高考物理壓軸題中極值問題解法的研究

陳澤 陳娜娜

( 貴州師范大學物理與電子科學學院 貴州 貴陽 550001)

應用數(shù)學知識解決物理問題的能力是高考物理考查學生的5種能力之一，其中極值問題是高中數(shù)學的重點和難點，近年來在高考物理壓軸題中也多次出現(xiàn)，因此有必要對極值問題解法進行系統(tǒng)的研究．

1 極值的一般概念

在數(shù)學上，一個函數(shù)f(x)，如果在x=x0以前是上升的，而在x=x0以后是下降的，則在x=x0這一點一定有一個極大值，所謂極大值乃指這點附近的值都不大于這一值；同法，f(x)由降而升必取一極小值[1]．

2 高考物理壓軸中極值問題的解法

近年來高考物理壓軸題中極值問題用高中數(shù)學知識解決，常有以下幾種方法.

(1)二次函數(shù)配方法

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，用配方法得

它的圖像是一條拋物線.

這種方法雖然相對復雜一些，但它是一種最基本的方法．

(2)均值不等式法

設x1和x2為任意兩個正數(shù)，則有不等式

如果兩變量之和為定值，設x1+x2=c1，則當x1=x2時,則有

如果兩變量之積為定值，(設x1·x2=c2)，則當x1=x2時，則有

上面的結(jié)論，也可推廣至3個變量的情形，由于這在高中物理中并不多見，在此不作介紹.總的來說，利用均值不等式的上述性質(zhì)，有時可以很方便地計算出某些物理問題中的極值問題．

(3)根的判別式法

若一元二次方程ax2+bx+c=0有實根，則該方程根的判別式一定滿足條件

Δ=b2-4ac≥0

利用這一性質(zhì)，對某些物理問題中遇到的函數(shù)極值求法的基本步驟如下．

2)由上面的方程有解，則Δ=b2+4f(x)≥0或Δ=f2(x)-4ac≥0，從而找出f(x)的極大值或極小值；

3)將所求出的極大值或極小值代入f(x)表達式中，得出滿足f(x)取極大值或極小值的條件，并討論其合理情況如何．

(4)求導法

如果f′(x)(假定它是連續(xù)的)通過x=x0由正變負，則f(x)在x=x0有極大值，所以在取極大值處有f′(x0)=0；反之，如果f′(x)(假定它是連續(xù)的)通過x=x0由負變正，則f(x)在x=x0有極小值，所以在取極小值處有f′(x0)=0．

求導法是這4種方法中，使用范圍最廣的方法，而且不限于求解二次函數(shù)的極值問題．

3 極值問題解法在高考物理壓軸題中的運用

在2012年各地高考物理壓軸題中，對極值問題考查最具代表性的是高考物理全國卷、上海卷．下面將用文中介紹的幾種方法來進行分析解答．

(1)此人落到坡面時的動能；

(2)此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最小，動能的最小值為多少？

圖1

解析：本題主要考查平拋運動和動能定理的應用，以及函數(shù)極小值的計算，對考生的綜合分析及應用數(shù)學知識解決物理問題的能力要求較高．這里僅就第(2)問作詳細的解答,第(1)問直接給出答案．

(2)在第(1)問正確解出的基礎上，由于第(2)問將初速度由一個定值變?yōu)樽兞?，從而得到到達坡面的動能Ek(v)是一個以初速度為自變量的函數(shù)表達式為

(1)

式(1)可進一步變化為

(2)

在數(shù)學上，為了處理問題的方便，通常要將括號內(nèi)第一項的分子部分寫成：v2=(v2+gh)-gh；于是式(2)可化為

(3)

要求式(3)的極小值， 即求

的最小值，為了方便起見，不妨令

則

于是

(4)

到這里，已經(jīng)把一個物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學極值問題，對于函數(shù)f(z)的極小值可以按文中介紹的4種方法分別求解.

(1)配方法

(2)均值不等式法

(3)根的判別式法

這時需要將式(4)化為一元二次方程的形式，顯然要在等號兩邊同乘以z得

z2-f(z)z+4=0

由于該一元二次方程必有根，則有[f(z)]2-16≥0，所以有f(z)≥4，f(z)min=4時，z2-4z+4=0，解得z=2(負根舍去)；

(4)求導法

通過上面4種方法都能得到

【例2】(2012年高考上海卷第33題)如圖2，質(zhì)量為M的足夠長金屬導軌abcd放在光滑的絕緣水平面上．一電阻不計，質(zhì)量為m的導體棒PQ放置在導軌上，始終與導軌接觸良好，PQbc構(gòu)成矩形．棒與導軌間動摩擦因數(shù)為μ，棒左側(cè)有兩個固定于水平面的立柱．導軌bc段長為L，開始時PQ左側(cè)導軌的總電阻為R，右側(cè)導軌單位長度的電阻為R0．以ef為界，其左側(cè)勻強磁場方向豎直向上，右側(cè)勻強磁場水平向左，磁感應強度大小均為B．在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用在導軌的bc邊上，使導軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a．求:

(1)回路中感應電動勢及感應電流隨時間變化的表達式；

(2)經(jīng)過多長時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為多少？

圖2

解析：本題主要考查法拉第電磁感應定律和楞次定律的應用，以及函數(shù)極大值的計算，對考生的綜合分析及應用數(shù)學知識解決物理問題的能力要求較高．這里仍僅就第(2)問中的物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學極值問題的過程作詳細的介紹，第(1)問直接給出答案．

(2)以導軌為研究對象，對其受力分析，受外力F，安培力FA，摩擦力f，根據(jù)牛頓第二定律，得

F合=F-FA-f=Ma

(5)

F=Ma+FA+f=Ma+BIL+μFN

即

(6)

式(6)可進一步化簡為

(7)

通過對上面兩個高考壓軸題的分析可知，高考物理壓軸題中極值問題的解法最關鍵的是將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學極值問題的過程，特別注意的是：有時需要考慮上面討論的極值能否在定義域內(nèi)取得，若不能，需要分析構(gòu)造的函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性．

4 結(jié)語

高中物理中極值問題的解法非常靈活，文中介紹的幾種方法主要是針對近年來高考壓軸題中出現(xiàn)的題型而總結(jié)出的常用方法，除此以外，還有三角函數(shù)法、極限分析法、畫矢量圖法、圖像法、結(jié)合對物理原理的分析，從而推斷出極值條件．這些方法有的雖僅能在某些特殊情況下使用，但它的物理涵義清晰，有時能避免繁雜的運算[2]，在平時的物理教學中加強這些方法的應用，對于培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決物理問題的思維能力具有一定的意義．

參考文獻

1 華羅庚(著).高等數(shù)學引論(第一冊).北京：高等教育出版社，2009.186

2 王溢然，束炳如.中學物理思維方法叢書(數(shù)學物理法分冊).鄭州：河南教育出版社，1996.198