彰顯“做數(shù)學(xué)”、凸現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”——淺談勾股定理的一種新證明

☉安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初中 戴向陽

彰顯“做數(shù)學(xué)”、凸現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”
——淺談勾股定理的一種新證明

☉安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初中 戴向陽

在眾多的勾股定理的證明方法中，筆者獨(dú)樹一幟，一改以往構(gòu)圖計算面積的方法，另辟蹊徑.通過“做數(shù)學(xué)”——剪拼任意兩個正方形成一大正方形，完成勾股定理的證明.并與一個類似的剪拼方法作了一下比較，相信各位讀者能辨其優(yōu)劣.本文的證明方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“和諧、簡單、奇異”之美.

《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》2009年1月，刊登了一篇《勾股定理及其逆定理的另證》的文章，文中介紹了鄭老師利用托勒密定理證明勾股定理及其逆定理.實(shí)質(zhì)上勾股定理的證明方法多達(dá)四百余種，絕大多數(shù)如鄭老師一樣，通過構(gòu)造或從相關(guān)定理出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[推理與大量運(yùn)算、整理來獲得的.因此它們難免深奧且晦澀，要讀懂它，學(xué)生必須有充足的知識儲備和豐富的數(shù)學(xué)思想.這有悖數(shù)學(xué)對簡潔美的追求.

為此筆者作了一番深入的研究，終于得到一種簡單、直觀、明了的證明，這就是下文要介紹的勾股定理的一種全新的證明方法——勾股定理的剪拼證明.同時希望廣大專家、同仁批評斧正.

如圖1，在Rt△ACB中，AB=c，AC=b，BC=a.求證b2+a2=c2.

圖1

數(shù)學(xué)思考：考慮到代數(shù)式a2、b2、c2的幾何意義分別表示邊長為a、b、c的正方形的面積，于是代數(shù)問題：b2+a2=c2，轉(zhuǎn)化為幾何面積問題.從而勾股定理可理解為：以直角三角形兩直角邊為邊的正方形面積之和，等于以斜邊為邊的正方形的面積.換言之，以AC、BC為邊的正方形存在某種分割，使分割后各塊正好拼成一大正方形，其邊長等于AB.故在紙上先作出以直角三角形三邊為邊的正方形，然后剪裁、拼接，證明兩小正方形可拼成一個大正方形即可.

操作：第一步，任意在紙上作一個Rt△ACB，使AC＞BC，∠ACB=90°，分別以AC、BC、AB為邊向外作正方形，如圖2所示.

圖2

圖3

第二步，將正方形1和2剪下，拼成如圖3所示，沿正方形1的兩邊在正方形2內(nèi)畫出虛線，相交于點(diǎn)P.

第三步，將正方形1移至如圖4所示位置.作出剪裁線JH、PD、HK、PF，并沿JH、PD、HK、PF剪開，拼成圖5.

圖4

圖5

分析：欲證AC2+BC2=AB2，只需證正方形1與正方形2所拼成的圖5是正方形，且其邊長等于AB即可.

證明：根據(jù)作圖，從圖4中，不難看出，Rt△JIH、Rt△HKJ、Rt△DKP、Rt△PED均與圖2中的Rt△ACB全等，所以圖5是正方形，并且有JH＝PD＝BA，所以圖5的正方形的邊長與圖2中正方形3的邊長相等.

當(dāng)AC=BC時，沿正方形1和正方形2的對角線剪開，即可拼成正方形3，這里不再贅述，讀者朋友可自行一試.

至此勾股定理獲得直觀簡潔的證明.本證明有如下特點(diǎn)：

一、彰顯“做數(shù)學(xué)”的理念

本文解答，彰顯了新課程“做數(shù)學(xué)”的理念.新課程強(qiáng)調(diào)“動手操作”能力的培養(yǎng)，

“讓學(xué)生做數(shù)學(xué)，在操作中學(xué)習(xí)，在操作中感悟”.本證明很好地詮釋了什么叫“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵，“做數(shù)學(xué)”不光是拿筆推理數(shù)學(xué)題目，還指通過動手操作，做出蘊(yùn)含結(jié)論的實(shí)物模型或拼圖.“做數(shù)學(xué)”有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等創(chuàng)造能力.本例與課本（滬科）構(gòu)圖面積法及鄭老師的托勒密定理法相比，再次展現(xiàn)了“做數(shù)學(xué)”的無窮魅力.

二、凸現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”

1988年第六屆國際數(shù)學(xué)教育會議在匈牙利召開，在這次以《數(shù)學(xué)教育與文化·美》為主題的會議中，與會者一致認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教育還必須將數(shù)學(xué)中所固有的美展示給學(xué)生，使學(xué)生不僅獲得知識，而且還受到美的熏陶.”這就要求在數(shù)學(xué)解題中，必須追求數(shù)學(xué)美，即數(shù)學(xué)解題應(yīng)以“和諧、簡單、奇異”為最高目標(biāo).做為“數(shù)學(xué)人”，要以追求“數(shù)學(xué)美”為己任.為了更好地凸現(xiàn)本題的“數(shù)學(xué)美”，不妨再作一下比較.

三、超越“青朱出入圖”

圖6

圖7

圖6、圖7是北師大教材八數(shù)上（2004年5月第3版）第21頁中的剪裁方法.與本文方法相比較，“青朱出入圖”有如下缺點(diǎn)：（1）它需要將正方形1與正方形2放在一張白紙上來操作.因?yàn)檫B接IE時，IE會落到兩張正方形紙片以外區(qū)域.而本文方法所畫線條完全是在兩張紙片內(nèi).故從操作空間來看，上述方法更方便.（2）它需要過I點(diǎn)作IE的垂線IM，這就需要尺規(guī)作圖或直角三角板或具有刻度的直尺來幫忙.而本文方法只需一把無刻度的直尺即可.故從操作工具來看，上述方法勝過這個方法.（3）它需要證明Rt△ECN.這些全等證明的復(fù)雜性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了本文方法的“一目了然”，故從證明的簡潔性來看，本文方法要優(yōu)勝一籌.

相比之下，本文的操作證明更加凸現(xiàn)了數(shù)學(xué)美的“奇異”性，它根本不需要多少數(shù)學(xué)知識，只需把圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)募羝?，欲證的等式就會一目了然，再現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“簡單”美.這種證明方法，對學(xué)生的學(xué)習(xí)是輕松的，其效果也是不言而喻的.

數(shù)學(xué)教育是展示數(shù)學(xué)美的教學(xué)，只有如此，數(shù)學(xué)教學(xué)才是充滿生機(jī)的教學(xué)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)才不是枯燥無味，學(xué)習(xí)者將因?yàn)閿?shù)學(xué)神秘莫測的美感而充滿斗志.數(shù)學(xué)美不但蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)本身的數(shù)量關(guān)系與空間形式中，還驚顯于數(shù)學(xué)的解題中.數(shù)學(xué)解題所設(shè)計的模型符合于美學(xué)要求，則這個解就是“優(yōu)美”的.顯然本文證明是“優(yōu)美”的，“優(yōu)美”的解答，會激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳動機(jī).所以在數(shù)學(xué)解題中追求蘊(yùn)含數(shù)學(xué)美的解答，有益于激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)的熱情、傾心.

“做數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)地做”，往往更能凸現(xiàn)“數(shù)學(xué)美”，發(fā)揮“創(chuàng)新能力”.

1.吳開明.數(shù)學(xué)美學(xué)［M］.北京：北京教育出版社，2001.

2.鄭其林.勾股定理及其逆定理的另證［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2009（1）.FH