可交換矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

孟獻(xiàn)青，張 英，喬世東

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）

由矩陣論知，矩陣的乘法不滿足交換律，即當(dāng)矩陣AB 有意義時，矩陣BA 未必有意義，即使AB，BA 都有意義，它們也未必相等。但是在某些特殊情況下，矩陣的乘法也是滿足交換律的，如果矩陣A，B 滿足AB＝BA，則稱矩陣A，B 是可交換的?？山粨Q矩陣是矩陣?yán)碚撝幸活愔匾木仃?，在文獻(xiàn)[1-5]的基礎(chǔ)上羅列出可交換矩陣的一些性質(zhì)，及這些性質(zhì)在解題中的應(yīng)用。

1 性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)矩陣A，B 可交換，且

則

證明：設(shè)

由AB＝BA 得，

由（4）得：bi+11＝0，即

由（2）得：bnj-1＝0，即

由（1）得：

令j＝2 得：bi+12＝bi1＝0，i≠1，

將（5）代入（6）得bij＝0，i＞j。

令b11＝b1，由（6）得bii＝b1，

令b12＝b2，由（6）得，

所以

性質(zhì)2若矩陣A， B 可交換， 則對任一多項(xiàng)式f（λ），有f（A）B＝Bf（A）。

性質(zhì)3[1]設(shè)A， B 為n 階可交換方陣，且A， B 都可對角化， 則存在可逆矩陣P， 使P-1AP 與P-1BP 同時為對角陣。

證明 由于A 可對角化，從而存在可逆矩陣T，使

其中λ1，λ2，…，λs互不相同，且

由AB＝BA，得，

所以

為準(zhǔn)對角矩陣，其中Bk為nk×nk矩陣。由于B 可對角化，則它的初等因子都是一次因式，所以Bk的初等因子也是一次因式。 故存在可逆矩陣Rk，k＝1，2，…，s 使得R-1kBkRk為對角陣。令

則

為對角陣。

再令Ρ＝ΤR，則Ρ 可逆，且

為對角陣。

為對角陣。證畢

性質(zhì)4[3]設(shè)A，B 為n 階可交換方陣， 則A，B同時相似于三角形矩陣。

性質(zhì)5[4]若

且AB＝BA，則B 是A 的多項(xiàng)式。

2 應(yīng)用

例1設(shè)A，B 是實(shí)正定矩陣，證明AB 是正定矩陣的充要條件是AB 可交換。

證明（必要性）因?yàn)锳，B 是實(shí)正定矩陣，從而是實(shí)對稱矩陣，所以AB＝（AB）′＝B′A′＝BA。（充分性）因?yàn)锳，B 是實(shí)正定矩陣且AB＝BA，所以（AB）′＝B′A′＝BA＝AB，即AB 是實(shí)對稱矩陣。又因?yàn)锳 與B 都是正定矩陣，從而都可以對角化，由性質(zhì)3 知，存在可逆矩陣P，使P-1AP 與P-1BP 同時為對角陣，不妨設(shè)

所以

從而AB 為正定矩陣。

例2若A 相似于若當(dāng)塊

則與A 可交換的矩陣是A 的多項(xiàng)式。

證明 由題設(shè)知存在可逆矩陣P 使P-1AP＝J，即A ＝PJP-1，設(shè)B 與A 可交換，則PJP-1B ＝BPJP-1，從而有J·P-1BP ＝P-1BP·J，故P-1BP 與J 可交換。 由性質(zhì)5 知，P-1BP 是J 的多項(xiàng)式，即f（J）＝P-1BP。設(shè)多項(xiàng)式f（λ）＝a0λn+a1λn-1+…an-1λ+an，則B＝Pf（J）P-1＝f（PJP-1）＝f（A）。

例3設(shè)A，B 為n 階可交換矩陣，且Ak＝0，k≥1，證明｜A+B｜＝｜B｜。

證明 因AB＝BA，由性質(zhì)4 知，存在可逆矩陣P 使

其中λi是A 的特征根，μi是B 的特征根，1≤i ≤n由于Ak＝0，故λi＝0，1≤i≤n。從而P－1（A+B）P 對角線上的元素與P－1BP 對角線上的元素相同，于是｜A+B｜＝｜P－1（A+B）P｜＝｜P－1BP｜＝｜B｜。

例4設(shè)A，B 為n 階可交換矩陣，AB ＝BA。證明A，B 同時相似于三角形矩陣。

證明 對A，B 的階數(shù)n 用歸納法。

n ＝1 時結(jié)論顯然成立，設(shè)n ＜k 時，結(jié)論成立，我們證明n ＝k 時結(jié)論亦成立。

A，B 有公共的特征向量X1，設(shè)AX1＝λX1，BX1＝μX1，設(shè)X1，X2，…，Xn是n 維線性空間的一組基，在此基下A，B 對應(yīng)的線性變換A，B 的矩陣分別為

于是Q－1AQ ＝A1，Q－1BQ ＝B1，由AB ＝BA 有

即

由歸納假設(shè)Α2，B2同時相似于三角形，即存在非奇異矩陣P2使A2P2，P－12B2P2同時為三角形陣。

令

則

是三角形矩陣。

令P ＝QP1，則P－1AP 與P－1BP 是三角形矩陣。

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