彈簧系統(tǒng)幾個(gè)難點(diǎn)問題分析

徐正恒

(衡陽縣第一中學(xué) 湖南 衡陽 421200)

彈簧類問題在高中物理中占有相當(dāng)重要的地位，且涉及到的物理問題多是一些綜合性較強(qiáng)、物理過程又比較復(fù)雜的問題，從受力的角度看，彈簧上的彈力是變力；從能量的角度看，彈簧是個(gè)儲能元件；中學(xué)階段把彈簧看成是不計(jì)質(zhì)量的理想化模型，對其考查主要集中在與其他物體的相互作用及能量轉(zhuǎn)化上，搞清物體的運(yùn)動情境，特別是彈簧所具有的一些特點(diǎn)，是正確解決這類問題的重要方法.這些問題在力學(xué)知識的不同部分和各種不同層次的測試中經(jīng)常出現(xiàn)，在每年的高考中都有考查.

1 彈簧系統(tǒng)瞬時(shí)性分析

高中研究的彈簧都是輕質(zhì)彈簧(不計(jì)彈簧自身的質(zhì)量，彈簧沒有慣性，也不會有動能)，不論彈簧處于何種運(yùn)動狀態(tài)(靜止、勻速或變速)，輕質(zhì)彈簧兩端所受的彈力一定等大反向.由彈簧彈力的產(chǎn)生條件可知，只有彈簧兩端同時(shí)受力時(shí)，彈簧才能產(chǎn)生彈力.

證明：以輕質(zhì)彈簧為對象，設(shè)兩端受到的彈力分別為F1，F(xiàn)2，根據(jù)牛頓第二定律，可得F1+F2=ma,由于m=0，因此F1+F2=0,即F1，F(xiàn)2一定等大反向.

1．1 彈簧兩端與物體相連 彈力瞬間不變

如果彈簧兩端與物體相連，由于物體有質(zhì)量、慣性，其位置在瞬間不會發(fā)生變化，所以,彈簧的長度在瞬間不會發(fā)生變化，則彈簧的彈力在瞬間不變.

彈簧的兩端都有其他物體或力的約束，發(fā)生形變時(shí)，彈力不能由某一值突變?yōu)榱慊蛴闪阃蛔優(yōu)槟骋恢?

【例1】如圖1所示，小球P，Q質(zhì)量均為m，分別用輕質(zhì)彈簧b和細(xì)線c懸掛在天花板下，再用另一細(xì)線d，e與左邊的固定墻相連，靜止時(shí)細(xì)線d，e水平，b，c與豎直方向夾角均為θ=37°.下列判斷正確的是

A．剪斷d瞬間P的加速度大小為0．6g

B．剪斷d瞬間P的加速度大小為0．75g

C．剪斷e前c的拉力大小為0．8mg

D．剪斷e瞬間c的拉力大小為1．25mg

圖1

解析：根據(jù)平衡條件由拉密定理可得

所以

Fd=0.75mgFb=1.25mg

剪斷d瞬間彈簧b對小球的拉力大小和方向都未來得及發(fā)生變化，因此，重力和彈簧拉力的合力與剪斷前d對P的拉力大小相等，為0.75mg，所以,加速度大小為0.75g，水平向右；剪斷e前c的拉力大小為1.25mg，剪斷e后沿細(xì)線方向上的合力充當(dāng)向心力，c的拉力大小立即減小到0.8mg，選項(xiàng)C錯，所以答案為選項(xiàng)B.

1．2 彈簧一端與其他物體脫離 彈力瞬間為零

彈簧的彈力屬于接觸力，彈簧兩端必須都與其他物體接觸才可能有彈力.如果彈簧的一端與其他物體脫離接觸，或處于拉伸狀態(tài)的彈簧突然被剪斷，那么，彈簧兩端的彈力都將立即變?yōu)榱?

