具有Holling-II型的修改的Leslie-Gower捕食-食餌模型的定性分析

伍秀娟，羅 勇

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

具有Holling-II型的修改的Leslie-Gower捕食-食餌模型的定性分析

伍秀娟，羅 勇

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

主要研究了具有Holling-II型、修改的Leslie-Gower捕食-食餌系統(tǒng)，對其具有一般非線性增長率和非線性密度制約的模型進(jìn)行了討論，得到了正平衡點(diǎn)存在、邊界平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)局部穩(wěn)定的充分條件，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，給出了平衡點(diǎn)處的全局穩(wěn)定性分析.最后，通過數(shù)值模擬對相關(guān)的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證.

Holling-II；局部穩(wěn)定；Lyapunov函數(shù)；全局穩(wěn)定性

在生物學(xué)和生物數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，捕食者-食餌模型是一個(gè)非常重要的課題.盡管在過去的幾十年里，關(guān)于捕食者-食餌模型的研究已經(jīng)有了大量的成果，但仍然有很多代表性的生物數(shù)學(xué)問題有待解決.近些年，一類重要的、被大量研究及修改的捕食者—食餌模型就是Leslie-Gower捕食模型[1-4]，其中一個(gè)具有Holling-II型功能性反應(yīng)的修改的Leslie-Gower模型的形式如下：

這里x（t）和y（t）分別表示食餌和捕食者在t時(shí)刻的種群密度.r，K，α1，d1，h，b均為正常數(shù).r表示食餌x（t）的自然增長率，d1表示捕食者y（t）的自然增長率，K表示環(huán)境對食餌的的容納量，α1表示在單位時(shí)間里食餌被捕食者消耗的最大數(shù)量，b是食餌的半飽和系數(shù)，h與α1有相同的生物意義.

上述修改的Leslie-Gower模型中，捕食者的自然生長率是常數(shù)，但在實(shí)際的種群活動中，當(dāng)捕食者只以x（t）為食餌時(shí)，其增長率是與食餌的種群密度和捕食者的消化量（轉(zhuǎn)化量）有關(guān)的.取捕食者的自然生長率是常數(shù)不太符合實(shí)際.因此本文將捕食者的增長率改為更為符合實(shí)際的形式，得到如下的模型：

這里α2x/（b +x）是表示捕食者的功能性反應(yīng)函數(shù)，α2/α1表示轉(zhuǎn)化因子（通常取α2/α1＜1，因?yàn)椴⒉皇菃挝惑w積的食餌生物量會完全轉(zhuǎn)化為單位體積的捕食者量），d2表示捕食者的自然死亡率.因此，在不考慮密度制約等其它因素時(shí)，捕食者的凈增長率為系統(tǒng)中的可看成是捕食者y（t）的環(huán)境容納量.

1 平衡點(diǎn)分析

由平衡點(diǎn)的定義，方程（3）的平衡點(diǎn)是下列方程組的解：

由此可得系統(tǒng)的邊界平衡點(diǎn)為：

（i）E0=（0,0），表示捕食者和食餌都滅絕；

（ii）E1=（1,0），表示捕食者滅絕.

證明：從方程（4）和（5）知，x*是下列方程的正解：

令A(yù)0=βm-β+a-d ，由Δ=+4β（d+m）＞0，故方程有兩個(gè)根.又由于

所以y*存在（即0＜x*＜1），當(dāng)且僅當(dāng)f（1）＞0成立，即

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性分析

計(jì)算系統(tǒng)的雅可比矩陣，得到：

定理1 E0不穩(wěn)定；若則E1局部不穩(wěn)定，若則E是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.1

證明：系統(tǒng)在E0處的雅可比矩陣為經(jīng)過計(jì)算得到特征方程的根為：λ1=1＞0，λ2=-d＜0，所以E0局部不穩(wěn)定，且E0是以y軸為穩(wěn)定流形的鞍點(diǎn).

計(jì)算系統(tǒng)在E1處的雅可比矩陣為：

2E1局部穩(wěn)定.

則E*是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

對應(yīng)的特征方程為：λ2-Aλ+B=0，其中

特征方程有兩個(gè)負(fù)根的充要條件是：Δ=A2-4B＞0，A＜0,B＞0.因?yàn)?/p>

所以有x*＞m.又由于

令g（x）=2x2+（a-d+m）x-dm ，當(dāng)d 滿足條件β（m-1）+＜d＜時(shí)，容易驗(yàn)證得到g（x*）＞g（m）＞0和x*＞m，所以當(dāng)β（m -1）+＜d＜時(shí)，A＜0.

接下來考察：Δ=A2-4B .當(dāng)≤m＜1時(shí)，易驗(yàn)證B＞0，且

定理3 若α＜d+1，dm＞1成立，則邊界平衡點(diǎn)E1（1,0）是全局漸進(jìn)穩(wěn)定.

