滯后型EPCA 的數(shù)值方法①

杜春雪， 陳琳玨， 邢志紅

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)部，黑龍江 佳木斯154007)

0 引 言

本文考慮如下滯后型EPCA(Equations with Piecewise Continuous Arguments)

這里a，a0，a1，u0是實(shí)常數(shù)，［·］表示最大取整函數(shù).

下面給出(1)解析解的某些結(jié)果，并采用書［8］中的記號

定義1.1［8］方程(1)的解u(t)在［0，∞)上滿足如下條件:

(1)u(t)在［0，∞)上連續(xù);

(2)對每個(gè)t ∈［0，∞)，u(t)均可導(dǎo)，除在可能節(jié)點(diǎn)［t］∈［0，∞)外，單側(cè)導(dǎo)數(shù)存在;

(3)在每個(gè)［k，k + 1)?［0，∞)上的整數(shù)節(jié)點(diǎn)，u(t)滿足(1).

定理1.1［8］方程(1)的解漸近穩(wěn)定的充要條件是

的根有模小于1.

定理1.2［8］方程(1)在［0，∞)上有唯一解u(t)= m0({t})u［t］+m1({t})u［t-1］，這里{t}是t的分?jǐn)?shù)部分，并且u［t］=是(2)的根.

1 Euler—Maclaurin 方法

定義2.1

把Bj，j = 0，1，…稱為Bernoulli 數(shù).

Bj具有下列性質(zhì):

命題2.1 已知B0= 1，B1=

引理2.1［3，4］設(shè)f(x)在［ti，ti+1］具有直至2n+3 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有:

2 收斂性

鑒于以上，有:

定理3.1 對任意給定的n，Euler -Maclaurin方法的收斂階為2n +2，其中n ∈N.

證明: 現(xiàn)令km ≤i ＜(k +1)m -1，由引理2.1 及f(t)= u'(t)得:

令i = (k+1)m-1，則對任意的ε:0 ＜ε ＜h，有:

在(9)中，取ε →0+，得:對i = (k +1)m -1，(8)成立.

假設(shè)ui= u(ti)，ukm= u(k)，由(7)及(8)得:

這意味著定理3.1 成立.

3 數(shù)值解的穩(wěn)定性分析

令i = km +l，k ∈N，l = 0，1，…，m -1，則(7)可寫成:

這里

迭代下去，有如下格式:

證明: 顯然φ(0)= 1，設(shè)x ≠0.

若n 為奇數(shù)，則有:

若n 為偶數(shù)，則有:

由(5)得:

故無論n 是奇數(shù)或是偶數(shù)，當(dāng)| x|≤1 時(shí)，總有φ(x)≥1 -，繼而引理4.1 得證.

證明: 若n 為偶數(shù)，則

若n 為奇數(shù)，則

證畢.

定義4.1 對于(1)，使其數(shù)值格式(12)漸近穩(wěn)定的點(diǎn)(a，a0，a1)的集合稱為漸近穩(wěn)定區(qū)域，記為S.

解析解的穩(wěn)定區(qū)域H:

引理4.3 n →∞時(shí)，un→0 的充分必要條件是:k →∞時(shí)，ukm→0.

為方便起見，我們把H 劃分成三部分，即

類似地，我們記

下面我們將討論什么條件能使H ?S.

定理4.1 對Euler - Maclaurin 方法，有H ?S?n 為奇數(shù).

證明: (1)a = 0 時(shí)，H ?S 顯然.a ≠0 時(shí)，

H

由引理4.2，這表明n 為奇數(shù).

4 小 結(jié)

本文用Euler - Maclaurin 方法分析了滯后型EPCA，證明了該方程數(shù)值解的收斂階及穩(wěn)定性，并得到了此方程數(shù)值解保持解析解漸近穩(wěn)定的充分必要條件.

［1］ J.C. Butcher.The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations:Runge–Kutta and General Linear Methods［M］.John Wiley，New York，1987.

［2］ E. Hairer，S.P. N?rsett，G. Wanner.Solving Ordinary Differential Equations II，Stiff and Differential Algebraic Problems［M］.Springer-Verlag，New York，1993.

［3］ V.L. Kocic，G. Ladas.Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications［M］. Kluwer Academic Publishers，Dordrecht，1993.

［4］ P. Liu，K. Gopalsamy.Global Stability and Chaos in a Population Model with Piecewise Constant Arguments［J］.Appl. Math.Comput，101 (1999):63 –88.

［5］ J. J. H. Miller. On the Location of Zeros of Certain Classes of Polynomials with Applications to Numerical Analysis［J］. J.Inst. Math. Appl，8 (1971):397 –406.

［6］ S. M. Shah，J. Wiener. Advanced Differential Equations with Piecewise Constant Argument Deviations［J］. Internat. J.Math. Math. Sci，6 (1983):671 –703.

［7］ J. Wiener，Differential Equations with Piecewise Constant Delays，in:V. Lakshmikantham(Ed.)，Trends in the Theory and Practice of Nonlinear Differential Equations，Marcel Dekker，New York，1983:547 –552.

［8］ J. Wiener.Generalized Solutions of Differential Equations［M］.World Scienti?c，Singapore，1993.

［9］ 杜春雪，張志旭. 超前型EPCA 的數(shù)值穩(wěn)定性分析［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011(2):276 -279.

［10］ 杜春雪. 分段連續(xù)型延遲微分方程的數(shù)值穩(wěn)定性［D］. 黑龍江大學(xué)碩士論文，2011.