器壁滑動(dòng)摩擦力對(duì)受振顆粒體系中沖擊力倍周期分岔過(guò)程的影響*

韓 紅 姜澤輝 李翛然 呂 晶 張 睿 任杰驥

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理系，哈爾濱 150001)

(2012年12月6日收到;2013年2月15日收到修改稿)

1 引言

顆粒物質(zhì)廣泛存在于自然界、日常生活及生產(chǎn)技術(shù)中，其行為和特性長(zhǎng)期受到工程和物理學(xué)界的關(guān)注[1].但物理學(xué)中的研究通常將顆粒的尺寸界定為大于100μm.在這一尺度下，顆粒的布朗運(yùn)動(dòng)可以忽略不計(jì)，致使顆粒體系具有不同于常規(guī)分子體系的獨(dú)特性質(zhì)[2].例如，糧倉(cāng)中的谷物超過(guò)一定厚度時(shí)，谷物對(duì)倉(cāng)底的壓力不再隨厚度而增加，而是趨于飽和，存在“糧倉(cāng)效應(yīng)”[3,4];顆粒物質(zhì)中的應(yīng)力分布是不均勻的，存在力鏈或力網(wǎng)結(jié)構(gòu)[5].

人們經(jīng)常用“一盤散沙”來(lái)比喻或形容那些渙散的無(wú)法組織起來(lái)的系統(tǒng)或群體.但對(duì)于真正的沙子或顆粒體系而言，情況卻并非如此.例如，對(duì)顆粒物質(zhì)施加周期性豎直振動(dòng)時(shí)，顆粒的運(yùn)動(dòng)并不是互不相關(guān)的，而是表現(xiàn)出整體性或協(xié)同性.經(jīng)常觀察到的現(xiàn)象有：“巴西果”效應(yīng)[6]、對(duì)流運(yùn)動(dòng)[7]、分頻表面駐波[8,9]和倍周期分岔[10-14]等.其中倍周期分岔是一種較為典型的現(xiàn)象：固定振動(dòng)頻率然后逐漸增加振動(dòng)強(qiáng)度，會(huì)發(fā)現(xiàn)顆粒對(duì)容器底的沖擊力不是雜亂無(wú)章的，而是隨著振動(dòng)強(qiáng)度的增加表現(xiàn)出一系列的倍周期分岔過(guò)程，分岔序列為2倍周期，4倍周期，混沌，3倍周期，6倍周期，混沌，4倍周期，8倍周期，混沌等[11,13,14].產(chǎn)生這一現(xiàn)象的根源是什么以及與哪些實(shí)驗(yàn)參數(shù)有關(guān)?這些問(wèn)題的澄清將有助于顆粒物質(zhì)動(dòng)力學(xué)行為的深入理解.

倍周期分岔現(xiàn)象的出現(xiàn)與顆粒體系的能量耗散有關(guān).通過(guò)顆粒間的摩擦與非彈性碰撞，顆粒體系能迅速消耗掉顆粒自身及外界輸入的動(dòng)能，從而使顆粒傾向于聚集在一起.顆粒數(shù)較小且振動(dòng)較強(qiáng)時(shí)，顆粒間的能量耗散不足以抗衡由振動(dòng)輸入的能量，顆粒將被強(qiáng)烈流化表現(xiàn)出類似于氣體的特征.但顆粒數(shù)量足夠大(約20層顆粒)時(shí)，顆粒間更加頻繁的碰撞與摩擦致使顆粒密堆積在一起形成聚集態(tài).在這種聚集態(tài)中，顆粒的運(yùn)動(dòng)會(huì)協(xié)同起來(lái)而具有整體性，類似于固體.實(shí)驗(yàn)中，這種整體性體現(xiàn)在顆粒體系對(duì)容器底的沖擊力是窄脈沖式的[10-14].雖然體系中存在表面流化、表面波、緩慢對(duì)流等運(yùn)動(dòng)形式，但這種整體性依然存在.對(duì)于直徑為d=0.50—1.00 mm的金屬顆粒，窄脈沖的寬度約為2—4 ms，且與顆粒尺寸的關(guān)系不顯著[13].振動(dòng)過(guò)程中顆粒的這種整體運(yùn)動(dòng)，可以用完全非彈性蹦球模型給予描述.這一模型將所有顆?？醋饕粋€(gè)整體，將其等效成一個(gè)完全非彈性的或塑性的球，并用這個(gè)在豎直振動(dòng)臺(tái)面上蹦跳的單球模擬顆粒體系的整體運(yùn)動(dòng).這樣就將多體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單體問(wèn)題，理論處理上大為簡(jiǎn)化.但是，蹦球模型給出的分岔點(diǎn)理論值始終小于實(shí)驗(yàn)值[10-14]，原因是蹦球模型只考慮了顆粒間的能量耗散，而實(shí)際的受振顆粒體系中還存在著其他的能量耗散——空氣阻力和器壁摩擦力.這兩種能量耗散的作用機(jī)制顯然是有差別的，實(shí)驗(yàn)中如何將它們區(qū)分開(kāi)而單獨(dú)研究各自的影響，蹦球模型能否將二者包含進(jìn)來(lái)需要做進(jìn)一步的研究.

