設(shè)而不求法在圓錐曲線中的一般規(guī)律

魏建

【摘要】“設(shè)而不求”法在圓錐曲線中的應(yīng)用曾吸引了眾多人的關(guān)注和思考，尤其是它在具體題目中的應(yīng)用，然而在解題的思路上我們能否進一步探索其一般化規(guī)律呢？本文基于近五年全國各高考試題，分析了圓錐曲線的命題特征，在此基礎(chǔ)上歸納出了“設(shè)而不求”法在8種題型上的應(yīng)用，旨在顯化題目特征，以便對廣大教師在圓錐曲線內(nèi)容的教學(xué)上起到一定的作用.

【關(guān)鍵詞】設(shè)而不求；圓錐曲線；一般規(guī)律

1.重要地位

統(tǒng)計分析近五年全國各高考試卷發(fā)現(xiàn)，“設(shè)而不求”法在近年高考圓錐曲線題目中的應(yīng)用相當(dāng)普遍，其中九省市的應(yīng)用率達到80%，應(yīng)用率在60%以上的省市高達全國的70%.由此可見“設(shè)而不求”的解題方法具有重要的現(xiàn)實研究意義.

2.尋“工具”搭“橋梁”

3.問題定位解決問題

通過對近五年高考試題的研究，筆者總結(jié)出了常見的八種考題類型，旨在快速定位問題，結(jié)合“工具”和“橋梁”迅速解決問題.

（1）相交弦問題：該問題主要涉及求弦長問題和弦中點問題.求弦長可結(jié)合韋達定理，利用弦長公式求解.弦中點問題包括中點坐標、軌跡方程、過中點直線方程等問題，這類問題常將“點差法”、直線斜率、中點坐標聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化，結(jié)合題目隱含條件加以解決.實例見[1][2][3][5].

（2）定值與定點問題：此問題有兩類，一類是對已“定”問題“定”的證明，另一類是在“動”問題中尋找“定”.兩類問題皆可用題目中的條件，對“定”問題直接求解；對“動”問題，先設(shè)，再整體帶入化簡.實例見[1][3][4][5].

（3）動點軌跡問題：此類問題常見的有兩類，一類是與圓錐曲線相交的直線上某點的軌跡，如弦中點的軌跡；另一類是與某直線或某些點滿足某一關(guān)系的點的軌跡，題目通常直接給出這一關(guān)系，如夾角、距離、垂直、面積.該類問題可直接將“關(guān)系”作為突破口.實例見[1][2].

（4）參數(shù)范圍問題：在解決此類題目時應(yīng)充分挖掘題目隱含條件，尋找各條件的關(guān)系.實例見[1].

（5）最值問題：最值問題牽涉動態(tài)問題，題設(shè)方式可包含面積、斜率、夾角、距離等問題.解決此類問題的方法是：聯(lián)系條件，導(dǎo)出“最值”滿足的規(guī)律，結(jié)合不等式、函數(shù)等工具求出最值.實例見[1][2].

（6）存在性問題：解決此類問題的方法是結(jié)合已知條件，假設(shè)結(jié)論存在，再導(dǎo)出結(jié)論存在的必要條件.若導(dǎo)出的結(jié)果與已知條件相符，則結(jié)論存在；反之，不存在.實例見[1].

（7）求直線方程問題：求直線方程問題常見的有兩類，一類是求過“定”點直線的方程，“定”點常為焦點、頂點、已知點等；另一類是求“定”斜率直線的方程.涉及該兩類問題時，常用中點坐標公式、斜率公式、“點差法”.實例見[2].

（8）對稱性問題：對稱性問題順其自然地聯(lián)系到中點問題、垂直問題及直線斜率問題.實例見[5].

4.小結(jié)

在近年“設(shè)而不求”的流行趨勢下，其內(nèi)在方法的學(xué)習(xí)顯得尤為重要.本文介紹了構(gòu)造“設(shè)而不求”的一般方法，探究了常見八大問題的解決策略.希望能對廣大教師的教學(xué)提供有益參考.