證明：當(dāng)dm＞1時(shí)，顯然有α＜d+1＜d（1+m）成立，則E1（1,0）是局部漸進(jìn)穩(wěn)定.定義如下的全局Lyapunov函數(shù)：

當(dāng)α＜d+1，dm＞1時(shí)，計(jì)算（8）關(guān)于系統(tǒng)（3）的導(dǎo)函數(shù)，有：

由Lasalle不變集原理可得E1全局漸近穩(wěn)定.

證明：定義如下的全局Lyapunov函數(shù)：

計(jì)算（9）關(guān)于系統(tǒng)（3）的導(dǎo)函數(shù)，則有：

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性分析

由Lasalle不變集原理可得E*全局漸近穩(wěn)定.

下面將通過模型的數(shù)值模擬來驗(yàn)證得到的結(jié)論.模擬圖見圖1.圖1中，a表示食餌x（t）隨時(shí)間t 的變化，b表示捕食者y（t）隨時(shí)間t 的變化，c表示食餌x（t）與捕食者y（t）之間隨時(shí)間的變化規(guī)律，初始條件都是相同的，為（x（0）,y（0））=（0.3,1.2）.

圖1A中，當(dāng)各參數(shù)滿足一定條件（本文的正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定條件（H1））時(shí)，從圖上可以看出，在環(huán)境中投入一定的捕食者和食餌量（0.3,1.2），此時(shí)捕食者很多而食餌卻很少.開始一段時(shí)間里，食餌的數(shù)量會得到迅速生長，而捕食者大部分死亡，其數(shù)量會變得非常少，臨近滅亡，但經(jīng)過一定時(shí)間后，捕食者的數(shù)量又會慢慢增長，最終捕食者和食餌會趨于一定的平衡.

圖1B選擇的參數(shù)雖不滿足本文給出的正平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定條件，但系統(tǒng)也趨于穩(wěn)定，即捕食者和食餌共存.圖1C中的是穩(wěn)定極限環(huán)，說明了捕食者和食餌經(jīng)過一定的時(shí)間其數(shù)量會周期性循環(huán)變化.圖1A和圖1B也說明了本文給出的穩(wěn)定性條件只是捕食者-食餌系統(tǒng)穩(wěn)定共存的充分而非必要條件.

圖1D說明了一定參數(shù)條件下，食餌會趨于其環(huán)境容納量，而捕食者最終會趨于滅亡.

4 數(shù)值模擬

本文通過定性分析，得到了一個(gè)修改的Holling-II型捕食系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，從而得到生物上捕食者和食餌的存在關(guān)系.

從上面的討論可以看出，當(dāng)d＜α/（m +1）時(shí)，捕食者和食餌都會存活且邊界平衡點(diǎn)E1是局部不穩(wěn)定的；當(dāng)d＞α/（m +1）時(shí)，只有食餌存活，捕食者趨于滅亡且E1是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.當(dāng)定理4中的條件（H1）或（H2）成立時(shí)，在環(huán)境中放入任意的捕食者和食餌數(shù)量，捕食者和食餌都會共存，且各自的數(shù)量最終會趨于相對穩(wěn)定的平衡狀態(tài).

5 結(jié) 論

圖1 食餌x和捕食者y隨時(shí)間t的變化及食餌x與捕食者y的關(guān)系圖 （初始條件：x（0）=0.3, y（0）=1.2）

參考文獻(xiàn)

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[2] Nindjin AF, Aziz-Alaoui M A, Cadivel M.Analysis of a predator-prey model with modified Leslie-Gower and Holling-type II schemes with time delay [J].Nonlinear Analysis：Real World Application, 2006, 7：1104-1108.

[3] Camara B I.Waves analysis and spatiotemporal pattern formation of an ecosystem model [J].Nonlinear Analysis：Real World Applications, 2011, 12：2511-2528.

[4] Hsu S B, Huang T W.Global Stability for a Class of Predator-Prey Systems [J].SIAM Journal on Applied Mathematics, 1995, 55（3）：763-783.

Stability Analysis of a Modified Leslie-gower Predater-Grey Model with Holling-II Functional Response

WU Xiujuan, LUO Yong
（School of Mathematics a nd Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035）

A modified Leslie-Gower predator-prey model with Holling-II functional response is studied in this paper.The discussion on the model with non-linear intrinsic growth rate leads to the existence of the inner equilibrium and the sufficient conditions of the stability of the equilibriums.By the constructing of the Lyapunov function, the analysis is made on the sufficient conditions of the global stability of the non-zero equilibriums.And some numerical results are tested finally.

Holling-II；Local Stability；Lyapunov Function；Global Stability

O175.13

A

1674-3563（2013）04-0040-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.04.007 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-11-09

國家自然科學(xué)基金（11001204）

伍秀娟（1988- ），女，安徽廬江人，碩士研究生，研究方向：生物數(shù)學(xué)