圖2

【例2】質(zhì)量分別為m和2m的小球P，Q用細(xì)線相連，P用輕質(zhì)彈簧懸掛在天花板下，開始系統(tǒng)靜止，如圖2所示.下列說法中正確的是

A．若突然剪斷細(xì)線，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小均為g

B．若突然剪斷細(xì)線，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小分別為零和g

C．若突然剪斷彈簧，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小均為g

D．若突然剪斷彈簧，則剪斷瞬間P，Q的加速度大小分別為3g和零

解析：剪斷細(xì)線瞬間，細(xì)線拉力突然變?yōu)榱?，彈簧對P的拉力仍為3mg，豎直向上，剪斷瞬間P的加速度為2g，豎直向上，而Q的加速度為g，豎直向下，選項(xiàng)A，B錯；剪斷彈簧瞬間，彈簧彈力突然變?yōu)榱?，?xì)線對P，Q的拉力也立即變?yōu)榱悖虼?，P，Q的加速度均豎直向下，大小為g.所以，答案為選項(xiàng)C.

2 彈簧系統(tǒng)對稱性分析

輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端系一個(gè)小球，便組成一個(gè)彈簧振子.無論此裝置水平放置、傾斜放置還是豎直放置，在忽略摩擦阻力和空氣阻力的情況下，彈簧振子的振動都是簡諧運(yùn)動.

簡諧運(yùn)動的特點(diǎn)之一就是對稱性.振動過程中，振子在離平衡位置距離相等的對稱點(diǎn)，所受回復(fù)力、位移、速度、加速度大小及振子動能、彈性勢能、機(jī)械能等都是相同的，且做周期性變化.

2．1 振動位置的對稱性

彈簧振子振動時(shí)具有對稱性，分析時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)，一是抓住平衡位置，二是運(yùn)用對稱特征.

【例3】如圖3(a)所示，勁度系數(shù)為κ的輕質(zhì)彈簧豎直放置，下端固定在水平地面上，一質(zhì)量為m的小球，從離彈簧上端高h(yuǎn)處自由下落，接觸彈簧后繼續(xù)向下運(yùn)動．若以小球開始下落的位置為原點(diǎn)，豎直向下建立坐標(biāo)軸Ox，小球的速度v2隨x變化的圖像如圖3(b)所示．其中OA段為直線，AB段是與OA相切于A點(diǎn)的曲線，BC是平滑的曲線，則關(guān)于A,B,C三點(diǎn)對應(yīng)的x坐標(biāo)及加速度大小，以下關(guān)系式正確的是

A．xA=h，aA=g

圖3

解析：由圖3(b)以及公式v2=2gx可知,OA段為直線表示小球做自由落體運(yùn)動，以后小球在彈簧上做簡諧運(yùn)動至最低點(diǎn)C.A點(diǎn)表示小球剛好接觸彈簧，xA=h，aA=g，故選項(xiàng)A正確；B點(diǎn)是平衡位置，滿足

κx0=mg

所以有

選項(xiàng)B正確；C點(diǎn)是最低點(diǎn)，根據(jù)彈簧振子做簡諧運(yùn)動的對稱性可得

選項(xiàng)D正確.所以答案為選項(xiàng)A,B,D.

2．2 物理量變化的對稱性

圖4

【例4】如圖4所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定在地面上，另一端與木塊B相連，木塊A放在木塊B上，兩木塊質(zhì)量均為m，在木塊A上施有豎直向下的力F，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).

(1)突然將力F撤去，若運(yùn)動中A，B不分離，則A，B共同運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)，B對A的彈力有多大？

(2)要使A，B不分離，力F應(yīng)滿足什么條件？

解析：力F撤去后，系統(tǒng)做簡諧運(yùn)動，該運(yùn)動具有明顯的對稱性，該題利用最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的對稱性來求解，會簡單得多．

所以,B對A的彈力為

3 彈簧系統(tǒng)多解性分析

對于只有一端有關(guān)聯(lián)物體，另一端固定的彈簧，其運(yùn)動過程可結(jié)合彈簧振子的運(yùn)動規(guī)律去認(rèn)識，突出過程的周期性、對稱性及特殊點(diǎn)的應(yīng)用.如當(dāng)彈簧伸長到最長或壓縮到最短時(shí)，物體的速度最小(為零)，彈簧的彈性勢能最大，此時(shí)，也是關(guān)聯(lián)物的速度方向發(fā)生改變的時(shí)刻.若關(guān)聯(lián)物與接觸面間光滑，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，物體速度最大，彈性勢能為零.若關(guān)聯(lián)物與接觸面間粗糙，物體速度最大時(shí)，彈力與摩擦力平衡，此時(shí)彈簧并沒有恢復(fù)原長，彈性勢能也不為零.若關(guān)聯(lián)物同時(shí)處在電磁場中，要注重過程的分析.

