概率論課程的啟發(fā)式教學(xué)法探討

程 培

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601）

概率論是一門(mén)研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科，其研究方法獨(dú)特，研究?jī)?nèi)容實(shí)際，應(yīng)用廣泛，是我國(guó)高等院校本科教育中的三大基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程之一.然而，在概率論教與學(xué)的過(guò)程中，教師普遍反映概率論難講，學(xué)生普遍抱怨概率論難學(xué).究其原因，主要有以下三個(gè)方面：一是概率論不同于數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等研究確定性現(xiàn)象的純粹的數(shù)學(xué)學(xué)科，概率論的學(xué)習(xí)要求學(xué)生從確定性思維轉(zhuǎn)變到隨機(jī)性思維，學(xué)生普遍感到不適應(yīng).二是因?yàn)楦怕收撆c測(cè)度論聯(lián)系緊密，目前我國(guó)概率論教材為了強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的嚴(yán)謹(jǐn)性和體系性，使得知識(shí)抽象化和理論化，缺少通俗性和趣味性，學(xué)生學(xué)起來(lái)覺(jué)得晦澀難懂.三是教學(xué)課時(shí)少而內(nèi)容多，教師普遍采用填灌式的講授方式而忽視了學(xué)生主體作用，無(wú)法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，導(dǎo)致學(xué)生求知興趣下降、學(xué)習(xí)動(dòng)力不足.因此，在課堂上以學(xué)生為中心，適當(dāng)、適時(shí)地采用合理的啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題環(huán)境和聯(lián)系實(shí)際社會(huì)現(xiàn)象等方法，使系統(tǒng)化和理論化的概率知識(shí)變得生動(dòng)活潑起來(lái)，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，是這門(mén)課程教學(xué)能取得好效果的關(guān)鍵所在.

啟發(fā)式教學(xué)，是指在教學(xué)過(guò)程中，以學(xué)生為中心，教師根據(jù)教學(xué)目的、內(nèi)容、學(xué)生的知識(shí)水平及掌握知識(shí)的規(guī)律，采取啟發(fā)引導(dǎo)辦法傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力，使學(xué)生更加積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，以促進(jìn)身心更好地發(fā)展.啟發(fā)式教學(xué)法不是具體的教學(xué)方法，而是一種教學(xué)原則，是教學(xué)思想和教學(xué)觀，它以激發(fā)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性思維、喚起學(xué)生求知的欲望和興趣為著眼點(diǎn),科學(xué)地引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，積極思考，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和探索，發(fā)展智力，挖掘潛力.啟發(fā)式教學(xué)要求教師按照辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論和方法論組織課堂教學(xué)，在整過(guò)教學(xué)過(guò)程中，教師運(yùn)用深刻的積極的思維活動(dòng)，通過(guò)一定的引導(dǎo)和啟迪方式，引起學(xué)生的共鳴，使學(xué)生經(jīng)過(guò)積極思維后不僅接受了新知識(shí)，而且培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)進(jìn)行獨(dú)立思考，獲得探索新知識(shí)、新技能的能力，進(jìn)而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力[1].在《概率論基礎(chǔ)》課程的教學(xué)實(shí)踐中，筆者采取了一些辦法實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)，取得了較為滿意的教學(xué)效果.下面談?wù)劰P者的做法和體會(huì).

1 建立學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，是學(xué)生愛(ài)學(xué)樂(lè)學(xué)的基本情感，是學(xué)生面對(duì)新知識(shí)的一種積極態(tài)度，是探索求知的內(nèi)在動(dòng)力.學(xué)生有了興趣，就能積極地、主動(dòng)地、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí).因此，能使學(xué)生在愉悅的氣氛中學(xué)習(xí)，喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望和興趣是教學(xué)成功的關(guān)鍵.在概率論的課堂教學(xué)中，可以通過(guò)下面的方法來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

1.1 上好第一堂課

良好的開(kāi)始是成功的一半，而第一堂課就是一門(mén)課程的開(kāi)始,是序曲，是了解這門(mén)課程的窗口.教師如果將這個(gè)序曲演繹得精彩了,那么學(xué)生通過(guò)這個(gè)窗口,就會(huì)對(duì)這門(mén)課程感到極大興趣并且認(rèn)識(shí)到它的重要性.因此,講好第一堂課是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要機(jī)會(huì).