實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)受振顆粒床中空氣會(huì)對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生顯著影響，如空氣的存在與否決定著小顆粒(d＜1 mm)起堆(heaping)現(xiàn)象的產(chǎn)生與消失[15];氣流的強(qiáng)弱會(huì)影響顆粒的尺寸分離狀態(tài)(“巴西果”或“反巴西果”效應(yīng))[16];器壁附近與顆粒床中心處的氣壓及其倍周期分岔點(diǎn)存在差別[17].最近，Pastor等人[12]在顆粒對(duì)流實(shí)驗(yàn)中(玻璃珠d=0.5±0.1 mm)發(fā)現(xiàn)，空氣的沖刷作用使2倍周期分岔點(diǎn)明顯大于蹦球模型的理論值，即使在空氣作用很小的情況下(抽真空)，這一現(xiàn)象仍然存在.這表明除了空氣阻力，器壁摩擦力的作用也是不可忽略的.

一般而言，對(duì)于小顆?？諝獾挠绊懯侵饕模鴮?duì)大尺寸的顆粒，空氣的影響相對(duì)較弱，起主要作用的是器壁摩擦力[18].器壁摩擦力的影響體現(xiàn)在它會(huì)影響顆粒的對(duì)流模式[19]及對(duì)流速度[6].但是，對(duì)于中小尺寸的顆粒，器壁摩擦力和空氣阻力同時(shí)存在并耦合在一起共同影響體系的動(dòng)態(tài)行為[10,12,20]，很難將它們完全區(qū)分開(kāi).文獻(xiàn)[21]中，將器壁摩擦力和空氣阻力合并在一起，等效成一個(gè)大小恒定、方向與體系質(zhì)心速度反向的阻力，并在此基礎(chǔ)上研究二者對(duì)倍周期分岔過(guò)程的影響.這種處理是以地面為參考系的，也就是以顆粒體系質(zhì)心對(duì)地速度是向上或向下來(lái)判斷阻力的方向.不合理之處在于：首先，實(shí)際的受振顆粒體系中，器壁摩擦力的方向應(yīng)當(dāng)與顆粒與器壁的相對(duì)速度反向;其次，空氣阻力與氣流速度有關(guān)，其大小和方向是時(shí)刻變化的而非某一恒定值.實(shí)驗(yàn)上有兩種方法可以減弱甚至消除空氣阻力的影響，一種是將容器中的空氣抽走，另一種是將容器底鏤空使空氣能自由通過(guò).消除空氣阻力后可以單獨(dú)研究器壁摩擦力的作用.

