數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課：借題發(fā)揮

任勇

摘要

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，關(guān)鍵之一是學(xué)會解題.解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教師的基本功，解題是數(shù)學(xué)教學(xué)中的“微觀藝術(shù)”，而任何藝術(shù)的精彩之處和感人之處，也許就在這“微觀”之中.

例題教學(xué)是幫助學(xué)生掌握概念、定理及其它數(shù)學(xué)知識的手段；又是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、方法，形成技能技巧以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要手段.

如何充分發(fā)掘利用課本例題的價(jià)值，是數(shù)學(xué)教育工作者正在積極探索的一個(gè)熱點(diǎn)問題.

奧加涅相說的好：“必須重視，很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性，……從解本題到向獨(dú)立地提出類似的問題和解答這些問題，這個(gè)過程顯然在擴(kuò)大解題的武器庫，學(xué)生利用類比和概括的能力在形成；辨證思維、思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造性的素質(zhì)也在發(fā)展.”

數(shù)學(xué)教育家波利亞也認(rèn)為：“一個(gè)有責(zé)任心的教師與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面，在指導(dǎo)學(xué)生解題過程中，提高他們的才智與推理能力.”

基于上述理念，筆者以一道課本題為例，借題發(fā)揮，探索一題多解、一題多變、一題多用的價(jià)值，以期培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位地認(rèn)識、研究問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

一道數(shù)學(xué)題，由思考的角度不同可得到多種不同的思路.廣闊尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探察、探索、思維能力.

證1（分析法）；證2（綜合法）；證3（求差比較法）；證4（求商比較法）；證5（反證法）；證6（放縮法）；證7（構(gòu)造函數(shù)法）；證8（增量法）；證9（定比分點(diǎn)法）；證10（斜率法1）；證法11（斜率法2）；證法12（三角法）；證法13（幾何法）.

“解需有法，解無定法.大法必依，小法必活.”前六種證法是大法，必須“牢牢依靠”；后六種證法是小法，要會“靈活應(yīng)用”.尤其是后七種證法，我們在“意料之外”和“令人震驚”之中，又一次體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)的神奇、數(shù)學(xué)的美！

2 一題多變的教學(xué)價(jià)值

一個(gè)例題，如果靜止地、孤立地去解答它，那么再好也只不過是解決了一個(gè)問題.數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)突出探索活動，探索活動不僅停留在對原題的解法上的探索上，而應(yīng)適當(dāng)?shù)赜袡C(jī)地對原題進(jìn)行深層的探索，挖掘出更深刻的結(jié)論.這就是數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式藝術(shù).變式，是一種探索問題的方法，也是一種值得提倡的學(xué)習(xí)方法；變式，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可以有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平.

引導(dǎo)學(xué)生給出5個(gè)變式，聯(lián)想到等比定理，進(jìn)一步猜想，可得變式6.

法，王老師還竟能再“索”出十二種新的解法，不可謂不絕！喜的是有了這十二種新的解法，這道題的證法就有二十四種了，我今后再上這節(jié)課就更加從容而自信了！

展望

受到本例的啟發(fā)，我多么希望能有100節(jié)這樣的“精品課”，于是我萌發(fā)了要編寫《一課一題100例》一書.我向廈門市的老師們約稿，約稿函如下.

為了弘揚(yáng)數(shù)學(xué)教師的智慧，為了指導(dǎo)廣大數(shù)學(xué)教師智慧地開展教育教學(xué)工作，為了提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性，揭示數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展，經(jīng)與出版社協(xié)商，擬出版《數(shù)學(xué)一課一例精選》一書，有關(guān)事宜說明如下：

一、書名及出版社

1.書名：《數(shù)學(xué)一課一例精選（初中版）》；《數(shù)學(xué)一課一例精選（高中版）》.

2.出版社：福建教育出版社（暫定）.

二、主編及作者

1.主編：任 勇.

2.作者：廈門市數(shù)學(xué)教師.

三、讀者對象

中學(xué)數(shù)學(xué)教師，有關(guān)數(shù)學(xué)教育研究人員，學(xué)有余力的中學(xué)生，其他數(shù)學(xué)愛好者.

四、難度要求

源于課本難度，高于課本難度，盡可能延伸，部分內(nèi)容可延伸至數(shù)學(xué)學(xué)科競賽難度.

五、截稿日期：2008年10月8日.

六、寫作要求

1.針對性：讀者對象是數(shù)學(xué)教師，尤其是青年數(shù)學(xué)教師；

2.指導(dǎo)性：對廣大數(shù)學(xué)教師有指導(dǎo)意義，體現(xiàn)廈門市數(shù)學(xué)教師的智慧；

3.時(shí)代性：盡可能貼近時(shí)代，體現(xiàn)先進(jìn)教育理念，符合課改精神；

4.可讀性：不刻意追求理論的完整性，但要求寫作具有可讀性、實(shí)用性；

5.以一題多解、一題多變、一題多用為主線展開寫作，盡量都涉及，如確有難度，也不苛求面面俱到；

6.字?jǐn)?shù)：每篇文章字?jǐn)?shù)控制在4000～10000字；

7.寫作格式：見附件中樣稿格式；

8.在稿件后面注明：姓名，<30字的簡介，通訊地址，聯(lián)系電話，郵箱；

9.稿件要求：以電子版形式，發(fā)至：

ren.yong@163.com

10.聯(lián)系電話：（此略） 聯(lián)系人：任 勇

11.作者權(quán)利：每錄用一篇，給作者一本樣書，并獲相應(yīng)稿酬；

12.請廈門市數(shù)學(xué)教師大力支持此項(xiàng)工作，希望每位理事至少提供一篇文章.

情況如何，一言以蔽之：佳作極少！