組合近似重分析算法中迭代終止性判定與基向量的自適應(yīng)分析

王學(xué)強(qiáng)

摘 要：本文簡要介紹了結(jié)構(gòu)重分析算法及其在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中重要作用。針對(duì)基于空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化的組合近似重分析算法，結(jié)合誤差范數(shù)的概念，實(shí)現(xiàn)了CA算法中迭代過程終止性判定與基向量數(shù)目的自適應(yīng)選定，并對(duì)精確性、收斂性及效率進(jìn)行了分析與討論。

關(guān)鍵詞：組合近似算法（CA）；結(jié)構(gòu)重分析；收斂性；誤差估計(jì)

中圖分類號(hào)：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-3362（2013）07-0113-02

引言

目前，國內(nèi)對(duì)利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行方案階段的概念設(shè)計(jì)方面進(jìn)行了一些嘗試，并構(gòu)建了基于性能的結(jié)構(gòu)生（合）成理論。該理論由結(jié)構(gòu)形狀語法、結(jié)構(gòu)分析與評(píng)估、結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)三者組合而成[1，4]。

一般來講，結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題可分為尺寸優(yōu)化、幾何優(yōu)化及拓?fù)鋬?yōu)化三大類別，均涉及平衡方程的求解：直接法（精確解）和近似法（數(shù)值解）。對(duì)于大型結(jié)構(gòu)，反復(fù)精確求解則包含大量數(shù)學(xué)運(yùn)算（主要為矩陣求逆），效率勢必較低。雖然一定精度的近似解即可滿足工程需要，而求解近似解的利器則是利用結(jié)構(gòu)重分析技術(shù)。

一個(gè)典型的重分析過程如下所示：

假定某一初始設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的剛度矩陣為K0，求解平衡方程（K0r0=R0）得初始位移r0：

r0=K0-1R0

假定結(jié)構(gòu)發(fā)生某種變化?K，則剛度矩陣K=K0+?K，平衡方程變?yōu)椋?/p>

Kr=（K0+?K）r=R0

重分析的目標(biāo)即是盡量避免矩陣求逆而高效求解由于結(jié)構(gòu)變化后的位移r：

r=r0+?r

復(fù)雜空間網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)數(shù)字化生成與優(yōu)化過程中需進(jìn)行大量新結(jié)構(gòu)的生成、分析與評(píng)估，新結(jié)構(gòu)由上一結(jié)構(gòu)變換個(gè)別桿件尺寸、或局部坐標(biāo)位置、或局部拓?fù)涞玫剑蝗裘看螌?duì)新結(jié)構(gòu)進(jìn)行完整分析將耗費(fèi)大量機(jī)時(shí)（約為85%的運(yùn)行時(shí)間），而利用結(jié)構(gòu)重分析技術(shù)，新結(jié)構(gòu)的內(nèi)力變形解等于上一結(jié)構(gòu)的內(nèi)力變形解“加”上一個(gè)“修正量”得到，避免了矩陣求逆等復(fù)雜計(jì)算，大大加快了優(yōu)化運(yùn)算的速度[1]。

1 組合近似重分析算法簡述

一般來講，不同重分析算法其精度和效率不盡相同，算法選取需綜合考慮精度、效率和可行性等因素。結(jié)構(gòu)重分析算法的直接法[6，7]主要基于Woodbury公式和Sherman-Morrison 公式；近似重分析算法可分局部單點(diǎn)近似、合局多點(diǎn)近似和組合近似（Combined Approximation，以下簡稱CA法）等。

CA法最初由Kirsch[2]提出，系將將全局近似（縮減基底法，RB）結(jié)果質(zhì)量精度高的特性賦予具有較高計(jì)算效率的局部近似（二項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開法，BSA）。在CA法中，二項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開式中前若干經(jīng)過計(jì)算的項(xiàng)被運(yùn)用于簡化基表達(dá)式中的基向量，從而獲得一個(gè)有效的求解過程，而基向量的未知系數(shù)可通過求解一個(gè)簡化方程組而得到。

CA法起初多用于小型結(jié)構(gòu)；研究表明，在大型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)當(dāng)中，即使結(jié)構(gòu)變動(dòng)較大，運(yùn)用CA法亦能得到較好的近似結(jié)果[2]。對(duì)于不同類型的結(jié)構(gòu)或者設(shè)計(jì)變量，如桁架、框架或網(wǎng)架中的截面、幾何變化或拓?fù)渥儎?dòng)等，CA法均適用。

2 CA法的范數(shù)誤差公式

Kirsch等研究表明[2]，引入Gram-Schmidt正交化后，CA法的精度和效率可進(jìn)一步提高，且生成的正交基向量可使縮減方程解耦：不僅可避免非線性分析過程中可能遇到病態(tài)矩陣情況，還可將結(jié)構(gòu)位移以顯式方式精確表達(dá)，從而可以控制算法的效率和精度（即若需提高近似精度，可在原有計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)行“修正”而無須重新完整計(jì)算），保證了算法的高效性與魯棒性。結(jié)構(gòu)優(yōu)化重分析一般涉及三種類型的收斂性情形：級(jí)數(shù)收斂快、級(jí)數(shù)收斂慢、級(jí)數(shù)發(fā)散，對(duì)此CA法均能求得相當(dāng)精確的解。