顆粒物質(zhì)與固體界面之間的摩擦力與固體-固體間的有所不同.Horvth等[22]通過(guò)提拉探棒的方式研究了作用在探棒上的最大靜摩擦力與顆粒堆積率的關(guān)系，堆積率越大最大靜摩擦力越大，二者成正比.胡林等[23]進(jìn)一步指出，這種最大靜摩擦力與接觸面積或探棒插入深度有關(guān).彭政等[24]通過(guò)拖拉顆粒樣品上的固體滑塊指出，最大靜摩擦與接觸面積無(wú)關(guān).這種不一致只是表面上的，因?yàn)樽饔迷谔桨羯系恼龎毫κ遣痪鶆虻模瑫?huì)隨探棒的插入深度而變化[23].拖拉滑塊實(shí)驗(yàn)[25,26]亦表明，顆粒體系與固體界面之間的滑動(dòng)摩擦力與固-固之間的類似，通常與正壓力成正比，而與顆粒的堆積率、接觸面積及相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)，但與接觸面粗糙程度有關(guān).在豎直振動(dòng)的顆粒體系中，顆粒做上下往復(fù)的活塞式運(yùn)動(dòng)，顆粒與器壁之間存在滑動(dòng)摩擦力.但在飛行過(guò)程中顆粒處于懸空狀態(tài)，顆粒對(duì)器壁的正壓力從何而來(lái)，滑動(dòng)摩擦力與接觸面積的關(guān)系及滑動(dòng)摩擦力是否也符合上述規(guī)律尚不十分明確.

為了研究器壁摩擦力對(duì)倍周期分岔過(guò)程的影響，實(shí)驗(yàn)將在真空和鏤空底容器中進(jìn)行.通過(guò)改變顆粒的尺寸和層數(shù)，考察顆粒與器壁接觸面積的變化對(duì)滑動(dòng)摩擦力及倍周期分岔過(guò)程的影響.同時(shí)，改變振動(dòng)頻率，研究只有器壁滑動(dòng)摩擦力的情況下，倍周期分岔過(guò)程與振動(dòng)頻率的關(guān)系.此外，對(duì)完全非彈性蹦球模型做了改進(jìn)，將器壁滑動(dòng)摩擦力包含進(jìn)來(lái).以振動(dòng)臺(tái)面為參考系，器壁滑動(dòng)摩擦力的大小恒定、方向與顆粒和器壁的相對(duì)速度反向.在此基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了分析與討論.

2 實(shí)驗(yàn)

所用容器為內(nèi)徑15.30 mm的玻璃管，器底為不銹鋼板(約2 mm厚).通過(guò)兩種方式消除空氣阻力的影響，一種是填裝顆粒后用氣泵將空氣抽走，真空度約為1 Pa;另一種是在容器底上均勻鉆出直徑為1 mm的通孔(通孔率約為76%)，然后在底板上固定一層150目(網(wǎng)孔0.10 mm)的不銹鋼絲網(wǎng)，底板下面用4根鋁合金柱支撐.這一結(jié)構(gòu)保證了空氣的順暢通過(guò)，同時(shí)對(duì)顆粒又足夠“硬”.所用顆粒為 d=1.00±0.01 mm，0.70±0.01 mm，0.50±0.01 mm，0.40±0.01 mm，0.35±0.01 mm的不銹鋼珠.顆粒的填裝厚度為20—80層.選用這種內(nèi)徑較小的管狀容器是為了抑制顆粒的多重對(duì)流卷和成拱(arching)現(xiàn)象[10,27,28]，使體系中僅存緩慢的常規(guī)對(duì)流或有序的“殼層”結(jié)構(gòu)[14,29,30]，以利于沖擊力倍周期分岔過(guò)程的觀測(cè).

裝有顆粒的容器固定在電磁式振動(dòng)臺(tái)的臺(tái)面上，臺(tái)面在豎直方向做正弦振動(dòng)，其位移表示為 x(t)=Asin(ωt)，其中，A和ω分別為臺(tái)面的振幅和角頻率.臺(tái)面的加速度由加速度傳感器測(cè)定.這里采用約化振動(dòng)加速度Γ表示振動(dòng)的強(qiáng)弱，Γ=Aω2/g，g為重力加速度.容器底部和臺(tái)面之間為壓電陶瓷式壓力傳感器，用來(lái)測(cè)量顆粒對(duì)容器底的沖擊力.沖擊力信號(hào)用示波器來(lái)監(jiān)視和記錄.