首先,老師要以生動(dòng)的語(yǔ)言、淺顯的事例介紹課程的特點(diǎn)和研究對(duì)象.概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支.可以在課堂上提問(wèn)“什么是隨機(jī)現(xiàn)象”，筆者先引導(dǎo)學(xué)生從字面上來(lái)理解.所謂“隨機(jī)現(xiàn)象”自然應(yīng)是不確定的現(xiàn)象，并舉出幾個(gè)實(shí)際生活中的例子，如擲一枚硬幣可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面，抽查班上學(xué)生的生日可能出現(xiàn)在哪天等.然后讓學(xué)生想想生活或?qū)W習(xí)中遇到的有哪些現(xiàn)象是隨機(jī)的，并引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)生活中隨機(jī)現(xiàn)象隨處可見(jiàn)，因此研究隨機(jī)現(xiàn)象非常重要.緊接著提出貝特朗悖論讓同學(xué)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象里面有“怪現(xiàn)象”，給同學(xué)們制造一個(gè)“懸念”，并告訴同學(xué)們我們?cè)诤竺娴闹v解中會(huì)從嚴(yán)格的概率論角度解釋這個(gè)怪現(xiàn)象.最后通過(guò)著名的“蒲豐投針試驗(yàn)”和“高爾頓板模型”解釋一下隨機(jī)現(xiàn)象的“數(shù)量規(guī)律”，從而導(dǎo)出頻率穩(wěn)定性，并讓學(xué)生自己課下做“英文字母使用頻率”的試驗(yàn).這樣同學(xué)們既對(duì)這門(mén)課程產(chǎn)生了強(qiáng)烈的好奇心，同時(shí)也對(duì)課程有一個(gè)基本了解.

其次，用辯證的觀點(diǎn)和歷史唯物主義的觀點(diǎn)介紹概率論的產(chǎn)生、發(fā)展及其在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)用.一般來(lái)說(shuō)，一門(mén)學(xué)科的產(chǎn)生和發(fā)展是離不開(kāi)生產(chǎn)和社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的，概率論也不例外.概率論起源于中世紀(jì)生活中的一個(gè)博弈問(wèn)題，1651年法國(guó)貴族德·梅爾向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了有趣的分賭注問(wèn)題，帕斯卡苦苦思索了三年，到1654年終于有了眉目，于是和費(fèi)馬通信討論，后來(lái)惠更斯也加入研究，在這些研究中建立了概率論的一些基本概念.其后，伯努利、棣莫弗、拉普拉斯、高斯和泊松等數(shù)學(xué)家在對(duì)伯努利概型的深入研究中發(fā)現(xiàn)了大數(shù)定律和中心極限定理.這些發(fā)展與概率論在射擊、保險(xiǎn)、測(cè)量等領(lǐng)域的應(yīng)用密切相關(guān).經(jīng)過(guò)早期的輝煌后，概率論的發(fā)展有些停滯，在18世紀(jì)到19世紀(jì)整整200年中，極限定理的研究是概率論研究的中心課題，雖然內(nèi)容和形式都有發(fā)展，但沒(méi)有得到較好的解決，概率論嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一直也沒(méi)有建立.直到20世紀(jì)，概率論又開(kāi)始復(fù)興和大發(fā)展，俄國(guó)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蚪⒘烁怕收摰墓砘w系，古典概率問(wèn)題得到解決和深化，概率論一躍稱為數(shù)學(xué)的主要分支之一[2].概率論的發(fā)展過(guò)程說(shuō)明任何一門(mén)學(xué)科的發(fā)展都不是一蹴而就的，都要經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)曲折的過(guò)程，是眾多科學(xué)家前赴后繼不斷努力的結(jié)果.這里面體現(xiàn)了學(xué)科間的普遍聯(lián)系，是學(xué)科間互相交融、互相作用的結(jié)果.概率論決不是某一單一學(xué)科的孤立發(fā)展，其隨機(jī)性的概率思想甚至滲入各個(gè)學(xué)科成了近代科學(xué)發(fā)展的明顯特征之一.近幾十年來(lái)，概率論結(jié)合各個(gè)工程技術(shù)和社會(huì)學(xué)科，形成了如數(shù)理金融、信息論、排隊(duì)論、可靠性理論等大量邊緣學(xué)科.

在概率論的近代發(fā)展史中其應(yīng)用占有獨(dú)特的地位,極大地推動(dòng)了相關(guān)學(xué)科的發(fā)展.幾乎在所有的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中都找到了它的用武之地.諸如在數(shù)值分析、圖論、微分方程、時(shí)間序列分析、最優(yōu)化原理、近代物理、無(wú)線電與自動(dòng)控制、網(wǎng)絡(luò)通信、質(zhì)量管理、生物工程、醫(yī)藥和農(nóng)業(yè)試驗(yàn)、金融保險(xiǎn)業(yè)等學(xué)科領(lǐng)域都有其獨(dú)到的應(yīng)用.通過(guò)介紹這些應(yīng)用就解決了學(xué)生們?yōu)槭裁磳W(xué)的問(wèn)題.筆者在課堂上還指出,即便如此,概率論在很多應(yīng)用方面還是有局限，同其他學(xué)科一樣，它不是萬(wàn)能的，它也有其自身的局限性,它仍然需要發(fā)展，事實(shí)上它目前也的確還在不斷地發(fā)展中.并指出,我們?cè)谧耐瑢W(xué)也有可能為其發(fā)展做出貢獻(xiàn).

