數(shù)學(xué)公理化方法在研究數(shù)學(xué)中的重要作用

郭曉麗

【摘要】 數(shù)學(xué)公理化方法在近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著基本的作用，它的思想對(duì)各門(mén)現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的系統(tǒng)形成有著深刻的影響，公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大作用，如在對(duì)公理化方法邏輯特征的研究中，產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)的獨(dú)立性產(chǎn)生的，元數(shù)學(xué)理論或證明論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生的等。本文主要就數(shù)學(xué)公理化方法在研究數(shù)學(xué)中的重要作用進(jìn)行分析說(shuō)明。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué) 公理化方法 研究數(shù)學(xué) 作用

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G424 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962（2013）02（b）-0042-01

1 數(shù)學(xué)公理化方法概述

1.1 數(shù)學(xué)公理化方法的內(nèi)涵

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號(hào)表示，命題由符號(hào)組成的公式表示，命題的證明用一個(gè)公式串表達(dá)。一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。同時(shí)，作為一個(gè)符號(hào)化的形式系統(tǒng)，可以用來(lái)提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言；提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法；提供邏輯推理的工具。

公理化方法的具體形態(tài)有三種：實(shí)體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構(gòu)起來(lái)的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。

1.2 公理化方法的基本思想

數(shù)學(xué)是撇開(kāi)現(xiàn)實(shí)世界的具體內(nèi)容來(lái)研究其量性特征形式與關(guān)系的。其結(jié)果只有經(jīng)過(guò)證明才可信，而數(shù)學(xué)證明采用的是邏輯推理方法，根據(jù)邏輯推理的規(guī)則，每步推理都要有個(gè)大前提，我們不難想象到，最初的那個(gè)大前提是不可能再由另外的大前提導(dǎo)出的，既是說(shuō)，我們的逆推過(guò)程總有個(gè)“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現(xiàn)這樣的情況最原始的概念無(wú)法定義。

因此，我們要想建立一門(mén)科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門(mén)學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過(guò)精確定義與邏輯推理的方法演繹出來(lái)，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法。

2 數(shù)學(xué)公理化方法的邏輯特征

2.1 協(xié)調(diào)性

無(wú)矛盾性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時(shí)推出命題A與其否定命題，顯然，這是對(duì)公理系統(tǒng)的最基本的要求。如何證明給定的公理系統(tǒng)的無(wú)矛盾性呢？若想通過(guò)“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒(méi)有矛盾”來(lái)證明是不可能的。

2.2 獨(dú)立性

獨(dú)立性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，被選定的公理組中任何一個(gè)公理都不能由其他公理推出。獨(dú)立性其實(shí)要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)定理，在公理組中就是多余的，所以，獨(dú)立性要求公理組中公理數(shù)目最少。

2.3 完備性

完備性要求在一個(gè)公理系統(tǒng)中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題，所以，公理不能過(guò)少，否則就推不出某些真命題，這是關(guān)于完備性的古典定義?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu)，就稱(chēng)這個(gè)公理系是完備的。

在上述公理化方法的三個(gè)特征中，無(wú)矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨(dú)立性從理論上講，從完美簡(jiǎn)煉上講，應(yīng)該要求，因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處的地位不同，公理是出發(fā)點(diǎn)，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨(dú)立性要求有時(shí)可降低?，F(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對(duì)象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對(duì)象”被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一。

3 數(shù)學(xué)公理化方法在研究數(shù)學(xué)中的作用和意義

3.1 表述和總結(jié)科學(xué)理論

公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個(gè)系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識(shí)體系，便于掌握理論的本質(zhì)。它是應(yīng)用演繹推理的基本方法，它為認(rèn)識(shí)世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學(xué)理論一種比較完善的方法，它為各門(mén)科學(xué)提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進(jìn)理論的完善和嚴(yán)格化。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，有助于人們了解數(shù)學(xué)各分支、各部門(mén)之間的本質(zhì)聯(lián)系。

3.2 完善和創(chuàng)新理論

公理化方法的應(yīng)用要求一門(mén)科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對(duì)該門(mén)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。因此，實(shí)現(xiàn)公理化的過(guò)程也是深入研究理論體系的過(guò)程。采用公理化方法還可以發(fā)現(xiàn)和補(bǔ)充理論系統(tǒng)中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創(chuàng)建新的理論。

3.3 培養(yǎng)和熏陶人們的邏輯思維能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學(xué)會(huì)如何去獲得這些知識(shí)，即學(xué)會(huì)正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，邏輯思維正是數(shù)學(xué)思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實(shí)現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟(jì)，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無(wú)疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。

4 結(jié)語(yǔ)

公理化方法是是建立某些抽象學(xué)科的基礎(chǔ)，是加工、整理知識(shí)，建立科學(xué)理論的工具，公理系統(tǒng)的形成是數(shù)學(xué)分支發(fā)展的新起點(diǎn)。公理化方法有助于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)成果，可以探索各個(gè)數(shù)學(xué)分支的邏輯結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，促進(jìn)和推動(dòng)新理論的創(chuàng)立和發(fā)展。對(duì)各門(mén)自然科學(xué)的表述具有積極的借鑒作用。同時(shí)公理化方法對(duì)于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法及培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力具有重要作用。公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中的巨大作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。

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