基于比率依賴的兩種群捕食者—食餌系統(tǒng)的隨機模型的漸近性質(zhì)*

史 超，譚 楊，郭子君

(1．華南農(nóng)業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，廣東 廣州 510642；2．銅仁職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 銅仁 554300)

生物種群的狀態(tài)特征分析是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的中心工作之一。在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)的研究中，種群的持續(xù)生存一直以來都是一個很受關(guān)注的重要問題。自從Lotka和Volterra提出標準的兩種群Lotka-Volterra系統(tǒng)以來，已經(jīng)有很多學(xué)者對此進行了大量的研究，并得到了很多研究成果。對于這個系統(tǒng)，如果其中的a12>0,a21<0，這就是標準的Lotka-Volterra型捕食者—食餌系統(tǒng)。近年來根據(jù)生物學(xué)和生理學(xué)中研究的數(shù)據(jù)表明：一個合乎實際且一般的捕食者—食餌系統(tǒng)模型應(yīng)基于“比率依賴”理論。所謂“比率依賴”是指捕食者種群的平均增長率應(yīng)與食餌種群密度及捕食者種群密度之比的函數(shù)有關(guān)?；诒嚷室蕾嚨牟妒痴摺仇D系統(tǒng)模型越來越受到數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)工作者的重視，在文[1]中Arditi和Ginzburg最早研究了基于比率依賴的捕食者-食餌系統(tǒng)模型，在文[2]中研究了基于比率依賴的具時滯的捕食者-食餌系統(tǒng)解的周期性，在文[3]中研究了在有時滯的情況下兩種群基于比率依賴的捕食者-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和持續(xù)生存的條件,而文[4]則研究了在有時滯的情況下多種群基于比率依賴的捕食者-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和持續(xù)生存的條件。

(1)

一般地，種群系統(tǒng)所處的環(huán)境是隨機變化的，環(huán)境中的許多因素都隨時間的改變而隨機地變化，種群系統(tǒng)狀態(tài)也就會受到環(huán)境隨機噪聲的影響。因此我們必須考慮種群系統(tǒng)所處環(huán)境的隨機性，隨機微分方程理論給我們提供了隨機環(huán)境下兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)分析的重要理論基礎(chǔ)。文獻[5]研究了隨機Lotka-Volterra模型的性質(zhì)，文[6]研究了環(huán)境噪聲下兩種群系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性，文[7]研究了在有時滯的情況下隨機捕食者-食餌系統(tǒng)的全局正解、隨機最終有界等性質(zhì)，文[8]研究了在有時滯的情況下隨機多種群系統(tǒng)的全局正解、隨機最終有界和漸近穩(wěn)定等性質(zhì)。在文[9]中，我們研究了基于比率依賴的兩種群捕食者-食餌的隨機系統(tǒng)，得到了全局正解和解的有界性。到目前為止，還沒有文獻涉及到基于比率依賴的隨機兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)解的漸近性質(zhì)。

在本文中，我們運用隨機微分方程的理論來討論隨機環(huán)境下基于比率依賴的兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)解的幾個漸近性質(zhì)。

1 基礎(chǔ)知識

(2)

其中a,b,c,d,p,m為正常數(shù)，σ=(σij)2×2是隨機噪聲密度系數(shù)矩陣。為討論隨機干擾對種群系統(tǒng)的影響，假設(shè)(H1)σ11>0,σ22>0,σ12≥0,σ21≥0。 在文獻[9]中，我們證明了關(guān)于模型(2)解的存在唯一性的如下定理。

在模型(2)中，若取

a=0.1,b=0.05,c=0.02,m=0.4,d=0.08,p=0.01,σ11=0.01,σ12=0.02,σ21=0.02,σ22=0.01,易驗證假設(shè)條件(H1)成立，取初值x(0)=(x1(0),x2(0))=(5,5)，步長Δt=0.001，x1(t)和x2(t)的軌道模擬圖如圖1所示。

圖1 假設(shè)(H1)下模型的全局解的軌道模擬Fig.1 The pathwise of the global solution of (1) under the hypothesis (H1)

定理1和圖1都說明了系統(tǒng)(2)中所研究生物種群受到隨機環(huán)境干擾時，不論這個干擾多么小，模型(2)都不會出現(xiàn)爆炸解。

2 隨機最終有界

在本節(jié)中，我們將討論系統(tǒng)(2)的隨機最終有界性質(zhì)。首先我們給出隨機最終有界的定義[8]：

隨機最終有界說的是種群規(guī)模在大概率下低于某個值，不會發(fā)生爆發(fā)。下面給出它的證明。

(3)

d[etV(x(t))]=etV(x(t))dt+etdV(x(t))=

[et(LV(x(t))+V(x(t)))]dt+

(4)