1.2 穿插歷史著名問(wèn)題和試驗(yàn)，增添學(xué)習(xí)樂(lè)趣,培養(yǎng)創(chuàng)新精神

概率論中有很多的著名問(wèn)題和試驗(yàn)，教師在教學(xué)過(guò)程中可以適當(dāng)?shù)丶右詰?yīng)用.如在教學(xué)過(guò)程中，教師多采用歷史上的著名問(wèn)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手解決，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)家的思維過(guò)程，這種再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)式的教學(xué)方式有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生的思維.比如在講古典概率模型時(shí)，教師可以風(fēng)趣地把著名的“德?梅爾問(wèn)題”“分賭注問(wèn)題”[3]等介紹給學(xué)生，并作為思考題讓學(xué)生課后自己去找出正確的答案，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，教師再把答案告訴學(xué)生，讓學(xué)生感受到問(wèn)題解決的快樂(lè).在教學(xué)過(guò)程中，遇到著名的試驗(yàn)，試驗(yàn)條件要求不高的，可以讓學(xué)生課后自己動(dòng)手做一做，如前面提到的生日調(diào)查試驗(yàn)、擲硬幣試驗(yàn)、蒲豐投針試驗(yàn)、英文字母使用頻率試驗(yàn).這樣既增添了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，也鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力.

1.3 教學(xué)緊密聯(lián)系學(xué)生的專業(yè)

學(xué)生學(xué)習(xí)最怕的是學(xué)了沒(méi)用，讓學(xué)生感覺(jué)到所學(xué)知識(shí)非常有用，是激發(fā)其學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的關(guān)鍵.根據(jù)概率論在眾多基礎(chǔ)學(xué)科和應(yīng)用學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，教師在講授時(shí)完全可以緊密聯(lián)系學(xué)生的專業(yè)有針對(duì)性地做些介紹.如在講貝葉斯公式時(shí)，若面對(duì)的是電信學(xué)院的學(xué)生，就可以舉一些在信號(hào)估計(jì)和模式識(shí)別方面的應(yīng)用；若面對(duì)的是經(jīng)濟(jì)學(xué)院的學(xué)生，就可以舉一些在市場(chǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用.這樣可以激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中去研究、去探索，使所學(xué)理論內(nèi)容展現(xiàn)它的活力.

2 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景、調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)主動(dòng)性

“思維自疑問(wèn)和驚奇開(kāi)始”，講授法要富有啟發(fā)性，離不開(kāi)“問(wèn)”.巧妙地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望，是開(kāi)展啟發(fā)式教學(xué)的重要方法，是提高教學(xué)效果的重要一步.

2.1 提出適當(dāng)問(wèn)題并圍繞問(wèn)題進(jìn)行分析

并不是所有問(wèn)題都能夠成問(wèn)題情景，教師在備課時(shí)應(yīng)該精心準(zhǔn)備如何根據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn)提出適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，如何圍繞著這些問(wèn)題進(jìn)行分析，最終得到所要的結(jié)論.如筆者在講授全概率公式課前，提問(wèn)“有五張票，其中只有一張是真正的電影票，五個(gè)同學(xué)先后各抽取一張，后抽的同學(xué)吃虧些嗎？”.有的同學(xué)說(shuō)“后抽的吃虧”，有的說(shuō)“先抽后抽都要一樣”.筆者緊接著問(wèn)“為什么？”，這下學(xué)生普遍回答不出來(lái)原因，于是帶著疑問(wèn)進(jìn)入了新知識(shí)的學(xué)習(xí)，教師講授完新知識(shí)后順利地引導(dǎo)學(xué)生解決了課前提出的問(wèn)題.整個(gè)課堂上，學(xué)生思維都很活躍，對(duì)所學(xué)的知識(shí)也覺(jué)得容易理解并且印象深刻.再如，講完博雷爾強(qiáng)大數(shù)定律后，筆者向?qū)W生提問(wèn)“這個(gè)定律能否推廣一下，即定理中的條件能否更一般些？”，讓學(xué)生思考片刻后，引出后面的柯?tīng)柲缏宸驈?qiáng)大數(shù)定律，并讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)兩個(gè)定律的不同.