3 結(jié)果與討論

3.1 倍周期分岔的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在容器中填裝一定厚度的顆粒后，將頻率固定，Γ由1緩慢增加到16并觀察沖擊力的倍周期分岔情況.我們首先檢驗(yàn)顆粒尺寸對(duì)倍周期分岔過(guò)程的影響.將每一尺寸的顆粒都填裝到同一高度，然后觀測(cè)沖擊力信號(hào)隨Γ的變化.結(jié)果表明，無(wú)論在真空容器還是鏤空底容器中，沖擊力的倍周期分岔序列是一樣的，且與顆粒尺寸無(wú)關(guān).隨著Γ的增加，分岔序列為2倍周期，4倍周期，混沌，3倍周期，6倍周期，混沌，4倍周期，8倍周期，混沌.

圖1 真空容器中d=0.70 mm和d=0.35 mm顆粒的沖擊力分岔圖(陰影區(qū)表示沖擊力信號(hào)是混沌的)

圖2 靜電造成的顆粒掛壁現(xiàn)象 (a)d=0.35 mm的不銹鋼珠，振動(dòng)十幾分鐘后自然形成的顆粒掛壁;(b)d=1.00 mm的不銹鋼珠不會(huì)形成自然掛壁，但振動(dòng)停止后用木筷在顆粒床中間緩慢拔插幾次，會(huì)形成單層的貼壁“殼”結(jié)構(gòu).溫度20.0°C，相對(duì)濕度48%

對(duì)每種尺寸的顆粒，填裝厚度均在20—80層之間變化.結(jié)果表明，分岔序列及分岔點(diǎn)的大小與厚度沒(méi)有明顯的依賴關(guān)系，只是填裝的越多沖擊力變得越強(qiáng).改變顆粒層厚度實(shí)際上是改變了顆粒與器壁的接觸面積(用二維密堆積率0.82[31]進(jìn)行估算，貼壁顆粒數(shù)約為1000—12000之間)，分岔過(guò)程與層厚無(wú)關(guān)間接說(shuō)明器壁滑動(dòng)摩擦力與接觸面積無(wú)關(guān).這與Divoux等[26]有關(guān)固體與靜止顆粒間滑動(dòng)摩擦力的研究結(jié)果一致.實(shí)驗(yàn)中無(wú)法將厚度進(jìn)一步增大，因?yàn)楹穸冗^(guò)大會(huì)出現(xiàn)分“節(jié)”現(xiàn)象，節(jié)點(diǎn)下部顆粒有明顯的上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而節(jié)點(diǎn)上部顆粒幾乎不動(dòng).另外，實(shí)驗(yàn)中沒(méi)有通過(guò)改變管徑來(lái)改變接觸面積，因?yàn)楣軓竭^(guò)大顆粒床底面會(huì)出現(xiàn)成拱現(xiàn)象[10,27,28].不論哪種情況，顆粒上下運(yùn)動(dòng)的同步性都會(huì)變差，不利于倍周期分岔過(guò)程的觀測(cè).

表1中歸納了不同尺寸顆粒中倍周期分岔點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差.振動(dòng)頻率為60 Hz.對(duì)每一尺寸的顆粒，在不同的溫濕度環(huán)境(季節(jié)不同)中進(jìn)行了測(cè)量，分岔過(guò)程雖有漲落但與溫度、濕度無(wú)確定關(guān)系.文獻(xiàn)[29，32]中提到空氣濕度會(huì)對(duì)顆粒的對(duì)流及“巴西果”效應(yīng)產(chǎn)生影響，但在我們的沖擊力測(cè)量中并無(wú)體現(xiàn).表中的數(shù)據(jù)是十至二十次測(cè)量的平均.溫度和空氣相對(duì)濕度的變化范圍分別為17—28°C和15%—68%.這五種尺寸的顆粒的分岔點(diǎn)基本一致，說(shuō)明僅在器壁滑動(dòng)摩擦力作用下分岔過(guò)程與顆粒尺寸無(wú)關(guān).這里仍將分岔點(diǎn)按顆粒尺寸一一列出以反映各自的漲落情況.

