一類亞純函數(shù)差分的零點(diǎn)估計(jì)

金 瑾

（畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州畢節(jié)551700）

1 主要結(jié)論

亞純函數(shù)Nevanlinna 理論的基本慨念和標(biāo)準(zhǔn)記 號[1-15]， 用σ（f）表 示函 數(shù)f（z）的 級， 用λ（f）和分別表示函數(shù)f（z）的零點(diǎn)收斂指數(shù)和不同零點(diǎn)收斂指數(shù)， 用λ（r，1／f）表示極點(diǎn)收斂指數(shù)， 用n（r，f）和n（r，1／f）分別表示函數(shù)f（z）在半徑為r 的圓內(nèi)極點(diǎn)和零點(diǎn)的個數(shù)， 用μ（f）表示函數(shù)f（z）的下級， 用T（r，f）表示函數(shù)f（z）的特征函數(shù)。

文章[1-2]聚焦于復(fù)域差分函數(shù)和Nevanlinna 理論的差分模擬， Bergeiler 和Langley 在文獻(xiàn)[1]中首先研究了差分Δf（z）和Δf（z）／f（z）的零點(diǎn)存在性，得到了許多深刻且有意義的結(jié)果。

定 理A[1]設(shè)δ0∈（0，1 ／ 2）， 函 數(shù)f（z）是 級σ（f）＝σ＜σ0+1／2＜1 的超越整函數(shù)， 則

有無窮多個零點(diǎn)。

定理B[1]設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)， 下級μ（z）＜1， 設(shè)c∈C-｛0｝使得f（z）最多有有限個極點(diǎn)zj，zs滿足zj-zs＝c， 則函數(shù)h（z）＝f（z+c）-f（z）有無窮多個零點(diǎn)。

定理C[2-4]設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)且

則f′（z）有無窮多個不動點(diǎn)。

定理D[5]設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)， 級σ（f）＝σ＜1， c1，c2∈C-｛0｝， 且c1+c2≠0， 則函數(shù)

有無窮多個零點(diǎn)且滿足λ（g）＝σ（g）＝σ。

特別地， 如果f（z）最多有有限個零點(diǎn)zj滿足

則函數(shù)

滿足λ（G）＝σ（G）＝σ。

定理E[5]設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)， 級σ（f）＝σ＜1， c1，c2∈C-｛0｝， 且c1+c2≠0， 則函數(shù)

有無窮多個零點(diǎn)且滿足λ（g）＝σ（g）＝σ。特別地，如果f（z）最多有有限個零點(diǎn)zj，zs滿足zj-zs＝c1或c2， 則函數(shù)

滿足λ（G）＝σ（G）＝σ。

本文在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上得到下面結(jié)果。

定理 設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)， 級σ（f）＝σ＜1， c1，c2， c3∈C-｛0｝，且c1，c2， c3≠0， 則函數(shù)

有無窮多個零點(diǎn)且滿足λ（g）＝σ（g）＝σ。特別地，如果函數(shù)f（z）最多有有限個零點(diǎn)

zj，zs滿足zj- zs＝c1或c2或c3， 則函數(shù)滿足λ（G）＝σ（G）＝σ。

2 引理及證明

根據(jù)文獻(xiàn)[6]， ε-集E 是可數(shù)個不包含原點(diǎn)的開圓盤的并集。如果E 是一個ε-集， 則對r≥1 并使圓S（0，r）與E 相交的r 值集有有限對數(shù)測度和有限線測度，對幾乎所有實(shí)數(shù)θ，集E 與射線arg z＝θ 相交點(diǎn)是有界的。

引理1[1]設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)， 級σ（f）＝σ＜1， h＞0， 則存在一個ε-集E 滿足

對滿足｜c(diǎn)｜≤h 的c 一致成立。

引理2 設(shè)函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)， 級σ（f）＝σ＜1， c1， c2，c3∈C-｛0｝，且c1， c2，c3≠0， 則

是超越的。

證明假設(shè)

是一個有理函數(shù)， 即

其中R(z)是一個有理函數(shù)， 由已知和引理1 知， 存在一個ε-集E， 使得當(dāng)｜z｜＝r 充分大， z∈C-E 時有

將(1) (2) (3)三個式子的左右兩邊分別相乘得

整理(4)式并由(1)(2)(3)得

所以

即

g（z）＝f（z+c1）f（z+c2）f（z+c3）-f3（z）是超越的。

3 定理的證明

因?yàn)楹瘮?shù)f（z）是超越亞純函數(shù)，故由引理2 可知

是超越亞純函數(shù)， 這樣就有σ（g）＜σ（f）。由σ（g）＜σ（f）可知， 存在實(shí)數(shù)δ 和α 滿足

再由已知和引理1 可知存在ε-集E，當(dāng)｜z｜＝r 充分大，z∈C-E 時有(1)(2)(3)成立。令f（z）＝f0（z）／d（z）， 其中d（z）是由函數(shù)f（z）的所有極點(diǎn)形成的多項(xiàng)式， f0（z）是超越函數(shù)且滿足σ（f）＝σ（f0）＝σ＜1， 由Wiman-Valiron 理論[6-7]可知， 存在子集F?（1，∞）具有有限對數(shù)測度滿足： 對充分大的r?F， 對所有滿足｜z｜＝r和｜f0（z）｜＝M（r，f0）的z 有

其 中， v（r）是f0（z）的 中 心 指 標(biāo)， 由(8)和f（z）＝f0（z）/d（z）， 使用文獻(xiàn)[8]中的方法可知， 對所有滿足｜z｜＝r 和｜f0（z）｜＝M（r，f0）的z 有

令F1＝｛｜z｜：z∈E｝， 因E 是ε-集， 故F1具有有限對數(shù)測度。由引理2 的證明過程知

所以由(9)和(10)式得

其中， v（r）是f（z）的中心指標(biāo)， z 滿足｜z｜＝r?[0，1]UFUF1和｜f（z）｜＝M（r，f）。由(7)式存在一序列｛rn｝（rn→∞）滿足任意的ε（0＜ε＜1-σ）有

由(12)式和c1，c2，c3∈C-｛0｝， 及已知c1+ c2+ c3≠0可知， (11)式的兩邊矛盾， 所以σ（g）＝σ（f）。 故

另外， 由

和已知函數(shù)f（z）是超越亞純函數(shù)可知： 如果z0是G（z）的零點(diǎn)， 則z0也是g（z）的零點(diǎn); 如果z0是g（z）的零點(diǎn)且不是G（z）的零點(diǎn)， 則z0一定是f（z）的零點(diǎn)。這樣， 就有

或

或

由定理?xiàng)l件， f（z）僅有有限個這樣的零點(diǎn)z0， 因而有

所以，

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