剩余類——群、環(huán)、域的精靈

楊月婷　姜曉威

【中圖分類號(hào)】O153

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】C

本文受吉林省教育科學(xué)規(guī)劃課題和吉林省高等教育教學(xué)改革立項(xiàng)課題資助

1.引言

對近世代數(shù)課程的改革是一項(xiàng)艱巨而復(fù)雜的任務(wù)，其中改革課程教學(xué)體系、加強(qiáng)教材建設(shè)，注重與其他課程及實(shí)際問題的聯(lián)系都是非常好的教學(xué)改革環(huán)節(jié)，我們從教學(xué)實(shí)際出發(fā)考慮改革教學(xué)方法，加強(qiáng)實(shí)例教學(xué)，將幾個(gè)重要實(shí)例滲透到教學(xué)的全過程，逐一引導(dǎo)學(xué)生理解抽象的概念和相關(guān)結(jié)論，也不失為一個(gè)行之有效的好方法.不難發(fā)現(xiàn)，在信息編碼和密碼技術(shù)中有重要應(yīng)用的剩余類就是一類重要實(shí)例，它從我們非常熟悉的整數(shù)集合_瘙_綄_和一元多項(xiàng)式環(huán)F[x]切入，使得學(xué)習(xí)起來不會(huì)感覺那么陌生，卻可以詮釋群、環(huán)、域中的主要概念和結(jié)論.

（10）_瘙_綄_n是含n個(gè)元的域當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù).（這是一個(gè)非常有代表性的有限域.）

上述結(jié)論可以讓學(xué)生更清楚地理解群、環(huán)、域的定義，運(yùn)算性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，也能更清楚地認(rèn)識(shí)到各知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系， 例如理想就是正規(guī)子群概念的推廣，它在環(huán)同態(tài)中的作用與正規(guī)子群在群同態(tài)中的作用相似等等.

在教學(xué)中還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)兩個(gè)剩余類有不同的應(yīng)用但也不是相互孤立的.

綜上所述，在具有高度抽象性的課程中通過認(rèn)識(shí)實(shí)例、運(yùn)用實(shí)例、構(gòu)造實(shí)例來幫助學(xué)生理解和掌握抽象的概念和結(jié)論，可以起到拋磚引玉的作用，達(dá)到事半功倍的效果，就像剩余類，學(xué)生們把它當(dāng)作一只可愛的精靈，暢游于群、環(huán)、域的海洋之中，使原本對枯燥、晦澀的理論知識(shí)的學(xué)習(xí)變得生動(dòng)而有趣.