小學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想研究述評

馬 旭

(云南民族大學(xué) 教育學(xué)院，云南 昆明 650500)

小學(xué)數(shù)學(xué)化歸思想研究述評

馬 旭

(云南民族大學(xué) 教育學(xué)院，云南 昆明 650500)

對有關(guān)化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透的文獻(xiàn)進(jìn)行了分類整理和歸納分析,分別就化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材、教學(xué)、解題中的滲透這三方面進(jìn)行了文獻(xiàn)梳理,總結(jié)了當(dāng)前化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透所取得的成果及存在的不足。

化歸思想；小學(xué)數(shù)學(xué)

一 化歸思想簡介

“化歸”從字面上看，指的就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。而在數(shù)學(xué)方法論中，化歸指的是數(shù)學(xué)家們把待解決的或未解決的問題，通過一定的轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲原問題的解答的一種手段和方法?；瘹w方法同時也稱為化歸原則。

下面我們看一個例子：

有人提出了這樣一個問題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對此某人回答說：“在壺中灌上水，點燃煤氣，再把壺放到煤氣灶上?！碧釂栒呖隙诉@一回答；但是，他又追問道：“如果其他的條件都沒有變化。只是水壺中已經(jīng)有了足夠多的水．那你又應(yīng)當(dāng)怎樣去做?“這時被提問者往往會很有信心地說：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上?！钡?，提問者指出，這一回答并不能使他滿意，因為，更好的回答應(yīng)當(dāng)是：“只有物理學(xué)家才會這樣做，而數(shù)學(xué)家們則會倒掉壺中的水，并聲稱我把后一問題化歸為前面所說的問題了?！?史久一,朱梧槚，1989)

這個故事看起來像一個笑話，但是它正好反映出了數(shù)學(xué)解題過程中人們普遍采用的一種手段與方法，也就是通過一系列的轉(zhuǎn)換的方法與手段把遇到的新問題轉(zhuǎn)化為過去曾經(jīng)解決過的問題，依托曾經(jīng)解決過的問題來解決新的問題。

在數(shù)學(xué)史上，有不少數(shù)學(xué)家也從各種不同的角度對化歸方法進(jìn)行過論述。笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書中就曾提出過如下的“萬能方法”：

第一，將任何種類的問題化歸為數(shù)學(xué)問題；

第二，將任何種類的數(shù)學(xué)問題化歸為代數(shù)問題；

第三，將任何代數(shù)問題化歸為方程式的求解。

因此在小學(xué)階段，將化歸思想介紹給學(xué)生，讓學(xué)生掌握這一方法顯得尤為重要。我們不僅要向?qū)W生傳授基本知識，基本技能，更重要的是使學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法。這將有助于學(xué)生今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展。

二 化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透

化歸方法是一種通過轉(zhuǎn)換間接解決問題的方法。它在數(shù)學(xué)問題解決中的作用就在于轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化問題是解決問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化的思想就是化歸的思想。問題的解決過程就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題，直至化歸為一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題的過程?；瘹w方法在數(shù)學(xué)問題解決中具有十分重要的意義。這已經(jīng)被很多人所意識到。尤其是將化歸思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中，已經(jīng)被越來越多的人所重視。以下是化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的一些具體運用。

1．化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的滲透。

化歸思想體現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)教材的各個方面。

(1)在數(shù)與代數(shù)方面。結(jié)合數(shù)的認(rèn)識教學(xué)，滲透化歸數(shù)學(xué)思想方法。“數(shù)的認(rèn)識來源于生活，又應(yīng)用于生活”(葉錦紅，林丹，2010)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材選取問題的范圍大都來源于學(xué)生密切接觸的現(xiàn)實生活，在此我們可以隨便舉個例子 。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊第7課《小數(shù)的初步認(rèn)識》。

圖1①

對小數(shù)的認(rèn)識從學(xué)生密切接觸的現(xiàn)實生活入手，學(xué)生開始的時候不知道小數(shù)這一概念，但是在現(xiàn)實生活中肯定是買過東西的。并且商品的價格不全是整數(shù)，因此通過教材這一媒介，將學(xué)生們現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到不加注意的材料聯(lián)系起來。并且通過這樣一種從生活中來，并應(yīng)用于生活的學(xué)習(xí)，加深對于知識的學(xué)習(xí)。

(2)空間與圖形?！皩τ谄叫兴倪呅蚊娣e計算的研究課例中已具體說明，主要通過現(xiàn)實問題具體化到抽象問題，然后在抽象與具體間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸，同時利用割補、平移等化歸途徑，自主將復(fù)雜問題簡單化成求長方形的面積”(葉錦紅，林丹，2010)。圖形的計算就在于圖形的變換，恰當(dāng)?shù)淖兓c轉(zhuǎn)化使得圖形的計算變得尤為簡便。而在小學(xué)階段，對于新圖形的認(rèn)識，最好的辦法就是將它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的圖形。

