中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合

客觀世界是一個(gè)普遍聯(lián)系的整體，任何事物都不是孤立的存在著，而是通過(guò)各種方式與其他事物相互依賴、相互作用、相互制約。數(shù)學(xué)研究的兩類基本對(duì)象——數(shù)與形，亦是如此。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以把有些數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)問(wèn)題或者把有些圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系問(wèn)題來(lái)研究，即以“形”助“數(shù)”或以“數(shù)”賦“形”。數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將形象直觀的圖形與抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)聯(lián)系起來(lái)，將形象思維和抽象思維結(jié)合起來(lái)，從而通過(guò)形象直觀的圖形來(lái)實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，達(dá)到了化難為易，化繁為簡(jiǎn)。下面，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勚新殧?shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合。

一、數(shù)形結(jié)合在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！笨梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)研究的重要性。中職教材（以江蘇省職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組編的《數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)模塊為教材）中的每一章的教學(xué)內(nèi)容都可以用到數(shù)形結(jié)合的方法。

在《集合》教學(xué)中，數(shù)集可借助于數(shù)軸，點(diǎn)集可借助于平面直角坐標(biāo)系，集合與集合的關(guān)系可借助于維恩圖，這樣把抽象的問(wèn)題具體化了，以形助數(shù)。例如：某班有22名學(xué)生參加校田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，有15人參加了徑賽，有12人參加了田賽。問(wèn)該班既參加徑賽又參加田賽的有多少人？

此題借助于如下維恩圖，不難得到答案：15+12-22=5。

在《不等式》教學(xué)中，可借助于絕對(duì)值的幾何意義得出絕對(duì)值不等式的解集；可借助于一元二次函數(shù)的圖象推導(dǎo)出一元二次不等式的解集。例如：畫(huà)出一元二次函數(shù)y=x*x+5x+6的圖象，并回答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x取什么值？（2）當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍？（3）當(dāng)y<0時(shí)，x的取值范圍？從而得出x*x+5x+6>0、x*x+5x+6<0的解集。

在《函數(shù)》的教學(xué)中，由于函數(shù)內(nèi)容本身具有抽象性，以及中職生在抽象思維水平方面的不足，因此在本章的教學(xué)中可采取“直觀領(lǐng)路，抽象跟進(jìn)”的教學(xué)思路。用數(shù)集（維恩圖表示）的對(duì)應(yīng)、圖象、表格等形式來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)，對(duì)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性的研究應(yīng)當(dāng)基于對(duì)直觀圖象的分析。例如：判斷函數(shù)y=│x│的單調(diào)區(qū)間、奇偶性。

可先畫(huà)出該函數(shù)的圖象，從圖象上可直觀的得出其單調(diào)區(qū)間、奇偶性。

在《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》教學(xué)中，通過(guò)具體的冪函數(shù)的圖象的觀察比較得出其定義域和性質(zhì)，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)進(jìn)行描點(diǎn)法作圖的探究，親身經(jīng)歷和感受圖象的變化趨勢(shì)以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的特征。例如：比較0.82.3與0.8-2.3的大小。

可先畫(huà)出指數(shù)函數(shù)y=0.8x的圖象，根據(jù)其單調(diào)性得出結(jié)論。

在《三角函數(shù)》教學(xué)中，讓學(xué)生畫(huà)角來(lái)理解正角、負(fù)角、零角；通過(guò)三角形的相似來(lái)說(shuō)明三角函數(shù)值與角終邊上的點(diǎn)的位置關(guān)系無(wú)關(guān)；三角函數(shù)的定義域、值域反映了圖象在直角坐標(biāo)平面內(nèi)展開(kāi)的范圍，單調(diào)性反映了圖象的升降，奇偶性反映了圖象關(guān)于y軸或原點(diǎn)的對(duì)稱，周期性反映了圖象沿x軸方向每隔一定距離重復(fù)出現(xiàn)；通過(guò)單位圓中的三角函數(shù)線以及三角函數(shù)圖象來(lái)求三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、比較大小、解三角不等式、討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，來(lái)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式等。例如：判斷方程sinx=lgx解的個(gè)數(shù)。

此題畫(huà)出函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖象（如圖1，注意兩個(gè)圖象的相對(duì)位置關(guān)系）。觀察圖象的交點(diǎn)，可得出結(jié)論：3個(gè)。

在《數(shù)列》教學(xué)中，數(shù)列的本質(zhì)是定義在自然數(shù)N*上的函數(shù)，既然是一種特殊的函數(shù)就可以用圖象來(lái)研究數(shù)列，從而用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決數(shù)列中的問(wèn)題。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是一元一次函數(shù)，它表示一元一次函數(shù)圖象上的孤立點(diǎn)；等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是一元二次函數(shù)，它表示一元二次函數(shù)圖象上的孤立點(diǎn)。例如：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p，求ap+q。（如圖2）

解：不妨設(shè)q>p，等差數(shù)列an關(guān)于n的圖象是一條直線上均勻分布著一些離散的點(diǎn)，設(shè)ap+q＝m，則三點(diǎn)A（p，aq）、B（q，ap）、C（p＋q，ap+q）共線，得kAB=kBC，即p-qq-p=m-pp+q-q。得m＝0，即ap+q＝0。

