一元算符邏輯理論三探——狹義函數(shù)相對論視野下的現(xiàn)代模態(tài)邏輯

萬小龍，華中科技大學(xué)哲學(xué)系，湖北武漢 430074

一元算符邏輯理論三探
——狹義函數(shù)相對論視野下的現(xiàn)代模態(tài)邏輯

萬小龍，華中科技大學(xué)哲學(xué)系，湖北武漢 430074

狹義函數(shù)相對論基本原理:對于任意二真值的邏輯變量p和由任意一元算符H與p所形成的二真值變量Hp，無論Hp是否為p的真值函數(shù)，它總會等值于p和獨立于p的另一二真值變量q所形成的一個真值函數(shù)。由于有且僅有16個二真值二元函數(shù)式和有且僅有16個相應(yīng)的基本二真值二元函數(shù)，所以有且僅有16個一元算符和有且僅有16個相應(yīng)的基本二真值一元非函數(shù)。其他的二真值一元非函數(shù)由且僅由這16個一元算符疊置所形成。那么可進一步認為現(xiàn)代模態(tài)邏輯公理其實是按一階邏輯對經(jīng)典二真值函數(shù)做分類研究。模態(tài)命題邏輯中任一可能世界集W僅對應(yīng)一組二元真值函數(shù)，相應(yīng)的可能世界間的關(guān)系R就是這組函數(shù)共有的一種集合性質(zhì)。任一公理模式在一框架內(nèi)有效，就是將屬于W的每個真值函數(shù)(式)按K－2分別依次代入該公理模式中的每一個“□”，使得形成一組經(jīng)典定理。

狹義一元算符;經(jīng)典二元真值函數(shù);K－1;K－2

本文僅研究二真值的非函數(shù)，而把非二真值的非函數(shù)留在“3+N探”討論。類比愛因斯坦提出“同時性的相對性原理”，本文先提出狹義函數(shù)相對論的基本原理“對于任意二真值的邏輯變量p和由任意一元算符H與p所形成的二真值變量Hp，無論Hp是否為p的真值函數(shù)，它總會等值于p和獨立于p的另一個二真值變量q所形成的一個二真值函數(shù)”，簡稱為“非真值函數(shù)的相對性”，Hp=d(p，q)。再由此考慮二真值的現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯的實質(zhì)。

一、一元算符理論簡述

類比愛因斯坦相對論的方法(將牛頓力學(xué)理論中作為形而上學(xué)陳述中的概念“時間”與“空間”等內(nèi)化為科學(xué)理論的數(shù)學(xué)物理陳述中的可驗證科學(xué)概念)，一元算符理論可以概括為:先把經(jīng)典邏輯理論中作為形式系統(tǒng)背后的形而上學(xué)陳述的“推理有效”經(jīng)過“蘊涵為真”而內(nèi)化為形式體系內(nèi)部的可運算的基本算符，然后再對經(jīng)典聯(lián)結(jié)詞和邏輯真值做系統(tǒng)研究。

簡要地說，考慮推理有效在真值語義下即蘊涵為真，從任意命題p定義作為p的蘊涵為真的結(jié)果－反(泛)函數(shù)［1］［2］①參照了［2］中第2頁黃紹揆先生的稱謂為逆函數(shù)。H4p－及其疊置，再用完全集{﹁，→}遞歸地定義出相應(yīng)的其余15個算符(見表1與2)。這一方面的詳細論述參見拙著“一探”［2］和“二探”［3］。

表1 一元算符真值表

表2 孿生形一元算符真值表

一元算符邏輯是直接從經(jīng)典邏輯中來的，沒有附加任何其它邏輯條件。所以經(jīng)典邏輯具有的公理、定理和推理規(guī)則在一元算符邏輯中也都成立(在具體推理時，只要將“可真可假”看做是小于“真”卻大于“假”即可，而實際分別是兩個推理過程:“假”推出“假”推出“真”;“假”推出“真”推出“真”)。下文考慮多變元的情形。

表3 二變元的H4的簡約真值表，當(dāng)H4p=f(p，q)時，H4p'=f(p'，q)

表4 二變元的H4一般真值表，當(dāng)H4p=f(p，q)時，H4p'=f(p'，q')

我們把表3和表4的兩種算符形式依次記為H4－1和H4－2。

二、狹義一元算符邏輯顯原形

進一步可見，H4p的真值語義與p∨q的真值語義完全相同。既然一元算符中的基本算符H4是在經(jīng)典命題邏輯基礎(chǔ)上沒有增加任何其他邏輯條件而得到，所以H4p其實就是p∨q。因此，可以考慮狹義一元算符真值表中每個一元算符的一個邏輯語義都對應(yīng)一個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞。

