梅森素?cái)?shù)漫談

張四保 李建安

(1.喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844008; 2.皇后大學(xué)數(shù)學(xué)系，加拿大金斯頓 K7L 3N6)

梅森素?cái)?shù)漫談

張四保1李建安2

(1.喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，新疆喀什 844008; 2.皇后大學(xué)數(shù)學(xué)系，加拿大金斯頓 K7L 3N6)

梅森素?cái)?shù)是一種特殊的素?cái)?shù)，它是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)研究的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一。自從這一素?cái)?shù)提出之后，尤其是在GIMPS項(xiàng)目的幫助下，梅森素?cái)?shù)的探究取得了重大進(jìn)展。文章就有關(guān)梅森素?cái)?shù)的研究情況做一簡(jiǎn)要的介紹。

梅森素?cái)?shù)，周氏猜測(cè)，網(wǎng)格技術(shù)，GIMPS

2008年8月23日，美國(guó)加州大學(xué)洛杉磯分校的計(jì)算機(jī)專家埃德森·史密斯通過(guò)一個(gè)名為“因特網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)的國(guó)際合作項(xiàng)目，發(fā)現(xiàn)了迄今已知的最大梅森素?cái)?shù)243112609－1，該數(shù)也是目前已知的最大素?cái)?shù)。這個(gè)巨數(shù)有12978189位;如果用普通字號(hào)將它連續(xù)寫下來(lái)，長(zhǎng)度可超過(guò)50公里!這一重大成就被著名的《時(shí)代》雜志評(píng)為“2008年度50項(xiàng)最佳發(fā)明”之一，排名在第29位。英國(guó)《新科學(xué)家》雜志認(rèn)為這一素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)研究和計(jì)算技術(shù)中最重要的成果之一［1］。

一 什么是梅森素?cái)?shù)

梅森素?cái)?shù)對(duì)于許多人來(lái)說(shuō)，是個(gè)陌生的名詞。但近幾年來(lái)，梅森素?cái)?shù)卻頻頻出現(xiàn)在主流新聞媒體和學(xué)術(shù)刊物中。眾所周知，素?cái)?shù)也叫質(zhì)數(shù)，是在大于1的整數(shù)中只能被1和自身整除的數(shù)，如2、3、5、7、11等等。千百年來(lái)，神秘的素?cái)?shù)吸引著許許多多的數(shù)學(xué)家的濃厚興趣。2300年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得用反證法巧妙地證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，并提出有些素?cái)?shù)可寫成“2P－1”的形式，其中指數(shù)P是素?cái)?shù)。這種特殊形式的素?cái)?shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)和無(wú)窮的魅力，千百年來(lái)一直吸引著眾多的數(shù)學(xué)家(包括數(shù)學(xué)大師費(fèi)馬、笛卡兒、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代等)和無(wú)數(shù)的業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)它進(jìn)行探究。而17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、法蘭西科學(xué)院奠基人馬林·梅森(Marin Mersenne)是其中成果較為卓著的一位。

梅森在歐幾里得、費(fèi)馬等人的有關(guān)研究基礎(chǔ)上對(duì)2P－1型的素?cái)?shù)做了大量的計(jì)算、驗(yàn)證工作，并于1644年提出了著名的“梅森猜測(cè)”;其工作極大地激發(fā)了人們研究這種素?cái)?shù)的熱情，成為素?cái)?shù)研究的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)和里程碑。由于梅森學(xué)識(shí)淵博，才華橫溢，并是法蘭西科學(xué)院的奠基人，為了紀(jì)念他，1897年在瑞士蘇黎世舉行的首屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)(ICM)就將“2P－1”型的素?cái)?shù)稱為“梅森素?cái)?shù)”(Mersenne prime)。

2300多年來(lái)，人類僅發(fā)現(xiàn)47個(gè)梅森素?cái)?shù)。由于這種素?cái)?shù)新奇而迷人，因此有著“數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的明珠”的美譽(yù)。梅森素?cái)?shù)歷來(lái)是數(shù)論研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是當(dāng)今科學(xué)探索的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一。值得一提的是，在所發(fā)現(xiàn)的47個(gè)梅森素?cái)?shù)序列中，至今只確定了前41個(gè)梅森素?cái)?shù)的位次。