圖2②

正如平行四邊形的學(xué)習(xí)一樣，復(fù)雜圖形的學(xué)習(xí)很重要的一個方法就是將其分解成簡單圖形，正是這種化繁為簡的方法，為以后的幾何學(xué)習(xí)打下了一定的方法基礎(chǔ)。

正如前面所談到的化歸思想大量地滲透到了小學(xué)數(shù)學(xué)教材中。所以，“教師要認(rèn)真研讀教材，透過顯性的教學(xué)內(nèi)容挖掘隱藏的數(shù)學(xué)思想方法”。(李放，2010)

2.化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。

首先，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想，可以通過“創(chuàng)設(shè)問題情境”的方法。(李放，2010；葉錦紅，林丹，2010)通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，提高同學(xué)們的積極性。將一些抽象的問題具體化，使得同學(xué)更容易理解所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

針對兩種情況,再分別算出各跳了幾次, 確定誰先掉人陷阱,問題就基本解決了。

上面的思考過程,實際上是把一個實際問題通過分析轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個求“ 最小公倍數(shù)” 的問題, 即把一個實際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題。因此可以通過創(chuàng)設(shè)一定的問題情境在教學(xué)過程中將化歸思想融入問題之中。使學(xué)生清楚地掌握化歸思想。

其次，“在學(xué)生知識的發(fā)生過程中滲透化歸思想”。(李放，2010)也就是人們通常所說的在知識的產(chǎn)生、推導(dǎo)與轉(zhuǎn)化過程中滲透化歸思想。

例如，平行四邊形的面積計算：長方形的面積是長乘寬，那么平行四邊形的面積該如何計算呢？在同學(xué)們剪拼的過程中，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，并引導(dǎo)他們思考：平行四邊形與拼成的長方形有什么關(guān)系？最后得出：平行四邊形的面積=底×高。

通過轉(zhuǎn)化，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，最后達(dá)到解決問題的目的。這一過程不僅是一個得到最終答案的過程，更為重要的是使學(xué)生學(xué)會了一種解決問題的方法。學(xué)會這一方法之后在今后的學(xué)習(xí)中碰到類似的問題，便能夠輕而易舉地解決了。對于教師的教學(xué)“不在于教什么，而真正在于怎樣教”(Ricardo Cantoral amp; Rosa M. Faran,2003)。

3.化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中的滲透。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一個主打的方面便是數(shù)學(xué)問題的解決——解題。數(shù)學(xué)無論從學(xué)習(xí)入手，還是最終學(xué)習(xí)情況的考核，主要就是看解題的能力?；瘹w思想也正是在解題過程中才能充分體現(xiàn)出來。因此，大量的目光也就聚焦到數(shù)學(xué)問題的解決這一領(lǐng)域上來。

“在各類試題的學(xué)練中, 要用符號思想、模型思想等, 使學(xué)生正確、靈活、迅速地掌握各種運算法則、性質(zhì)、定律、順序等,使試題的學(xué)練成為學(xué)生解決各類實際問題的可靠工具”。(安君麗，2001)“在解決問題中體驗數(shù)學(xué)思想方法，運用數(shù)學(xué)思想方法可以更有效地解決問題”。(李放，2010)人們不但意識到了化歸思想在解題過程中的作用，同時也總結(jié)出了一些化歸思想在解題過程中的方法?！凹窗岩粋€實際問題轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題”。楊莉(2005)也就是通常所說的數(shù)學(xué)建模，將生活中的問題利用數(shù)學(xué)方法加以解決。其本質(zhì)也體現(xiàn)了學(xué)以致用的一般原則。而吳生蓮(2009)則將其具體化為“數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化、圖形轉(zhuǎn)化、題型轉(zhuǎn)化”三大類型?？梢哉f是比較具體地分析了在小學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中存在的各類情況。

但在利用化歸思想的同時我們也必須明確一點“這種化歸思想不同于一般所講的‘轉(zhuǎn)化’‘轉(zhuǎn)換’。它具有不可逆轉(zhuǎn)單向性?！?楊莉，2005)

三 化歸思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)的問題

通過上面的介紹，我們大體明確了化歸思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中的三種方式。但是我們在具體運用化歸思想的時候還得注意一些問題。

