連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)概率密度的輔助隨機(jī)變量解法

湯保新，陳 健，路培國 （揚(yáng)州大學(xué)土木工程系，江蘇 揚(yáng)州225127）

對連續(xù)型隨機(jī)變量 （或向量）函數(shù)的概率密度，其常規(guī)求解方法［1－2］是分布函數(shù)法。當(dāng)隨機(jī)變量函數(shù)有反函數(shù)或分區(qū)域有反函數(shù)且反函數(shù)可導(dǎo)時，其概率密度可直接求得。一般情形時，其概率密度有積分形式 （理論解），但該理論解含有廣義函數(shù)，僅對少數(shù)類型的函數(shù)可運(yùn)用變量代換的技巧得出積分的解析解，而對大多數(shù)類型的一般函數(shù)不便直接求解析解。間接的方法是概率密度演化方法［2］，通過引入時間變量，先將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于聯(lián)合概率密度的偏微分方程，進(jìn)而求得邊緣密度；但該偏微分方程的初始條件亦含有廣義函數(shù)，不便于求解析解。為此，筆者通過引入輔助隨機(jī)變量，提出了一種求解連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)概率分布的新方法，為一般類型隨機(jī)函數(shù)概率分布的數(shù)值計(jì)算提供了理論依據(jù)。

1 常規(guī)解法

式 （1）是計(jì)算隨機(jī)函數(shù)概率分布的基本公式。

對連續(xù)型隨機(jī)變量X，設(shè)其概率密度為fX（x），當(dāng)Y＝g（X）為嚴(yán)格單調(diào)且反函數(shù)可導(dǎo)時，可利用反函數(shù)求得：

再求Yi＝gi（X）的邊緣密度：

上述公式的關(guān)鍵條件是Y＝g（X）有反函數(shù)存在。此條件可推廣為：將X劃分為m個互不相交的區(qū)域在每個區(qū)域上反函數(shù)存在，亦可求得Y的聯(lián)合密度：

進(jìn)而求得邊緣密度。

常規(guī)解法的要求較苛刻，一是要求反函數(shù)存在或分區(qū)域反函數(shù)存在，在實(shí)際工程中一般難以滿足；二是需要求導(dǎo)，增加了計(jì)算難度。

2 輔助隨機(jī)變量解法

研究隨機(jī)函數(shù)：

的概率分布。式 （7）中，X的概率密度為fX（x）；E為引入的已知輔助隨機(jī)變量，其概率密度為fE（ε），X與E相互獨(dú)立；Y＝g（X）的概率密度fY（y）待求。

顯然，X 與E 有 聯(lián) 合 密 度fX（x）fE（ε），Z對E 有反函 數(shù)E ＝Z－g（X），雅 可 比 行 列 式由式 （3）可求出Z的概率密度為：

另外，由于X與E相互獨(dú)立，則Y＝g（X）與E相互獨(dú)立，對式 （7）有卷積積分：

式 （8）僅對少數(shù)類型隨機(jī)函數(shù)可通過反函數(shù)或換元法求得，一般情形下需采用數(shù)值積分。式 （9）為第一類Fredholm積分方程。由式 （8）求得fZ（z）后，再由式 （9）求得fY（y）。

特別地，當(dāng)E＝0時，其概率密度為單位脈沖函數(shù) （亦稱Dirac函數(shù)）：

則Z＝Y(jié)，式 （8）變?yōu)椋?/p>

式 （10）含有廣義函數(shù)δ（ε），僅對少數(shù)類型函數(shù)可利用廣義函數(shù)的積分性質(zhì)求得。

3 傅里葉變換解積分方程

求解積分方程常采用積分變換方法。

對式 （9）進(jìn)行傅里葉變換：

求出Y的傅里葉變換：

式 （11）進(jìn)行傅里葉逆變換，即得Y的概率密度：

對式 （10）進(jìn)行傅里葉變換，求出Y的傅里葉變換：

式 （14）進(jìn)行傅里葉逆變換，即得Y的概率密度，同式 （13）。

4 算 例

輔助隨機(jī)變量E可取常用概率分布，其定義域?yàn)檎麄€實(shí)數(shù)域。當(dāng)采用積分變換求解時，輔助隨機(jī)變量應(yīng)便于求傅里葉變換；當(dāng)采用換元法求解時，輔助隨機(jī)變量應(yīng)與待求函數(shù)匹配。如取正態(tài)分布，其傅里葉變換為或指數(shù)分布，其中為單位階躍函數(shù) （亦稱示性函數(shù)），其傅里葉變換為

例1 已知X～N（0，1），求Y＝X2的概率密度。

式 （15）指數(shù)最高為4次，難以直接積分，可先對z進(jìn)行傅里葉變換，將指數(shù)降為2次，再積分：

以上算例分析表明，該解法對少數(shù)類型隨機(jī)函數(shù)可求得解析解，這為一般類型隨機(jī)函數(shù)概率分布的數(shù)值計(jì)算提供了理論依據(jù)。

［1］李思齊，李昌興，柳曉燕 ．二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布密度的計(jì)算 ［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（5）：162－166．

［2］《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊》編委會 ．概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程卷 ［M］．北京：清華大學(xué)出版社，2000：42－46．

［3］李杰，陳建兵 ．隨機(jī)動力系統(tǒng)中的廣義密度演化方法 ［J］ ．自然科學(xué)進(jìn)展，2006，16（6）：712－719．