二 艱辛的探究歷程

梅森素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單，但探究難度卻極大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且還需要進(jìn)行艱巨的計(jì)算。1772年，有“數(shù)學(xué)英雄”美名的瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉在雙目失明的情況下，用試除法巧妙地證明了231－1(即2147483647)是第8個(gè)梅森素?cái)?shù)。這個(gè)具有10位的素?cái)?shù)，堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。歐拉的頑強(qiáng)毅力與解題技巧令人贊嘆不已。法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯的話，或許可以代表我們的心聲:“讀讀歐拉，他是我們每一個(gè)人的老師?！?/p>

在“筆算紙錄”的年代，人們歷盡艱辛，才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。而計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生加速了梅森素?cái)?shù)探究進(jìn)程。1952年，美國(guó)數(shù)學(xué)家拉婓爾·魯濱遜等人使用SWAC型計(jì)算機(jī)在短短的幾個(gè)月內(nèi)，就找到了5個(gè)梅森素?cái)?shù)。

梅森素?cái)?shù)的探究不僅極富挑戰(zhàn)性，而且對(duì)探究者來(lái)說(shuō)有一種巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8點(diǎn)，當(dāng)?shù)?3個(gè)梅森素?cái)?shù)211213－1通過(guò)大型計(jì)算機(jī)被找到時(shí)，美國(guó)廣播公司(ABC)中斷了正常的節(jié)目播放，在第一時(shí)間發(fā)布了這一重要消息;《芝加哥論壇報(bào)》還把這一消息頭版頭條來(lái)報(bào)道。而發(fā)現(xiàn)這個(gè)素?cái)?shù)的美國(guó)伊利諾伊大學(xué)數(shù)學(xué)系全體師生感到無(wú)比驕傲，為了讓全世界都分享這一重大成果，以至把所有從系里發(fā)出的信封都蓋上了“211213－1是個(gè)素?cái)?shù)”的郵戳，這一做法一直延續(xù)到1976年該系數(shù)學(xué)家證明著名的“四色定理”為止。

素?cái)?shù)的分布時(shí)疏時(shí)密很不規(guī)則，而特殊素?cái)?shù)——梅森素?cái)?shù)的分布更加無(wú)序。加上人們尚未知梅森素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多個(gè)，因此探究梅森素?cái)?shù)的重要性質(zhì)——分布規(guī)律似乎比尋找新的梅森素?cái)?shù)更為艱難。英、法、德、美等國(guó)的數(shù)學(xué)家都曾分別給出過(guò)有關(guān)梅森素?cái)?shù)分布的猜測(cè)，但他們的猜測(cè)都是“近似”的，沒(méi)有準(zhǔn)確的表達(dá)式，都在實(shí)踐中顯出了瑕疵，折戟沉沙。

中國(guó)數(shù)學(xué)家和語(yǔ)言學(xué)家周海中是這方面研究的領(lǐng)先者——他聯(lián)想到“費(fèi)馬數(shù)”的形式，運(yùn)用聯(lián)系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月首次給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式;后來(lái)其猜測(cè)在1995年被國(guó)際數(shù)學(xué)界命名為“周氏猜測(cè)”，并收錄進(jìn)肯帕博士主編的《數(shù)學(xué)中的著名難題》一書(shū)。美國(guó)數(shù)論專家巴拉德博士和加拿大數(shù)論專家P.里木伯姆教授認(rèn)為:這一成果是素?cái)?shù)研究的一項(xiàng)重大突破。美籍挪威數(shù)論大師、菲爾茨獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)得主阿特勒·塞爾伯格認(rèn)為:周氏猜測(cè)具有創(chuàng)新性，開(kāi)創(chuàng)了富于啟發(fā)性的新方法;其創(chuàng)新性還表現(xiàn)在揭示新的規(guī)律上［2］。周氏猜測(cè)的提出已有近20年，目前人們需要做的是破解這一難題。