兩端均有關(guān)聯(lián)物的彈簧，伸長到最長或壓縮到最短時(shí)，相關(guān)聯(lián)物體的速度一定相同，彈簧具有最大的彈性勢能，當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時(shí)，相關(guān)聯(lián)物體的速度相差最大，彈簧對關(guān)聯(lián)物體的作用力為零.若物體再受阻力時(shí)，彈力與阻力相等，物體速度最大.針對此類問題，要立足運(yùn)動和受力分析，在解題方法上以動量定理、動量守恒定律和動能定理等為首選.

3．1 運(yùn)動過程的周期性

圖5

【例5】如圖5所示，將質(zhì)量均為m，厚度不計(jì)的兩物塊A，B用輕質(zhì)彈簧相連接．第一次只用手托著B物塊于H高處，A在彈簧彈力的作用下處于靜止，現(xiàn)將彈簧鎖定，此時(shí)彈簧的彈性勢能(與彈簧形變量大小有關(guān))為Ep，現(xiàn)由靜止釋放A，B，B物塊著地后速度立即變?yōu)榱?，同時(shí)彈簧鎖定解除，在隨后的過程中B物塊恰能離開地面但不繼續(xù)上升．第二次用手拿著A,B兩物塊，使得彈簧豎直并處于原長狀態(tài)，此時(shí)物塊B離地面的距離也為H，然后由靜止同時(shí)釋放A，B，B物塊著地后速度同樣立即變?yōu)榱悖挥?jì)空氣阻力，求：

(1)第一次釋放A,B后，A上升至彈簧恢復(fù)原長時(shí)的速度v1；

(2)第二次釋放A,B后，B剛要離地面時(shí)A的速度v2.

解析:設(shè)彈簧原長為L，則整個(gè)過程各狀態(tài)如圖6所示.

圖6

(1)設(shè)物體下落H高度時(shí)的速度為v0

(1)

彈簧被鎖定和物塊B剛被提起時(shí),彈簧的形變量為x，根據(jù)平衡條件

mg=κx

(2)

從B著地到A到達(dá)最高點(diǎn)，對彈簧和物塊A，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

(3)

設(shè)彈簧恢復(fù)原長時(shí),物塊A的速度為v1，則

(4)

由式(1)～(4)得

(5)

(2)從B著地到剛被提起，對彈簧和物塊A

(6)

(7)

3．2 物理量變化多值性

【例6】如圖7所示，水平面上的輕質(zhì)彈簧一端與物體相連，另一端固定在墻上的P點(diǎn)，已知物體的質(zhì)量為m，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)μ，彈簧的勁度系數(shù)κ.現(xiàn)用力拉物體，使彈簧從處于自然狀態(tài)的O點(diǎn)由靜止開始緩慢向左移動一段距離，這時(shí)彈簧具有彈性勢能Ep.撤去外力后，物體在O點(diǎn)兩側(cè)往復(fù)運(yùn)動的過程中

A．在整個(gè)運(yùn)動過程中，物體第一次回到O點(diǎn)時(shí)速度不是最大

B．在整個(gè)運(yùn)動過程中，物體第一次回到O點(diǎn)時(shí)速度最大

D．在物體第一次向右運(yùn)動的過程中，速度相等的位置有兩個(gè)

圖7

解析：物體振動的平衡位置滿足

κx0=μmg

在物體第一次向右運(yùn)動的過程中，速度相等的位置有兩個(gè)，分別在平衡位置x0兩側(cè)相對平衡位置對稱.故答案為選項(xiàng)A,D.

綜上所述，彈簧問題不僅能很好地考查學(xué)生分析物理過程，理清物理思路，建立物理圖景的能力，而且還能考查學(xué)生的分析綜合能力、遷移能力、處理實(shí)際問題的能力，對培養(yǎng)學(xué)生物理思維品質(zhì)和挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)潛能都有好處.