《數(shù)學(xué)物理方法》中“行波法”教學(xué)方法改革探索

劉 萍，譚朝陽

（電子科技大學(xué) 中山學(xué)院，廣東 中山 528402）

數(shù)學(xué)物理方法是物理專業(yè)的專業(yè)課，也是電信、通信、電子科學(xué)技術(shù)等專業(yè)學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課之一，眾多高校在課程教學(xué)中給予了極大重視。電子科技大學(xué)中山學(xué)院也對這一課程的教學(xué)寄予了很大的支持和關(guān)注，將其列為必修專業(yè)基礎(chǔ)課程。數(shù)學(xué)物理方法既是數(shù)學(xué)課，也是物理課，學(xué)習(xí)此門課程既能很好地促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步掌握物理學(xué)的基本原理和數(shù)學(xué)的基本知識，又能極大地促進(jìn)學(xué)生提高物理抽象思維能力和邏輯推理能力。

數(shù)學(xué)物理方法這門課的內(nèi)容非常豐富，各個教材的內(nèi)容選取并不盡相同。盡管各個教材的內(nèi)容的選取各異，但大部分教材包含了行波法的內(nèi)容。關(guān)于數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)改革，已經(jīng)有很多老師們提出了自己的觀點(diǎn)和設(shè)想［1］。專門關(guān)于行波法教學(xué)的討論并不多。行波法在科學(xué)研究中，也是一個熱點(diǎn)話題［2－3］。在行波法教學(xué)中，我們將科研中常用的函數(shù)展開法等行波法處理手段以及Maple軟件等運(yùn)用到行波法的教學(xué)中，促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高。在本文中我們將與大家分享我們在行波法教學(xué)中的一些改革探索。

1 將行波法的教學(xué)與非線性數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)結(jié)合起來

很多《數(shù)學(xué)物理方法》的教材都同時(shí)介紹了行波法和非線性偏微分方程。我們在講授數(shù)學(xué)物理方法的過程中，將這兩者結(jié)合起來介紹。行波法不僅是求解線性偏微分方程的一種有效途徑，而且也是求解非線性偏微分方程，特別是求解非線性波方程的一種重要途徑。許多簡單的但是重要的非線性波方程的解析解，例如橢圓余弦周期波解、孤立波解、三角函數(shù)周期波解等，都可通過行波法獲得。例如Burgers方程

是非常著名的非線性偏微分方程，我們可以用行波法來求解此方程。令，

將（2）代入（1）并進(jìn)行積分處理，就可以得到Burgers方程的行波解。同樣地，其他一些非線性偏微分方程也可以用行波法來進(jìn)行求解。在課堂中，我們給學(xué)生介紹了一些非線性波動方程，例如非線性薛 定 諤 方 程［2］、Korteweg－de Vries方 程［3］、Kadomtsev－Petviashvili方程［4］等。將這些非線性方程的求解，作為行波法的教學(xué)例子來讓學(xué)生做練習(xí)使用，可以讓學(xué)生體會到行波法的妙處，促進(jìn)學(xué)生更好地掌握行波法的計(jì)算方法，還可以增強(qiáng)學(xué)生對非線性科學(xué)的了解。

2 將數(shù)學(xué)計(jì)算軟件Maple引入行波法的教學(xué)中

Maple軟件是目前世界上最為通用的數(shù)學(xué)和工程計(jì)算軟件之一，在數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域享有盛譽(yù)，有“數(shù)學(xué)家的軟件”之稱。Maple系統(tǒng)內(nèi)置高級技術(shù)解決建模和仿真中的數(shù)學(xué)問題，包括世界上最強(qiáng)大的符號計(jì)算、無限精度數(shù)值計(jì)算，數(shù)學(xué)和分析功能覆蓋幾乎所有的數(shù)學(xué)分支，如微積分、微分方程、特殊函數(shù)、線性代數(shù)等。在數(shù)學(xué)物理方法的課堂教學(xué)中，我們在教會學(xué)生用手計(jì)算的同時(shí)，也會教學(xué)生如何用Maple軟件來計(jì)算，讓學(xué)生的“手算”和“腦算”兩手都要硬。