網(wǎng)格(grid)這一嶄新技術(shù)的出現(xiàn)使梅森素?cái)?shù)的探究如虎添翼。1996年初，美國(guó)數(shù)學(xué)家和程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序，并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供數(shù)學(xué)家和業(yè)余數(shù)學(xué)愛(ài)好者免費(fèi)使用;這就是聞名世界的GIMPS項(xiàng)目，也是全世界第一個(gè)基于網(wǎng)格計(jì)算的項(xiàng)目?，F(xiàn)在，只要在GIMPS的主頁(yè)下載為一個(gè)名為Prime95的免費(fèi)程序，就可以立即參加GIMPS項(xiàng)目，踏上持續(xù)了千年的梅森素?cái)?shù)探尋之旅。至今人們通過(guò)該項(xiàng)目找到了13個(gè)梅森素?cái)?shù)，其發(fā)現(xiàn)者來(lái)自美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、加拿大和挪威。目前，世界上有180多個(gè)國(guó)家和地區(qū)超過(guò)23萬(wàn)人參加了這一項(xiàng)目，并動(dòng)用了45萬(wàn)多臺(tái)計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素?cái)?shù)。

三 梅森素?cái)?shù)的意義

對(duì)于梅森素?cái)?shù)的尋找之旅已經(jīng)歷經(jīng)千年，在數(shù)學(xué)家們和愛(ài)好者的眼里，它們的價(jià)值遠(yuǎn)勝于鉆石。梅森素?cái)?shù)在當(dāng)代具有十分豐富的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值。它是發(fā)現(xiàn)已知最大素?cái)?shù)的最有效途徑;其探究推動(dòng)了“數(shù)學(xué)皇后”——數(shù)論的研究，促進(jìn)了計(jì)算技術(shù)、密碼技術(shù)、程序設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展以及快速傅里葉變換的應(yīng)用。

梅森素?cái)?shù)的最新意義是:它促進(jìn)了網(wǎng)格技術(shù)的發(fā)展;而網(wǎng)格技術(shù)是一項(xiàng)應(yīng)用非常廣闊、前景十分誘人的高新技術(shù)。另外，梅森素?cái)?shù)還可用來(lái)測(cè)試計(jì)算機(jī)硬件運(yùn)算是否正確［3］。

由于梅森素?cái)?shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，所以許多科學(xué)家認(rèn)為:梅森素?cái)?shù)的研究成果，在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平，而不僅僅是代表數(shù)學(xué)的研究水平。英國(guó)頂尖科學(xué)家馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為:梅森素?cái)?shù)探究可以挑戰(zhàn)人類科技與智慧極限，其成果是一個(gè)國(guó)家科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志之一。

梅森素?cái)?shù)的發(fā)現(xiàn)和研究工作，對(duì)于解決哥德巴赫猜想、計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)步等等都具有很大的推動(dòng)作用，在其發(fā)現(xiàn)和研究過(guò)程中所衍生出來(lái)的數(shù)學(xué)新方法、新理論，更是具有重大的科學(xué)意義。

［1］陳琦，章平.數(shù)學(xué)珍寶——梅森素?cái)?shù)［J］.百科知識(shí)，2009，(15)：22.

［2］林強(qiáng)，惠來(lái).周海中：語(yǔ)言學(xué)家的數(shù)學(xué)情懷［N］.科學(xué)時(shí)報(bào)，2011－09－07(5).

［3］張四保.梅森素?cái)?shù)研究綜述［J］.科技導(dǎo)報(bào)，2008，28 (18)：88－92.

Introduction on Mersenne Primes

ZHANG Sibao LI Jianan

The Mersenne prime is a special kind of prime.It is an important element of number theory，and also one of the hot and difficult points of today＇s scientific research.Since the prime has been presented，the relative studies have been made significant progress under the project of Great Internet Mersenne Prime Search(GIMPS).This paper gives a brief introduction to Mersenne primes.

Mersenne primes，Zhou conjecture，grid technologies，GIMPS

N04;O24

A

1673－8578(2012)01－0055－03

2011－11－28

張四保(1978—)，男，江西人，新疆喀什師范學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)論。李建安(1972—)，男，福建人，加拿大皇后大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博士，研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)。聯(lián)系方式:sibao98@126.com。