直線.

解法一 因?yàn)楹椭本€3x+4y-7=0垂直，所以所求的直線方程是4x-3y+m =0（其中m是參數(shù)）.

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（0，-2），將（0，-2）代入4x-3y+m=0，

所以直線方程是4x-3y-6=0.

分析 此解法先利用垂直的直線系方程設(shè)出方程，再將（0，-2）代入，使這道題變得簡(jiǎn)單易于理解，計(jì)算量也小.

解法二 因?yàn)椤霸趛軸上截距為-2”，所以設(shè)直線方程為y=kx-2.

因?yàn)樗笾本€垂直于3x+4y-7=0，所以得k=43.

代入得所求的方程為4x-3y-6=0.

分析 此解法從平行的直線系入手，先得到直線方程為y=kx-2，再根據(jù)垂直條件得到k=43，這樣做思維簡(jiǎn)單易于入手.

解法三 因?yàn)榇酥本€過(guò)點(diǎn)（-2，0），用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程為y+2=k（x-0），即y=kx-2，（斜率k是參數(shù)）.

因?yàn)橹本€垂直于直線3x+4y-7=0，所以k=43.

代入得到所求的方程為4x-3y-6=0.

分析 此解法先利用過(guò)已知點(diǎn)（-2，0）的直線系方程得y+2=k（x-0），再根據(jù)垂直條件得到k=43，此法也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

例2 求和直線3x+4y+2=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程.

解 因?yàn)橹本€平行于直線3x+4y+2=0，所以設(shè)所求直線方程為3x+4y+λ=0（λ為參數(shù)），所以在x軸、y軸的截距分別為-λ3和-λ4，所以12-λ3-λ4=24，解得λ=±24.

所求直線l的方程為3x+4y±24=0.

分析 此題是用了平行的直線系方程先設(shè)出方程，再根據(jù)三角形面積的計(jì)算得出參數(shù)的值，從而解決了問(wèn)題，此法不但思路清晰，而且便于計(jì)算.

例3 對(duì)于任意的實(shí)數(shù)k，直線（3k+2）x-ky-2=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0的位置關(guān)系是