2.2 采用啟發(fā)式的語(yǔ)言

課堂上，采用如下一些啟發(fā)式語(yǔ)言,如在定理的證明過(guò)程中可以問(wèn)“下一步該怎么辦?”；在證明完幾個(gè)相似的定理后可以問(wèn)“他們之間有何聯(lián)系？”；預(yù)先給出一個(gè)結(jié)論或一步證明過(guò)程讓同學(xué)們判斷其正確性并問(wèn)“你認(rèn)為是對(duì)的嗎”；給出幾個(gè)例子研究它的性質(zhì)并推廣到一般的情況時(shí),可以問(wèn)“從這里你能得出怎樣的結(jié)論?”.在每一個(gè)問(wèn)題之后要適當(dāng)沉默,給同學(xué)們留有一定的思考時(shí)間,并給出適當(dāng)分析和啟發(fā),促使學(xué)生思維的深入.在每次課后,精心設(shè)計(jì)一些與下一次講課內(nèi)容有關(guān)的問(wèn)題,讓學(xué)生們回去思考.這樣做,在課堂上有利于活躍思維,打破課堂沉悶氣氛,引發(fā)爭(zhēng)論,使學(xué)生在討論中接受新知識(shí)，同時(shí)也可以引起一些學(xué)生對(duì)某些重點(diǎn)問(wèn)題的注意力.在課后又可以促使學(xué)生們進(jìn)一步鞏固已學(xué)知識(shí),并預(yù)習(xí)新知識(shí).

3 加強(qiáng)概率知識(shí)的現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用、培養(yǎng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力

概率論是所有數(shù)學(xué)學(xué)科中與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系得最為緊密的一門(mén)學(xué)科，因而，教師可以充分挖掘生活資源引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)適當(dāng)?shù)乩孟鄳?yīng)的概率知識(shí)去解釋和分析周?chē)煜さ纳鐣?huì)現(xiàn)象及實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)概率論的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)概率論的主動(dòng)性和自覺(jué)性.其實(shí)，從各大商場(chǎng)的促銷(xiāo)活動(dòng)，隨處可見(jiàn)的彩票銷(xiāo)售中心，馬路上的車(chē)來(lái)車(chē)往，到街頭小攤設(shè)獎(jiǎng)的騙局，班上同學(xué)的生日和身高，自己接到的一個(gè)保險(xiǎn)電話，父母的一次投資，甚至是我們經(jīng)常說(shuō)的一句諺語(yǔ)，都可以作為例子在課堂上講.如教師在講授貝葉斯公式時(shí)，可以就同學(xué)們熟悉的狼來(lái)了的故事建立數(shù)學(xué)模型并分析為什么大人們對(duì)說(shuō)謊小孩的話越來(lái)越不信任.在講完隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望后，可以舉出生活中街頭小攤設(shè)獎(jiǎng)的騙局例子以及最優(yōu)庫(kù)存的問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行分析.再如，在講到小概率事件時(shí)，教師可以介紹概率論歷史上有名的生日問(wèn)題[2]，班上任選的23個(gè)人中出現(xiàn)兩人生日相同的概率為0.507%，超過(guò)了50%.如果人數(shù)達(dá)到60人，生日相同的概率會(huì)達(dá)到99%以上，幾乎是必然事件.這看似違背了人們的常識(shí)，但實(shí)際上人們常說(shuō)的諺語(yǔ)“常在河邊走，哪有不濕鞋”早已道出了這個(gè)原理.再拓展一下，還可以介紹這個(gè)原理在生活中的應(yīng)用：任意一輛汽車(chē)行駛在馬路上都是有可能發(fā)生車(chē)禍的，但人們并沒(méi)有因此不敢開(kāi)車(chē)出門(mén)，因?yàn)檫@個(gè)可能性很小，是一個(gè)小概率事件，然而，全中國(guó)卻沒(méi)有一天沒(méi)有車(chē)禍發(fā)生，這又是為什么呢？就此，教師再?gòu)睦碚撋辖o學(xué)生證明和解釋小概率事件的累積效應(yīng)[4].這樣，在教學(xué)過(guò)程中從實(shí)際生活中的素材入手，既使得學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決分析實(shí)際問(wèn)題的能力.

總之，筆者在概率論的教學(xué)實(shí)踐中嘗試了很多種辦法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué),取得了較為滿意的教學(xué)效果.實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)沒(méi)有也不可能有一成不變的模式，通過(guò)進(jìn)一步的摸索和實(shí)踐，一定還能取得更大的進(jìn)步.

〔1〕王章豹,孫顯元,李鋼.高等學(xué)校教師教學(xué)科研方法 （第二版）[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社,2009.

〔2〕李賢平.概率論基礎(chǔ)(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2011.

〔3〕李賢平.概率論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo)用書(shū)[M].北京：高等教育出版社,2011.

〔4〕陳忠維,惠淑榮,鄭鈺.高等學(xué)校概率論教學(xué)改革的探索與實(shí)踐[J].沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版）,2011,13(3):331-334.