表5 狹義一元算符真值表

表6 孿生形狹義一元算符真值表

對于一元算符真值表中另外7個帶有“無真值定義”算符及它們的孿生組成的集合，我們將在考慮多值邏輯時才討論這些算符的問題。

為了適應(yīng)本文的引文，用公式A代替上面表中的變元p、A1代替上面表中的q，得到:

表7 經(jīng)典二真值基本二元函數(shù)

顯然，傳統(tǒng)模態(tài)算符可能◇和必然□就分別是:H4和H3，或H'4和H'3;也即對應(yīng)d2和d13，或d3和d12。而現(xiàn)代二真值的模態(tài)邏輯研究到今天還沒有出現(xiàn)內(nèi)含“無真值定義”的算符。因此如果狹義函數(shù)相對論能夠成立，那么狹義一元算符集也即經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞集就被認為可以完備地表達模態(tài)邏輯算符。而對于任意一對HA和HB來說，當(dāng)HA=f(A，A1)時，HB=f(B，A2)而不是f(B，A1)。例如，當(dāng)H4A是A∨A1時，H4B是B∨A2。特設(shè)性的f(B，A1)形式對應(yīng)K－1，一般形式f(B，A2)對應(yīng)K－2。為了簡便，下文中K－1與K－2中的“□”均先僅考慮二變元真值函數(shù)式。n為大于0的自然數(shù)時，K－(2+n)是指代人法則如上述的K－2，但考慮多于二變元的真值函數(shù)，可以看作是16個算符的疊置生成。

三、現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯公理顯原形

狹義函數(shù)相對論顯示任意二真值的基本一元非真值函數(shù)HA總會等值于A與A1形成的16個基本二真值函數(shù)之一。如果任一模態(tài)基本命題□A屬于16個HA的集合，那么只要將16個函數(shù)分別代人模態(tài)公理即可求得。以簡便又常用的T公理(□A→A)為例，容易發(fā)現(xiàn):

(1)T公理中的□A表示一組而非一個A的非真值函數(shù);

(2)這一組A的非真值函數(shù)分別等值于真值函數(shù)D6、D12、D13和D16;

(3)進一步，由于公理具有的二真值特性(表示蘊涵為真或推理有效)，T公理中的□A表示的非真值函數(shù)只能等值于真值函數(shù)D6、D12、D13或D16，運用反證法不難得到證明。

(4)T公理實際上表示一組經(jīng)典命題邏輯的定理:

A→A，A∧A1→A，A∧﹁A1→A，A∧﹁A→A。

對于疊置算符的語義，例如當(dāng)H3A=A∧﹁A1時，H3H3A=A∧﹁A1∧﹁A1'。顯然后者也是T公理中的□A，不過僅考慮16個二變元的真值函數(shù)已經(jīng)能夠反映模態(tài)邏輯的最基本性質(zhì)。

模態(tài)命題邏輯LP16K－2:在經(jīng)典命題邏輯基礎(chǔ)上增加并僅增加的符號“□”和“◇”有且僅有明確的經(jīng)典意義:“□”與任意命題(串)A組合形成的□A表示以A為一變元而形成的16個二元真值函數(shù)集(如表7)的一個子集。最大子集就是這16個真值函數(shù)的集合，最小的子集對于這16個真值函數(shù)是空集。容易算出總共有有限數(shù)量(WM+1)個不同的子集。模態(tài)公理就是在經(jīng)典命題邏輯語言外僅增添了“□”或它的對偶“◇”或它們的各種疊置的公理。由于公理的特性(永真)和其中任何一個命題串的“二真值性”，任何公理中的“□”只能是至少等價于16個真值函數(shù)中的一個而不可能為“空”，所以不等價的模態(tài)公理的總數(shù)就是正好比上述子集的總數(shù)少一個即WM個。這里“□”不包括疊置算符。另外，在處理多于二變元或疊置算符時自然采用K－2形式。

LP16K－2的擴展(“□”包括疊置算符)叫做LPK－2。流行的現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯叫做LPN。

LPK－2是一系列邏輯系統(tǒng)的總稱并且有無數(shù)個“不等價”的系統(tǒng)和不等價的公理(下文的分析可知，由于N的限制，LPN的系統(tǒng)數(shù)量雖然也無數(shù)但要少的多)?！啊酢辈话ǒB置算符的流行現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯叫做LP16N。