其中:

(5)

(6)

對每個整數(shù)n≥|x(0)|,定義停時ρn=inf{t∈R+:|x(t)|≥n},

于是有

Ε(etV(x(t∧ρn)))=V(x(0))+

(7)

由式(6)-(7)得

etΕ(V(x(t∧ρn)))≤V(x(0))+ket

(8)

令n→∞得

etΕ(V(x(t)))≤V(x(0))+ket

兩邊同時除以et，得

ΕV(x(t))≤V(x(0))e-t+k

對任意的xi>0(i=1,2)，有

得

于是有

(9)

證明在引理3 中令θ=1/2,存在M>0使得

(10)

對任意的ε>0，令H=M2/ε2，則由Chebyshev不等式有

(11)

于是

即

(12)

證畢。

由引理3和定理4可稱系統(tǒng)(2)是隨機最終有界的。

3 漸近矩估計

由于無法獲得解析解，漸近矩估計說明的是解的平均值(相對時間t)的變化特征。

對于模型(2)，我們有關(guān)于漸近矩估計定理如下。

證明在式(3)中，容易得

(13)

(14)

(15)

由式(13)-(15)得

(16)

(17)

(18)

兩邊同時除以t得到

(19)

則有

(20)

因此得證。

4 軌道估計

由于無法獲得解析解，軌道估計說明的是依概率1下，解(軌道) (相對時間t)的變化特征。對于模型(2)，我們有關(guān)于軌道估計定理如下。

(21)

(22)

給定任意的ε∈(0,1)和θ>1,對于每一個正數(shù)k≥1,根據(jù)指數(shù)鞅不等式有

由Borel-Cantelli引理可知,存在Ωi?Ω滿足P(Ωi)=1,(i=1,2)且對任意的ω∈Ωi能找到一個整數(shù)ki=ki(ω)(i=1,2)使得,對所有的0≤t≤k和k≥ki(ω)有

則方程(21)-(22)可變?yōu)?/p>

(23)

(24)

對于任意的ω∈Ωi(i=1,2),當0≤t≤k和k≥ki(ω)(i=1,2)時，式(23)-(24)可以改寫成

(25)

(26)

存在正常數(shù)K,使

(27)

因此,對于任意給定的ω∈Ω0,如果k-1≤t≤k和k≥k0(ω)

(28)

則

(29)

在模型(2)中，取兩組值，

第一組值：a=0.08,b=0.03,c=0.02,m=0.02,d=0.03,p=0.01,σ11=0.02,σ12=0.01,σ21=0.03,σ22=0.025；

第二組值：a=0.1,b=0.05,c=0.02,m=0.4,d=0.08,p=0.01,σ11=0.01,σ12=0,σ21=0,σ22=0.01,

圖2 假設(shè)(H1)下軌道模擬under the hypothesis (H1)

參考文獻：

[1] ARDITI R, GINZBURG L R. Coupling in predator-prey dynamics: ratio-dependence[J]. Journal of Theoretical Biology, 1989, 139:311-326.

[2] FAN M, WANG K. Periodicity in a delayed ratio-dependent predator-prey system [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2001, 262:179-190.

[3] XU R, DAVIDSON F A, CHAPLAIN M A J. Persistence and stability for a two-species ratio-dependent predator-prey system with distributed time delay [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2002, 269:256-277.

[4] XU R, CHEN L S. Persistence and global stability for n-species ratio-dependent predator-prey system with time delays [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2002, 275:27-43.

[5] MAO X R, SABANIS S, ERIC R. Asymptotic behavior of the stochastic Lotka-Volterra model [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003, 287:141-156.

[6] MAO X R, GLENN M, ERIC R. Environment Brownian noise suppresses explosions in population dynamics [J]. Stochasitc Processes and Their Application, 2002, 97:95-110.

[7] ARIFAH B, MAO X R. Stochastic delay Lotka-Volterra model [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2004, 292:364-380.

[8] MAO X R, YUAN C G, ZOU J Z. Stochastic differential delay equations of population dynamics [J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2005, 304:296-320.

[9] 郭子君. 基于比率依賴的兩種群捕食者-食餌系統(tǒng)的隨機模型[J].中山大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2010,49(2):48-53.