下邊我們?nèi)砸訠urgers方程為具體例子來闡述Maple在行波法教學(xué)中的滲透使用。例如：如果我們在Maple軟件平臺中，輸入命令“pdsolve（diff（u，t）＋u＊diff（u，x）－nu＊diff（u，x，x））；”，系統(tǒng)就會顯示Burgers偏微分方程的求解結(jié)果。課堂上讓學(xué)生比較“手算”和“腦算”的結(jié)果，體會電腦計(jì)算的便捷。在課堂中，我們還會介紹一些特殊函數(shù)待定系數(shù)法，即假定方程有橢圓周期波函數(shù)、孤立波函數(shù)、三角周期波函數(shù)等各種各樣的函數(shù)解，用Maple計(jì)算出待定系數(shù)，就得到了波動方程各種各樣的激發(fā)模式。通過這些課堂講解和演示，讓學(xué)生掌握行波法的妙處。課堂后，我們還會布置作業(yè)，要求學(xué)生自己編寫小程序來計(jì)算一些波動方程的行波解，促進(jìn)學(xué)生更好地掌握行波法的軟件計(jì)算方法。

3 將波動圖形引入行波法教學(xué)中

雖然很多數(shù)學(xué)物理方法的教材將行波法的教學(xué)列入了書本，但是直觀的二維、特別三維圖形在教材里邊卻并不多見。我們在課堂中向?qū)W生展示了大量的波動圖形，促進(jìn)學(xué)生對波動現(xiàn)象的直觀理解。

例如，我們在課堂上引入了學(xué)生非常熟悉的大學(xué)物理波動學(xué)里邊反復(fù)介紹的平面波波動表達(dá)式［5］

在課堂中，我們給學(xué)生展示了三組圖形。第一組圖形，將（3）式中時(shí)間固定，向?qū)W生展示波動位移隨空間軸的變化，并將時(shí)間選取不同值（x，y）的演化圖進(jìn)行比較。第二組圖形，將x固定，展示波動位移隨時(shí)間的演化，并告知學(xué)生，此時(shí)波動退化成質(zhì)點(diǎn)的振動。第三組圖形，我們從不同角度展示了（x，t，y）三維時(shí)空演化圖。同時(shí)，還可以借助數(shù)學(xué)軟件，展示波動圖形的動態(tài)變化，加深學(xué)生對“行波”的印象。

“數(shù)學(xué)物理方法”是高校教學(xué)中公認(rèn)的課程難度較大，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣比較低的課程。在課堂教學(xué)中，如果簡單的講解書本知識，照本宣科，很難引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。我們通過引入數(shù)學(xué)軟件，介紹具有強(qiáng)烈物理背景的非線性波動方程，同時(shí)展示大量的圖形來增強(qiáng)行波法的教學(xué)效果。同時(shí)，課堂上展示的所有計(jì)算方法、計(jì)算程序、圖形，都比較簡單，同學(xué)在課堂外也很容易重復(fù)，加深他們的成就感。學(xué)生在行波法教學(xué)中學(xué)到的知識將更好的促進(jìn)他們對《大學(xué)物理》、《電磁場與電磁波》等涉及波動、振動的課程的理解。

［1］蔣然.數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)改革中的若干想法［J］.中國科技信息，2010（9）：33－34.

［2］劉萍，李子良，樓森岳.一類耦合非線性Schodinger方程的Painleve性質(zhì)、嚴(yán)格解及其在大氣重力波中的應(yīng)用［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2010，31（11）：1308－1329.

［3］Ping Liu，Pei－Kai Fu.Modified（2＋1）－dimensional displacement shallow water wave system and its approximate similarity solutions［J］.Chin.Phys.B，2011（9）：5－6.

［4］Ping Liu and Sen－Yue Lou.A（2＋1）－Dimensional Displacement Shallow Water Wave System［J］.CHIN.PHYS.LETT.，2008（9）：10－12.

［5］胡盤新，湯敏駿，鐘季康.普通物理學(xué)簡明教程上冊［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004.