后文為了簡便，除非特別指明，否則僅考慮LP16K－2和LP16N。在LP16K－2中:當(dāng)□A正好表示16個真值函數(shù)的集合時，這時的模態(tài)命題邏輯公理就是經(jīng)典命題邏輯的公理，相應(yīng)的模態(tài)系統(tǒng)就是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。而當(dāng)□A表示小于16個真值函數(shù)的集合時，這時的模態(tài)公理就是一組經(jīng)典命題邏輯的定理，所以相應(yīng)的模態(tài)系統(tǒng)仍是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)(后文可知，LP16N的系統(tǒng)應(yīng)該屬于后者)。模態(tài)邏輯不過是經(jīng)典邏輯的成語。模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)就是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，因此像完全性、可靠性等證明并無必要。作為一組由A為一變元形成的二變元真值函數(shù)的□A究竟是A的泛函、多值函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、逆函數(shù)、格或其他什么由A非完全決定的東西，非要弄清楚其實也是多余。

在LPK－2或LPN中，每個模態(tài)邏輯公理中的□A都表示了一組由A為一變元形成的二真值的多變元真值函數(shù)，這才是□A作為邏輯符號所反映的思維的形式意義。在半形式語言上可以把這一組真值函數(shù)代表一集可能世界，或一堆臭皮囊，或一隊分有神性的天使，甚至孫悟空的一群變身。邏輯學(xué)家(而非邏輯知識家)并無須知道“□”作為“必然”的自然意義是如何抽象為邏輯形式意義的歷史［4］99－137。

每個模態(tài)公理反映其中的□A作為一組由A為一變元形成的真值函數(shù)對A的同一種集合性質(zhì)。例如，LP16K－2的T公理中□A表示且僅表示A、A∧A1、A∧﹁A1和A∧﹁A對A都具有自反的性質(zhì)。這一方面說明可能世界語義學(xué)中“T公理中的那一組可能世界之間具有自反性”是一種近似正確但不夠準確的表述(顯然，A對A∧A1并不具有自反性)，另一方面也說明像“集合論”這樣的數(shù)學(xué)理論與基本邏輯理論可以是交叉關(guān)系。

由于在不同模態(tài)系統(tǒng)中有不同的模態(tài)公理，因此導(dǎo)致不同的模態(tài)公理中“□”表示的“必然”的邏輯意義不相同。雖然這些不同的公理還原為經(jīng)典定理的組合后，作為其組合成分的經(jīng)典定理都是等價的。這里不僅反映了“非經(jīng)典邏輯僅是經(jīng)典邏輯成語”的邏輯基元特性，而且揭示了整體論的形而上學(xué)起源:不同的整體由相同基元集合的不同子集形成。

在LPK－2中，雖然每個模態(tài)邏輯公理都不等價，但每個模態(tài)邏輯系統(tǒng)都是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)加一組經(jīng)典命題邏輯中的定理，在基元意義上當(dāng)然還是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，所以都是等價的。因此說一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)是另一個模態(tài)邏輯系統(tǒng)的擴充在上述意義上總是正確的。當(dāng)然在把“□”作為個體意義時是指符合前者“□”的真值函數(shù)是要包含于后者的。

對模態(tài)命題邏輯的純句法研究依照自然推理演繹的方法，它隱含著經(jīng)典二真值語義，并自然地使用了K－2這種一般形式，因此幾乎沒有錯誤結(jié)果［5］492－502。但因為不知道“狹義函數(shù)相對性原理”，所以進展緩慢。

必然化規(guī)則N的存在使得K－2形式下各種LPN模態(tài)系統(tǒng)中各種定理在真值語義中的判定變得容易，不過涉及到關(guān)系語義的N的理解較為復(fù)雜，但考慮各種模態(tài)公理所反映的集合性質(zhì)及其相互關(guān)系時無需考慮必然化規(guī)則的影響。

克里普克可能世界語義學(xué)是一種巧妙特設(shè)的一階謂詞邏輯語義學(xué)，在獨立于K－2形式的經(jīng)典二真值語義的模型時總是有效的。但當(dāng)涉及像“全通性”這樣的無特設(shè)性(即對應(yīng)K－2形式的經(jīng)典二真值語義)一階公式時，就找不到對應(yīng)的模態(tài)命題邏輯公式了?！癒公理對所有模型均有效”的證明沒有注意到K－2所反映的“模態(tài)算符的非完全可代入性”:f(A)如果表示A的一個真值函數(shù)，那么f(B)就表示B的同一個真值函數(shù)。但現(xiàn)在如果□A表示以A為一變元形成的一個二變元的真值函數(shù)，那么□B表示的是與前一個二變元的真值函數(shù)僅有相同函數(shù)式的以B為一變元形成的另一個二變元的真值函數(shù)。我們所看到的關(guān)于K公理對所有模型均有效的證明在K－2情形下都不可能成立。在杜國平的《經(jīng)典邏輯與非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)》的第177頁的19行－24行的“由［4］和［6］可得［7］”，和在李小五的《模態(tài)邏輯講×第139的倒數(shù)第7行到倒數(shù)第5行的“u╞﹁q和u╞q”，我們認為在K－2情形下不可能成立。如果作為w對應(yīng)□q和□(p→q)的真值表的同一行真值指派，即使在q和p→q真值相同時，它們的真值仍可能不同，例如后文列出的K－2時K公理對D2的無效，即這時的兩個u或者其實不是同一個真值函數(shù)，或者是克里普克語義特設(shè)性地表示它們?yōu)橥粋€真值函數(shù)。

