分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)

趙澤峰

摘要：高中數(shù)學(xué)新課程對于提高分析和解決問題的能力有著更深層次的要求，本文就我們教師在平時教學(xué)中應(yīng)注重分析和解決問題能力的培養(yǎng)的方法和策略上進(jìn)行研討，得出了一般性的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 審題能力 分析和解決問題 數(shù)學(xué)建模

新課標(biāo)明確指出：高中數(shù)學(xué)課程對于提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新思維，起著基礎(chǔ)性作用。分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進(jìn)行陳述的材料，能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用對模型求解的結(jié)果加以解釋。它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。高考數(shù)學(xué)科的命題原則是在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重數(shù)學(xué)能力的考查，強調(diào)了綜合性。下面筆者就分析和解決問題能力的組成及培養(yǎng)談幾點雛見。

一、審題能力

審題是對條件和問題進(jìn)行全面認(rèn)識，對與條件和問題有關(guān)的全部情況進(jìn)行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質(zhì)的能力，分析、發(fā)現(xiàn)隱含條件以及化簡、轉(zhuǎn)化已知和所求的能力。要快捷、準(zhǔn)確地解決問題，掌握題目的數(shù)形特點、能對條件或所求進(jìn)行轉(zhuǎn)化和發(fā)現(xiàn)隱含條件是至關(guān)重要的。

例1 已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgαtgβ的值。

分析：怎樣利用已知的兩個等式？初看好象找不出條件和結(jié)論的聯(lián)系，只好從未知tgαtgβ入手。當(dāng)然，首先想到的是把tgα、tgβ分別求出，然后求出它們的乘積，這是個辦法，但是不好求；于是可考慮將tgαtgβ寫成sinαsinβ/cosαcosβ，轉(zhuǎn)向求sinαsinβ、cosαcosβ。令：

x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=y/x。

從方程的觀點看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉(zhuǎn)向求x+y=cos（α-β）、x-y=cos（α+β）。

這樣把問題轉(zhuǎn)化為下列問題：

已知sinαsinβ= 2 ①

cosαcosβ= ②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①2+②2得2+2cos（α-β）= ，cos（α-β）= 。

②2-①2得cos2α+cosβ+2cos（α+β）= ，cos（α+β）=- 。

這樣問題就可以得到解決。

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關(guān)鍵在于挖掘所求和條件之間的聯(lián)系，這需要一定的審題能力。由此可見，審題能力應(yīng)是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。

二、合理應(yīng)用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數(shù)學(xué)知識包括函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何、排列與組合、統(tǒng)計與概率等內(nèi)容；數(shù)學(xué)思想包括數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與討論和等價轉(zhuǎn)化等；數(shù)學(xué)方法包括待定系數(shù)法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、配方法、分離參數(shù)法等基本方法。只有理解和掌握了數(shù)學(xué)基本知識、思想、方法，才能解決高中數(shù)學(xué)中的一些基本問題，而合理選擇和應(yīng)用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。

例2 設(shè)函數(shù)f（x）= （x>0且x≠1）。

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）已知2>xa對任意x∈（0，1）成立，求實數(shù)a的取值范圍。

解：（Ⅰ）f′（x）=- ，若f′（x）=0，則x= ：

（Ⅱ）在2>xa兩邊取對數(shù)， 得 1n2>a1nx，由于0

由（1）的結(jié)果可知，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）≤f（ ）=-e，

為使（1）式對所有x∈（0，1）成立，當(dāng)且僅當(dāng) >-e，即a>-e1n2。

∴a∈（-e1n2，+∞）

在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查了用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)取值范圍利用分離參數(shù)法、不等式的解法等基本知識，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的運算、推理等能力。

三、數(shù)學(xué)建模能力

近幾年來，在高考數(shù)學(xué)試卷中，都有幾道實際應(yīng)用問題，這對學(xué)生分析和解決問題的能力提出了挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)建模能力是解決實際應(yīng)用問題的重要途徑和核心。

例3 某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）2萬件。

（Ⅰ）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值Q（a）。

解：（Ⅰ）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數(shù)關(guān)系式為：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]。

（Ⅱ）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）。

令L′=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）。

∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ 。

在x=6+ a兩側(cè)L′的值由正變負(fù)。

所以：（1）當(dāng)8≤6+ a<9即3≤a< 時，

Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）。

（2）當(dāng)9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5時，

Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a[12-（6+a）]2=4（3-a）3，

答：若3≤a< ，則當(dāng)每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬元）；若 ≤a≤5，則當(dāng)每件售價為（6+a）元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3-a）3（萬元）。

評述：本題考查了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識，考查了運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力。在該題解答中，學(xué)生若沒有一定的數(shù)學(xué)建模能力，正確解決此題實屬不易。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可缺的一個組成部分。

參考文獻(xiàn)：

[1]簡洪權(quán).高中數(shù)學(xué)運算能力的組成及培養(yǎng)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.

[2]張衛(wèi)國.例談高考應(yīng)用題對能力的考查[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究.