利用CA法中正交基向量的特點(diǎn)，本文采用如下誤差范數(shù)[3]公式用以判斷收斂性并實(shí)現(xiàn)基向量數(shù)目的自適應(yīng)選擇。

式中，ErU——一個(gè)較小的數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)與要求確定；

3 數(shù)值模型分析

3.1 計(jì)算初始結(jié)構(gòu)模型

以圖1所示模型研究CA法的基向量數(shù)量與指定精度之間的關(guān)系——即利用誤差范數(shù)的概念研究判斷何時(shí)終止CA法的迭代過程，實(shí)現(xiàn)基向量數(shù)目的自適應(yīng)選定。本文主要研究以下幾種情況：

用相鄰向量之間變化進(jìn)行判斷；用新增基向量占基向量總和的比例進(jìn)行判斷；用單個(gè)位移的相對(duì)誤差進(jìn)行判斷；利用誤差范數(shù)進(jìn)行判斷。

圖1 初始結(jié)構(gòu)

3.2 數(shù)值算例分析

3.2.1 用相鄰基向量之間的變化進(jìn)行判斷

假設(shè)結(jié)構(gòu)中桿件4-6截面積減小50%，運(yùn)用CA法計(jì)算不同數(shù)目基向量下的位移，見表1。

表2顯示，對(duì)于單根桿件截面尺寸變化，從第4個(gè)基向量（三階CA法）開始，基向量保持恒定；當(dāng)基向量數(shù)超出某個(gè)值或值域后，計(jì)算精度開始惡化，即CA法的計(jì)算精度與基向量數(shù)目呈拋物線變化關(guān)系——當(dāng)基向量的個(gè)數(shù)僅在某個(gè)特定值或值域內(nèi)時(shí)所求結(jié)果精度較高。對(duì)于本例當(dāng)相鄰基向量之間比值為1時(shí)，CA法即可終止計(jì)算，此時(shí)基向量個(gè)數(shù)應(yīng)為出現(xiàn)比值1前的數(shù)量；但該種判斷方法屬于“后驗(yàn)”法——即需先求出后續(xù)基向量后方能判斷是否采納該基向量。

3.2.2 用誤差范數(shù)公式進(jìn)行判斷

在重分析計(jì)算過程中，收斂準(zhǔn)則的選取應(yīng)滿足一定原則：計(jì)算量小且能在執(zhí)行下一輪計(jì)算前判斷出是否需增加基向量，即應(yīng)具有“先驗(yàn)性”：誤差范數(shù)公式可實(shí)現(xiàn)在本輪計(jì)算結(jié)束時(shí)根據(jù)限定精度（ErU）判斷出是否有必要進(jìn)行下一輪計(jì)算而不必先計(jì)算一個(gè)新規(guī)則化的基向量，從而提高了計(jì)算效率，加速收斂。

表3給出了空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中涉及的基本變化類型及采用誤差范數(shù)判斷達(dá)到限定精度所需的正交基向量數(shù)目。

從表3可以看出，除幾何變化外，二階CA法所得結(jié)果與精確值基本接近，一階CA法亦具有相當(dāng)?shù)木龋合鄬?duì)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差基本在2.5%以內(nèi)，方差近乎為零，所得結(jié)果具有較高的置信度。

而利用“新增基向量占基向量總和的比例”及“用單個(gè)位移的相對(duì)誤差”進(jìn)行迭代終止性判斷，多用于BSA法中，均屬于“后驗(yàn)性”方法，且數(shù)值穩(wěn)定性較差，不予深入討論。

4 引入誤差范數(shù)判斷的CA法算法效率分析

圖2 空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)

以某一空間正放四角錐網(wǎng)架[5]（見圖2）的優(yōu)化過程為例。分析引入誤差范數(shù)后的CA法優(yōu)化程序的計(jì)算效率。

該網(wǎng)架平面尺寸為12m×12m，四角采用點(diǎn)支承（作鉸接點(diǎn)處理）。初始截面尺寸均為100mm2，E=2.06×105MPa，下層節(jié)點(diǎn)豎向荷載為R=100kN。

運(yùn)用不同階數(shù)CA法達(dá)到最優(yōu)結(jié)構(gòu)所需計(jì)算時(shí)間見表4。

可以看出，CA法的引入提高了優(yōu)化過程中重分析環(huán)節(jié)的執(zhí)行效率，且引入誤差范數(shù)后根據(jù)精度要求可實(shí)現(xiàn)CA法迭代終止性判斷與基向量數(shù)量的自適應(yīng)性選定。如限定計(jì)算精度為2%，僅需計(jì)算3個(gè)基向量（二階CA法），相對(duì)于三階CA和完整解法，計(jì)算時(shí)間分別為兩者的71.48%、26.97%。

數(shù)值算例表明，利用范數(shù)誤差計(jì)算位移的相對(duì)誤差并用以判斷何時(shí)結(jié)束CA法的迭代過程實(shí)現(xiàn)了CA法基向量數(shù)目的自適應(yīng)性選定。

參考文獻(xiàn)

[1] 趙憲忠.S.Kristina.空間桿系結(jié)構(gòu)的智能生成與設(shè)計(jì)[N].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，2010.

[2] 王仁華.基于形狀語法的空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)優(yōu)化.上海.同濟(jì)大學(xué)，2010.

[3] 王帥.基于模擬退火和結(jié)構(gòu)重分析的網(wǎng)架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì).上海.同濟(jì)大學(xué)，2007.