空投救災(zāi)物資的數(shù)學(xué)模型及其最優(yōu)方案

【摘 要】本文探討了使用降落傘向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資的最優(yōu)方案問題，并得出了相應(yīng)的最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。

【關(guān)鍵詞】救援物資 阻力系數(shù) 價(jià)格

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2012）24-0075-01

一 問題背景

某部門要選購一些降落傘，向?yàn)?zāi)區(qū)空投2000千克的救災(zāi)物資。降落傘的價(jià)格由三部分組成，其中傘面的費(fèi)用由半徑r決定，繩索費(fèi)用為4元/米，每個(gè)傘有16根同規(guī)格的繩索；降落傘的固定費(fèi)用為200元。已知空投高度為500米，要求降落傘落地時(shí)的速度不能超過20米/秒，救災(zāi)物資位于球心正下方球面處。并且降落傘在降落過程中受到空氣的阻力，空氣阻力與降落速度和傘面積的乘積成正比（比例系數(shù)k=2.9）。

要解決的問題：一是將總的物資進(jìn)行怎樣的分配，使得物品落地不會(huì)破損；二是選擇怎樣的購買降落傘的方案，從而使得這次空投的總費(fèi)用最少。

二 模型的假設(shè)

飛機(jī)水平進(jìn)行空投，物資一離開飛機(jī)，降落傘就將傘面打開；在投放時(shí)只受重力和空氣阻力的影響；每根繩索的承受力為無窮大，并且質(zhì)量忽略不計(jì)；投放的物資可以合理地組合，并且每個(gè)降落傘下的物資看成質(zhì)點(diǎn)；速度的正方向豎直向下。

符號(hào)說明：k：阻力系數(shù)；f：阻力；a：降落傘的下降加速度；g：重力加速度；v0：開始降落的速度；v：速度；r：傘的半徑；L：繩索的長度；x：降落傘下降的高度；t：物體下降時(shí)間；c：降落傘的費(fèi)用；cr：對(duì)應(yīng)半徑降落傘傘面的費(fèi)用；x1，x2，x3，x4，x5，：分別所需半徑為2，2.5，3，3.5，4的個(gè)數(shù)；z：使用降落傘的總費(fèi)用。

三 問題分析

首先明確了投放的高度是500米，落地的最大速度是20米/秒。這是投放物資是給定的條件。求出時(shí)間、落地位移、速度、加速度與重物的關(guān)系，從而求出每一種規(guī)格的最大承載量。然后，在每一種規(guī)格下按照小于等于最大承受重量進(jìn)行物資的分配，從而保證物資在投放時(shí)不因落地速度大于20米/秒，而使物資受損。

明確空投費(fèi)用是降落傘的總費(fèi)用，要使得費(fèi)用最少，就得選擇購買方案時(shí)所花費(fèi)用最少，為此將用到優(yōu)化方法進(jìn)行求解。首先，算出每種規(guī)格降落傘繩索的長度，問題給定重物位于球心正下方球面處，由該條件可處理繩索問題。然后算出每一種規(guī)格的降落傘的總費(fèi)用，包括三部分：繩索，傘面費(fèi)用，固定費(fèi)用。最后在求出每一種規(guī)格降落傘的費(fèi)用的情況下，運(yùn)用《運(yùn)籌學(xué)》的知識(shí)列出并求解該優(yōu)化問題。

四 數(shù)學(xué)模型的建立與求解

因?yàn)関′′<0，又 = v′（m）=0，所以v（m）是關(guān)于m的單調(diào)增函數(shù)，同理可知，v是關(guān)于m的單調(diào)增函數(shù)。因此，當(dāng)v最大時(shí)，降落傘的最大載重量m也最大。

由球的表面積公式s=4πr2，結(jié)合問題中降落傘的落地速度不能超過20米/秒，以此確定不同半徑傘的最大載重量：

降落傘的費(fèi)用是由三部分組成——繩索費(fèi)用、傘面費(fèi)用、固定費(fèi)用，由題目給的信息可知：L= ，故繩索部分的費(fèi)用為16×4× ；傘面費(fèi)用已給定；固定費(fèi)用相同，每種規(guī)格的都是200元；綜合可得出不同規(guī)格降落傘的費(fèi)用計(jì)算表達(dá)式為：c=16×4×r+cr+200。

為簡化計(jì)算求出不同半徑降落傘費(fèi)用，可以得到表3：

綜上可列出下列線性表達(dá)式：

minZ=446x1+596x2+821.5x3+1176.8x4+1562x5+

用lingo可解得總費(fèi)用z的最小值是4924元；此時(shí)選用半徑為2米的降落傘10個(gè)，2.5米的兩個(gè)，3米的4個(gè)。代值返回計(jì)算得出每個(gè)降落傘滿載物質(zhì)的總重量為2005.3千克>2000千克，因此，該選購方案可行。

參考文獻(xiàn)

[1]吳振奎.運(yùn)籌學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2006

[2]袁新生等. Lingo在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2007

〔責(zé)任編輯：陳晨〕