表1 器壁摩擦力對(duì)倍周期分岔點(diǎn)的影響及其與顆粒尺寸的關(guān)系，f=60 Hz

最后，在這兩種容器中我們檢驗(yàn)了倍周期分岔與振動(dòng)頻率的關(guān)系.結(jié)果表明在35—90 Hz范圍內(nèi)分岔過(guò)程與振動(dòng)頻率無(wú)關(guān).至此實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以概括為：在僅有器壁滑動(dòng)摩擦力作用的情況下，倍周期分岔過(guò)程與顆粒的尺寸、顆粒層的厚度及振動(dòng)頻率無(wú)關(guān).與此相對(duì)照的是，存在空氣阻力時(shí)(實(shí)底容器中)倍周期分岔過(guò)程與顆粒尺寸(d＜0.50 mm)有著強(qiáng)烈的依賴關(guān)系，隨著d的減小分岔點(diǎn)顯著增加，導(dǎo)致高階分岔逐漸消失;同時(shí)，分岔過(guò)程與振動(dòng)頻率有關(guān)，頻率越小分岔點(diǎn)越大.這部分內(nèi)容將另處討論.

3.2 器壁摩擦力與蹦球模型

顆粒介質(zhì)與固體表面之間的滑動(dòng)摩擦力與二者之間的正壓力成正比，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)[26].但對(duì)于受振顆粒體系，顆粒與器壁之間的正壓力難以定量確定.為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們將作用在顆粒上的器壁滑動(dòng)摩擦力等效地寫(xiě)成

其中，m為所有顆粒的總質(zhì)量，β0為等效滑動(dòng)摩擦系數(shù) (無(wú)量綱)，取值范圍為 0≤β0＜1，u(t)=v(t)-(t)為顆粒體系質(zhì)心相對(duì)臺(tái)面(或器壁)的速度，v(t)為顆粒體系質(zhì)心的速度(相對(duì)地面)，(t)為臺(tái)面速度，sgn[u(t)]為符號(hào)函數(shù).

振動(dòng)過(guò)程中，顆粒體系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)用完全非彈性蹦球模型來(lái)描述.當(dāng)顆粒離開(kāi)容器底((t)≤-(1+β0)g時(shí))并在空中自由飛行時(shí)，質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)方程表示為

通過(guò)調(diào)整β0的取值對(duì)實(shí)驗(yàn)中的倍周期分岔過(guò)程進(jìn)行了計(jì)算，為了便于比較，表1列出了β0=0，0.07，0.1，0.2和0.3時(shí)分岔點(diǎn)的理論值.可以看出，β0=0時(shí)的理論值普遍小于實(shí)驗(yàn)值，隨著β0的增大分岔點(diǎn)的理論值逐漸增大;當(dāng)β0=0.07時(shí)低階分岔點(diǎn)的理論值與實(shí)驗(yàn)值一致，高階分岔點(diǎn)偏小;當(dāng)β0=0.3時(shí)，高階分岔點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)值符合較好，但低階分岔點(diǎn)偏大.我們認(rèn)為β0取0.07較為合適.首先，在受振顆粒床中顆粒對(duì)器壁的正壓力不可能很大.飛行過(guò)程中，顆粒處于懸空狀態(tài)，能夠產(chǎn)生正壓力的因素主要是顆粒無(wú)規(guī)碰撞和靜電“吸引”.雖然顆粒與器壁間的靜電荷會(huì)造成一定的吸附作用，但我們認(rèn)為前者是主要的，且這些因素引起的效應(yīng)不會(huì)太強(qiáng).另外，在我們的容器中空氣的影響并未完全消除，真空容器中仍殘留了20%左右的空氣，而鏤空底的空氣透過(guò)率亦不是100%.當(dāng)Γ較小時(shí)，顆粒速度較小，空氣阻力的作用體現(xiàn)不出來(lái)，而當(dāng)Γ較大時(shí)，顆粒的運(yùn)動(dòng)速度較大，殘留的空氣阻力會(huì)起作用，使高階分岔點(diǎn)的數(shù)值有所增加.文獻(xiàn)[21]中，將空氣阻力和器壁摩擦力合并在一起，并將總的阻力取為顆粒總重量的20%—30%.這一數(shù)值包含了空氣阻力的作用，因?yàn)橛糜跀M合的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是在實(shí)底敞口的容器中獲得的.如果將之用于擬合表1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，等效阻力系數(shù)取為0.07時(shí)所得的結(jié)果也是可以接受的，但所用模型中器壁摩擦力的取向是以地面為參照的(即以v(t)的方向定正負(fù)).這種處理意味著只有當(dāng)顆粒飛行到最高點(diǎn)(v(t)=0)時(shí)器壁摩擦力才換向，也就是，飛行過(guò)程中器壁摩擦力只換向一次.這在物理圖像上是不合理的.實(shí)際情況是，飛行過(guò)程中顆粒與器壁的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的方向要變化多次，器壁滑動(dòng)摩擦力的方向也將隨之改變，因此，以u(píng)(t)的方向來(lái)定器壁摩擦力的正負(fù)更可取.