第一，使未知問題熟悉化。我們使用化歸思想解決問題時必須要將我們所遇到的新問題轉(zhuǎn)化為一個或幾個我們所熟悉的問題，即將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的，在過去的時間內(nèi)已經(jīng)解決過的問題，這樣一來，我們就能夠?qū)⒋鉀Q的問題依托于我們曾經(jīng)使用過的方法來解決。同樣，我們在教學(xué)生的時候也應(yīng)該將新問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生以前學(xué)習(xí)過的問題，會的問題。這樣一來也能把新舊問題連接起來使知識產(chǎn)生連貫性，系統(tǒng)性。從教材的編排上我們也能夠看出來，小學(xué)數(shù)學(xué)主要圍繞三大部分：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、數(shù)理統(tǒng)計。從一年級到六年級都圍繞著這三大部分。通過問題的轉(zhuǎn)化便能將知識以一個脈絡(luò)連接起來。

第二，將問題簡單化?；瘹w思想是一種解決問題的手段與方法，因此，我們在使用過程中肯定應(yīng)該選一條捷徑來走，原問題困難，我們就教給學(xué)生想辦法將其簡單化，從上面的例子我們也可以看出來，將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形與矩形時就遵循了這樣一個原則。簡單化原則也提醒我們在使用化歸思想時，不要將原問題復(fù)雜化，原來很簡單的問題，我們不能反倒將其轉(zhuǎn)化為一個更困難的問題去求解。

第三，將問題具體化。有些問題很抽象，我們可以使用一些諸如數(shù)形結(jié)合的方法，將一些不明顯、比較抽象的問題使用圖形來表示，來解決。這樣一來，我們便可以將原問題清晰具體地反映出來，通過具體問題的解答，將原問題加以解決。這一原則在下面具體闡述化歸思想的應(yīng)用過程中將予以體現(xiàn)。

第四，正難則反。正難則反，也就是我們通常意義上的反證法。原問題的條件給了我們一種思路，但是依靠這一思路我們很難將問題解決了，因此，我們可以換一種思路，原問題讓我們向前走，我們可以想想，如果向后退情況會是什么樣呢？在我們解決一些問題過程中我們可以使用例如反證法這樣的一些手段，將問題轉(zhuǎn)化到問題的另一面加以解決。

四 總結(jié)

通過梳理我們已經(jīng)明確了化歸思想滲透到小學(xué)數(shù)學(xué)中的三種方式：通過教材的編寫滲透，通過教師的教學(xué)滲透以及通過解題過程滲透。通過這三種方式，可以很好地使學(xué)生掌握化歸思想這一重要的思想方法。這也在一定程度上告訴我們可以從哪幾個方式入手將化歸思想傳遞給學(xué)生。通過課堂，可以更好地發(fā)揮教師的主導(dǎo)地位與學(xué)生的主體地位，使學(xué)生掌握化歸思想。

但同時我們也能夠看出目前化歸思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透主要是靠教師的知識傳遞。也正是在教師傳授的過程中出現(xiàn)了很多問題，這便是教師的滿堂灌，使學(xué)生盲目接受知識，而不加思考。因此，使學(xué)生掌握化歸思想只有發(fā)揮學(xué)生的主動性。培養(yǎng)讓學(xué)生在自學(xué)過程中，自覺地使用化歸思想。這樣才能最大限度地發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性思維。鼓勵學(xué)生自覺運用化歸思想將是以后研究的重點方向。

同時，如今是一個學(xué)習(xí)型的社會，知識的學(xué)習(xí)也不能僅僅靠個人的埋頭苦讀，而是需要組成一定的學(xué)習(xí)團隊，形成一定的學(xué)習(xí)小組。鼓勵學(xué)生形成一種合作學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生對于新的學(xué)習(xí)問題形成一種“合作的視角”(Cindy E. Hmelo-Silver ，Ellina Chernobilsky amp;Rebecca Jordan，2008)，將是今后教學(xué)的重中之重。也正因為如此，化歸思想的滲透同樣需要教師有意識地在班級里組建學(xué)習(xí)小組，通過小組成員間的相互學(xué)習(xí)來掌握化歸思想。這也將是今后關(guān)注的焦點之一。

注釋

①http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxjs/xs3b/xs3bkb/200703/t20070314_339024.htm.

②http://www.pep.com.cn/xxsx/xxsxjs/xs4a/xs4akb/200704/t20070411_388604.htm.

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ClassNo.:G623.5DocumentMark：A

(責(zé)任編輯：宋瑞斌)

ReviewoftheIdeaofConversioninMathematicalEducationinPrimarySchool

Ma Xu

Firstly, classification and an inductive analysis are made through systematic research literature of the permeation of the idea of conversion in mathematical education in primary school. Secondly, a literature review of permeation is made in the following three aspects: 1) textbook 2) instruction and 3) solving problems in mathematical education in primary school. Finally, achievements and Limitations in current studies on the permeation of the idea of conversion in mathematical education in primary school are summarized.

idea of conversion;mathematical education in primary school

馬旭，碩士，云南民族大學(xué)教育學(xué)院。

1672-6758(2012)09-0007-3

G623.5

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