在《平面向量》教學(xué)中，平面向量集數(shù)、形于一體，具有代數(shù)與幾何的“雙重身份”，是數(shù)形結(jié)合的橋梁。向量的加法、減法、數(shù)乘都具有幾何意義，用平行四邊形法則、三角形法則來(lái)說(shuō)明向量的加減法；在直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示平面向量，用坐標(biāo)來(lái)判斷向量與向量間的平行（共線）、相等、相反關(guān)系，用直角坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律進(jìn)行向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，用向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示向量的坐標(biāo)。例如：已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（-2，-1）、B（3，0）、C（2，3），求第4個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。

本題的解法之一，就是構(gòu)造向量的相等，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決。

在《直線與圓的方程》教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法在本章教學(xué)中得到了很好的體現(xiàn)，是貫穿于本章教學(xué)始終的重要方法，是突破本章教學(xué)難點(diǎn)的重要方法，是解決本章問(wèn)題的基本思想方法。從兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)公式，直線的傾斜角、斜率，到討論直線、圓的方程以及它們之間的位置關(guān)系，都應(yīng)該做到數(shù)形結(jié)合，這樣能讓學(xué)生更好的理解本章教學(xué)內(nèi)容。例如：判斷直線x+y+4=0與圓x2+y2=9的位置關(guān)系。

本題可以用圓心到直線的距離與半徑的大小比較來(lái)判斷。

在《立體幾何》教學(xué)中，棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等立體幾何圖形中描述其相關(guān)特征的量都是用符號(hào)表示的，在求它們的全面積、體積時(shí)要將公式中符號(hào)所表示的幾何特征與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)。例如：已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3。求其體積。

解：先作圖，不難得到圓錐的母線長(zhǎng)、高、底面半徑三者間的關(guān)系，由勾股定理可求的高為4，最后代入體積公式中可求出其體積。

在《概率統(tǒng)計(jì)》教學(xué)中，用維恩圖表示隨機(jī)事件的關(guān)系，借助于幾何圖形的性質(zhì)來(lái)輔助解決概率問(wèn)題；利用頻率分布直方圖對(duì)總體分布規(guī)律進(jìn)行估計(jì)；利用散點(diǎn)圖直觀體現(xiàn)兩個(gè)變量之間的線形相關(guān)關(guān)系。例如：甲已兩人約定于下午2點(diǎn)至下午3點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等20分鐘后離去，求兩人能會(huì)面的概率。

解：假設(shè)甲已兩人到達(dá)的時(shí)刻分別2點(diǎn)x分，2點(diǎn)y分，當(dāng)│x-y│≤20能會(huì)面（即圖3中的陰影部分）。用陰影面積除以正方形面積即為所求概率。

二、數(shù)形結(jié)合的作用

通過(guò)教學(xué)實(shí)踐證明，在教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，對(duì)中職生是大有裨益的。

1.激發(fā)中職生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣

愛(ài)因斯坦認(rèn)為：“興趣是最好的老師?！蓖ㄟ^(guò)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)美，讓中職生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，從而使中職生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生強(qiáng)烈的情感、濃厚的興趣和求知欲；讓中職生消除對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種恐懼心態(tài)；讓中職生從“要我學(xué)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)數(shù)學(xué)”。

2.提高中職生的思維能力

人的左、右半腦的功能各有特征，左半腦功能偏重于抽象的邏輯思維，右半腦功能則偏重于形象思維，如果互相補(bǔ)充就會(huì)使大腦功能更加健全和發(fā)達(dá)。數(shù)形結(jié)合就同時(shí)運(yùn)用了左、右半腦的功能，促進(jìn)了中職生的形象思維能力、邏輯思維能力的同步發(fā)展。能夠促進(jìn)中職生多層次、多角度、多方位地思考問(wèn)題，讓中職生養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。同時(shí)也提高了中職生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶和理解。

另外在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法時(shí)，要注意：（1）在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，是選擇用代數(shù)方法還是選擇用幾何方法，還是選擇用數(shù)形結(jié)合方法，是取決于用哪種方法更簡(jiǎn)便、易接受，而不要刻意的用數(shù)形結(jié)合。（2）數(shù)形結(jié)合時(shí)，幾何問(wèn)題與代數(shù)問(wèn)題的轉(zhuǎn)換要是等價(jià)的，否則就很有可能會(huì)出現(xiàn)漏洞。并且，由于圖形的局限性，圖形的性質(zhì)只是直觀而淺顯的說(shuō)明，而不能完整的表現(xiàn)數(shù)的特性。（3）在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行代數(shù)抽象的分析，又要進(jìn)行幾何直觀的分析，兩者是相輔相成的，不能僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析，或者僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析。（4）數(shù)形結(jié)合時(shí)畫(huà)圖要基本準(zhǔn)確，切忌隨意畫(huà)圖。（5）要合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，就要熟練掌握某些概念、運(yùn)算的幾何意義和常見(jiàn)圖形的代數(shù)特征。做到胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖。

（作者單位：江蘇省張家港市第二職業(yè)高級(jí)中學(xué)）