圖3給出了分岔點(diǎn)與β0的關(guān)系(黑線)，分岔點(diǎn)基本上是隨β0線性增加的，僅有極微小的上凸.作為比較，圖中亦給出了根據(jù)文獻(xiàn)[21]中所用模型得到的結(jié)果(紅線).在阻力不是很大(β0＜0.4)的情況下，二者給出的結(jié)果基本一致.但β0進(jìn)一步增大時(shí)，分岔點(diǎn)卻隨β0迅速減小并同時(shí)趨于4，這顯然是不合理的.

為進(jìn)一步檢驗(yàn)器壁摩擦力的影響，我們?cè)趦?nèi)壁分別貼上1600目、800目和320目的金相砂紙，以此改變器壁的粗糙度.這樣做卻引起了非常劇烈的顆粒對(duì)流運(yùn)動(dòng)，致使只能夠觀察到2倍周期和4倍周期分岔，之后就是混沌，無(wú)其他高階分岔.另外，2倍周期和4倍周期分岔點(diǎn)略小于表1中的數(shù)值.出現(xiàn)這一結(jié)果的原因是所用砂紙的粗糙度過(guò)大，器壁摩擦力的增大加劇了顆粒的對(duì)流運(yùn)動(dòng)，使顆粒變得過(guò)于蓬松，聚集態(tài)遭到破壞，顆粒運(yùn)動(dòng)的整體性變差.顆粒變得蓬松的證據(jù)為沖擊力的脈沖寬度加大.以0.70 mm的不銹鋼珠為例，不貼砂紙時(shí)，脈沖寬度為2—4 ms，貼砂紙后為5—9 ms.可見(jiàn)，貼砂紙難以對(duì)器壁摩擦力進(jìn)行細(xì)致的調(diào)控，應(yīng)尋找其他更有效的方法對(duì)圖3中的理論結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).改用表面凹凸不平且球形度較差的顆粒進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，如，尺寸為0.28—0.45 mm的鎳顆粒，仍得到與貼砂紙后相同的結(jié)果.這表明因顆粒不光滑引起的堆積率減小，亦會(huì)降低顆粒運(yùn)動(dòng)的整體性，同時(shí)亦說(shuō)明顆粒的對(duì)流運(yùn)動(dòng)與堆積率有著密切的關(guān)系.使用表面光滑且尺寸均一的不銹鋼珠，雖然會(huì)出現(xiàn)緩慢對(duì)流或有序排列，但顆粒的堆積率較大，因而上下運(yùn)動(dòng)的同步性較高，可以觀察到完整的倍周期分岔序列.

圖3 幾個(gè)主要分岔點(diǎn)隨β0的變化(黑線：本文所用模型.紅線：文獻(xiàn)[21]所用模型)

