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    一種復(fù)雜多邊形區(qū)域上重積分的計(jì)算方法

    2013-02-28 01:25:52李京梁施國(guó)華
    關(guān)鍵詞:行列式多邊形四邊形

    李京梁,施國(guó)華

    (江蘇科技大學(xué)張家港校區(qū)基礎(chǔ)部,江蘇張家港215600)

    關(guān)于重積分的計(jì)算方法一直是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析[1-2]中的重要內(nèi)容.由于積分區(qū)域的復(fù)雜性,重積分的計(jì)算可能變得十分困難甚至不可能,因此,簡(jiǎn)化積分區(qū)域在重積分運(yùn)算中十分重要.文中首先給出平面上任意四邊形和三角形區(qū)域到對(duì)稱正方形區(qū)域R=[-1,1]×[-1,1]的區(qū)域變換,由此簡(jiǎn)化積分區(qū)域,然后結(jié)合區(qū)域分裂的思想,提出一種新的解決復(fù)雜多邊形區(qū)域上二重積分的方法.

    1 兩個(gè)區(qū)域變換

    1)XOY平面上的任意三角形區(qū)域ABC到ROS平面上正方形區(qū)域 R=[-1,1]×[-1,1]的映射[5-7](圖 1 左)為

    此映射將邊AC的中點(diǎn)映射到區(qū)域R的頂點(diǎn)d.

    2)XOY平面上的任意四邊形ABCD到ROS平面上正方形 R=[-1,1]×[-1,1]的映射[3-4](圖1右)為

    圖1 兩種區(qū)域變換Fig.1 Two transformations of domain

    2 區(qū)域分裂及化簡(jiǎn)二重積分

    對(duì)于XOY平面上的任意一個(gè)復(fù)雜多邊形區(qū)域D,可以將其分裂成四邊形區(qū)域和三角形區(qū)域的組合,如下圖所示,D=D1+D2+D3+D4.

    圖2 區(qū)域D的分裂Fig.2 Division of domain

    利用映射(1,2),結(jié)合重積分關(guān)于積分區(qū)域的可加性,那么在區(qū)域D上的二重積分

    式中:R 是正方形區(qū)域[-1,1]×[-1,1];g1(r,s)和 g4(r,s)是將映射(2)代入 f(x,y)后的函數(shù),J1是映射(2)的雅可比行列式;g2(r,s)和g3(r,s)是將映射(1)代入 f(x,y)后的函數(shù),J2是映射(1)的雅可比行列式;這樣在區(qū)域D上的二重積分?Df(x,y)dxdy就化成了一個(gè)在正方形區(qū)域R上的二重積分,對(duì)于某些二重積分,結(jié)合函數(shù)的奇偶性質(zhì),可以大大簡(jiǎn)化積分的計(jì)算,下面的例子給出說明.

    3 兩個(gè)例子

    例1:設(shè)積分區(qū)域E如圖3所示,各點(diǎn)坐標(biāo)為:A(0,2),B(-1,0),C(1,-1),D(3,2),被積函數(shù)取為3x-2y,則由映射(2)運(yùn)算知:

    圖3 復(fù)雜多邊形Fig.3 Complex polygon

    例2:設(shè)積分區(qū)域E∪F如圖3所示,G點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),被積函數(shù)仍取為 3x-2y,則由映射(1)運(yùn)算知:

    (3x-2y)|=(55-5s+15r-5rs)/8,J1=(10-5r-5s)/16

    References)

    [1]伍勝健.數(shù)學(xué)分析[M].北京:北京大學(xué)出版社,2010:131-163.

    [2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2007:132-153.

    [3]胡健偉,湯懷民.微分方程數(shù)值方法[M].北京:科學(xué)出版社,2007:324-328.

    [4]Canuto C,Hussaini M Y,Quarteroni A,et al.Spectral Methods[M].Berlin:Springer,2006:98 -115.

    [5]張帥胤,馬和平,王立聯(lián).橢圓型方程的Legendre三角單元譜元法[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,18(3),256 -260.Zhang shuaiyin,Ma Heping,Wang Lilian.Legendre triangle spectral element method for the elliptic equation[J].Journal of Shanghai University:Natural Science,2012,18(3):256 -260.(in Chinese)

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    [7]Canuto C,Hussaini M Y,Quarteroni A,et al.Spectral methods[M].Berlin:Springer,2006:98 -115.

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