不等式·證明

一、選擇題（每小題4分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1. 下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對(duì)象較合適的是（ ）

A. 三角形 B. 梯形

C. 平行四邊形 D. 矩形

2. 分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的（ ）

A. 充分條件

B. 必要條件

C. 充要條件

D. 既不充分又不必要條件

3. 下面幾種推理過程是演繹推理的是（ ）

A. 兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由此若[∠A]，[∠B]是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則[∠A+∠B=180°]

B. 某校高三（1）班有55人，高三（2）班有54人，高三（3）班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過50人

C. 由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)

D. 在數(shù)列[an]中，[a1=1，an=12（an-1+an+1）] （[n]≥2），由此歸納出[an]的通項(xiàng)公式

4. 應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中要把下列哪些作為條件使用（ ）

①結(jié)論相反判斷，即假設(shè) ②原命題的條件 ③公理、定理、定義等 ④原結(jié)論

A. ①② B. ①②④

C. ①②③ D. ②③

5. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[1+12+14+…+12n-1][>12764（n∈N?）]成立，其初始值至少應(yīng)?。?）

A. 7 B. 8

C. 9 D. 10

6. 用反證法證明命題“已知[x∈R]，[a=x2-1]，[b=2x+2]，則[a，b]中至少有一個(gè)不小于0”反設(shè)正確的是（ ）

A. 假設(shè)[a，b]都不大于0

B. 假設(shè)[a，b]至多有一個(gè)大于0

C. 假設(shè)[a，b]都大于0

D. 假設(shè)[a，b]都小于0

7.如果命題[P（n）]對(duì)[n=k]成立，則它對(duì)[n=k+1]也成立，現(xiàn)已知[P（n）]對(duì)[n=4]不成立，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. [P（n）]對(duì)[n∈N*]成立

B. [P（n）]對(duì)[n>4]且[n∈N*]成立

C. [P（n）]對(duì)[n<4]且[n∈N*]成立

D. [P（n）]對(duì)[n≤4]且[n∈N*]不成立

8.若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2013到2015年的箭頭方向依次為（ ）

1 4 → 5 8 → 9 12

↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ …

2 → 3 6 → 7 10 → 11

A. ↓→ B. →↓ C. ↑→ D. →↑

9. 為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：明文[加密密鑰密碼]密文[發(fā)送]密文[解密密鑰密碼]明文. 現(xiàn)在加密密鑰為[y=loga（x+2）]，如上所示，明文“6”通過加密后得到密文“3”，再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文“6”.問：若接受方接到密文為“4”，則解密后得到明文為（ ）

A.12 B.13 C.14 D.15

10. 記凸[k]邊形的內(nèi)角和為[f（k）]，則[f（k+1）-f（k）]等于（ ）

A. [32π] B. [π] C. [32π] D. [2π]

二、填空題（每小題4分，共16分）

11. 觀察下列不等式：[1+122<32]，[1+122+133<53]，[1+122+132+142<74]，…，按此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 .

12. 數(shù)式[1+11+…]中省略號(hào)“…”代表無限重復(fù)，但原式是一個(gè)固定值，可以用如下方法求得：令原式[=t]，則1+[1t=t，則t2-t-1=0，]取正值[t=5+12]，用類似方法可得[2+2+2+…]= .

13. 用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+3+…+[n]+…+3+2+1=[n2（n∈N*）]”時(shí)，從[n=k]到[n=k+1]時(shí)，該式左邊應(yīng)添加的代數(shù)式是 .

14. 將連續(xù)整數(shù)1，2，…，25填入5行5列的表格中，使每一行的數(shù)字從左到右都成遞增數(shù)列，則第三列各數(shù)之和的最 小值為 ，最大值為 .

三、解答題（共4小題，44分）

15. （10分）設(shè)[x≥1，y≥1，]證明[x+y+1xy≤1x][+1y+xy].

16. （10分）設(shè)[a3+b3=2]，求證[a+b≤2.]

17. （12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明[42n+1]+[3n+2]能被13整除，其中[n∈N*].

18. （12分）已知數(shù)列[an]滿足[an+1=12an2-12nan+1]（[n∈N+]）且[a1=3].

（1）計(jì)算[a2，a3，a4]的值，由此猜想數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式，并給出證明；

（2）求證：當(dāng)[n≥2]時(shí)，[ann≥4nn.]