蹦球模型給出的倍周期分岔過(guò)程亦與振動(dòng)頻率無(wú)關(guān).表面上看，這似乎是矛盾的，因?yàn)槟Σ亮εc顆粒相對(duì)器壁的速度反向，振動(dòng)頻率越大似乎換向的頻度越高，進(jìn)而會(huì)影響分岔過(guò)程.實(shí)際情況是，器壁摩擦力雖然換向，但β0＜1，這相當(dāng)于顆粒(或蹦球)是在大小為(1±β0)g的等效重力場(chǎng)中做運(yùn)動(dòng).這個(gè)等效重力場(chǎng)的加速度的大小是變化的但方向是恒定的.另外，我們對(duì)計(jì)算及結(jié)果的表征進(jìn)行了無(wú)量綱化處理.圖4給出了β0=0.3，Γ=9.5，振動(dòng)頻率為60 Hz時(shí)蹦球的運(yùn)動(dòng)軌跡，在飛行期間，相對(duì)速度u(t)換向了5次.如果改變振動(dòng)頻率(如0.01 Hz)，仍給出與圖4相同的結(jié)果.計(jì)算亦表明分岔過(guò)程與g的大小無(wú)關(guān).分岔過(guò)程與振動(dòng)頻率及g無(wú)關(guān)，表明這種分岔具有內(nèi)在的統(tǒng)一性，不會(huì)因?qū)嶒?yàn)條件或?qū)嶒?yàn)地點(diǎn)而改變.

圖4 β0=0.3，Γ=9.5，振動(dòng)頻率為60Hz時(shí)蹦球的運(yùn)動(dòng)軌跡 (紅線：蹦球;綠線：臺(tái)面;藍(lán)線：相對(duì)速度 u(t)，u(t)＞ 0(虛線部分)時(shí)器壁摩擦力向下，u(t)＜0(實(shí)線部分)時(shí)，器壁摩擦力向上)

圖5將沖擊力的倍周期分岔過(guò)程與β0=0.07時(shí)的理論結(jié)果進(jìn)行了比較，其中，顆粒直徑為0.35 mm，容器為鏤空底的，理論值為無(wú)量綱化的著陸速度-u著陸/(gT)，T為臺(tái)面的振動(dòng)周期.可以看出，在Γ＜2時(shí)，理論與實(shí)驗(yàn)符合較好.此外，理論上的分岔序列與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，但分岔點(diǎn)的數(shù)值存在差異，產(chǎn)生這種差異的原因是β0=0.07是根據(jù)分岔點(diǎn)的多次測(cè)量平均值擬合出來(lái)的，而圖中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果卻是單次測(cè)量值.對(duì)于單次測(cè)量，各種因素會(huì)造成測(cè)量結(jié)果的漲落，即使是同一體系，兩次測(cè)量亦難以完全一致，例如，圖中Γ=3處的“駝峰”實(shí)驗(yàn)中并不總是可以觀察到.為了方便比較圖中亦標(biāo)出了β0=0的理論值(黑線)，Γ較大時(shí)，它與β0=0.07的結(jié)果的差別變得更明顯.我們的計(jì)算表明，器壁摩擦力不會(huì)引入混沌.圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)較密集的區(qū)域(對(duì)應(yīng)于實(shí)驗(yàn)中的混沌區(qū))仍是倍周期分岔的，只是分岔點(diǎn)對(duì)Γ較敏感，因而相對(duì)集中而已.

圖5 沖擊力的倍周期分岔過(guò)程與理論值的比較

4 結(jié)論

通過(guò)抽真空或?qū)⑷萜鞯诅U空可以消除豎直振動(dòng)顆粒體系中空氣阻力的影響.在只有器壁滑動(dòng)摩擦力的情況下，顆粒沖擊力的倍周期分岔序列及分岔點(diǎn)的數(shù)值與顆粒尺寸、顆粒層數(shù)及振動(dòng)頻率無(wú)關(guān).將器壁滑動(dòng)摩擦力納入完全非彈性蹦球模型，能夠?qū)?shí)驗(yàn)中所觀察到的倍周期分岔現(xiàn)象給予很好的解釋.器壁摩擦力會(huì)給體系帶來(lái)耗散，摩擦力越大，倍周期分岔點(diǎn)越大，但不會(huì)根本改變倍周期分岔的動(dòng)力學(xué)特性.對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的擬合表明，器壁摩擦力大小為顆?？傊亓康?0%左右.所做分析有助于更好地理解受振顆粒體系中器壁摩擦力在倍周期分岔過(guò)程中所起的作用，及其所引起的能量耗散對(duì)顆粒體系動(dòng)力學(xué)行為的影響.

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