在可能世界語義學(xué)中，大部分模態(tài)邏輯公理都與一個一階謂詞公式對應(yīng)，反之亦然。在我們對模態(tài)邏輯的理解中，每一個模態(tài)邏輯公理都與一組命題邏輯定理對應(yīng)，反之亦然。這一方面說明僅從對模態(tài)邏輯做半自然半形式理解的可能世界語義學(xué)出發(fā)，很難找到甚至有時無法找到它們的一一對應(yīng);另一方面也可以解決命題邏輯與謂詞邏輯的關(guān)系問題:并不是有些推理無法用命題邏輯表示才必須發(fā)展謂詞邏輯，而是用謂詞邏輯更方便。過去認為謂詞邏輯無法還原為命題邏輯的原因是:一個謂詞邏輯公式往往等價地表示一組命題邏輯公式。

本文暫不系統(tǒng)考慮一階謂詞邏輯LP'和相應(yīng)的模態(tài)謂詞邏輯LP'，但認為任何一階謂詞公式都可以用一個或一組經(jīng)典命題邏輯公式等價地表示。另外，多于二元的聯(lián)接詞構(gòu)成的二真值函數(shù)總可以還原為二元聯(lián)接詞構(gòu)成的二真值函數(shù)。這些將在“3+N探”中細述。當(dāng)然，用一篇文章還不可能(其實也無必要)準確地窮盡現(xiàn)代模態(tài)邏輯各種語義的每一個細節(jié)。

四、對一些重要問題的運算結(jié)果及其分析

1.K－1形式下的模態(tài)句法還原:

將16個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞依次、分別代入上述10個典型的模態(tài)公理中的每個“□”，不難得到16張完整真值表(因為篇幅，略)和下面的總表8。

表8 典型10公理在LP16K－1形式下有效性比較表(僅用y表示有效)

表8中C公理就是經(jīng)典公理，K公理是對16個經(jīng)典二元聯(lián)結(jié)詞都有效的，但實際上在無特設(shè)性條件下的句法不可能是對應(yīng)K－1。況且對于各種公理的有效性之間的互推關(guān)系有時已經(jīng)過分符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的主要經(jīng)典結(jié)果。例如:對稱性+傳遞性=歐性。

K－1的模態(tài)邏輯雖然僅是“瘦身”的而非真的模態(tài)邏輯，但由于它簡單，能非常明晰地反映模態(tài)邏輯的最一般本性:模態(tài)算符“□”表示共有某種集合性質(zhì)的一組經(jīng)典真值聯(lián)接詞，模態(tài)公理表示一組經(jīng)典定理，所有的模態(tài)命題系統(tǒng)其實都等價于經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)。

2.K－2形式下的模態(tài)句法還原

K－2:□A=f(A，A1)，□B=f(B，A2))，□□A=f(f(A，A1)，A1')。因為。D、T、V和Tr獨立于K－1和K－2，所以只要考慮表9中余下的6個公理中有效的那些項。施反證法于6個模態(tài)公理，不是很難就算的出表9的結(jié)果。

表9 典型10公理在LP16K－2中公理模式有效性比較表(僅用y表示有效)

對自然(或必然)化規(guī)則N，如果可以把N理解為把真值函數(shù)代入□A后的真值表的每一行都要符合“A為真時，□A為真”的條件，表9中的各個公理的結(jié)果加上N與現(xiàn)代模態(tài)邏輯經(jīng)典文本中的模態(tài)系統(tǒng)中僅按句法推出的結(jié)果相比較，沒有發(fā)現(xiàn)反例。不難發(fā)現(xiàn)，表9中各種公理的有效性之間的互推關(guān)系也符合現(xiàn)代模態(tài)邏輯的主要經(jīng)典結(jié)果(參見李小五:《模態(tài)邏輯講義》，中山大學(xué)出版社，2006年.p126)。

(1)自返性?持續(xù)性。

(2)對稱性+傳遞性?歐性。

(3)(略)

(4)自返性+歐性?對稱性。

(5)對稱性+歐性?傳遞性。

(6)對稱性+傳遞性?對稱性+歐性。

(7)對稱性+傳遞性+持續(xù)性?自返性+歐性。

(8)自返性+對稱性+傳遞性?自返性+歐性。

顯然K公理不是對16個真值函數(shù)均有效(對D4、D5、D7和D10的結(jié)果還有爭議)，至少對D2(或D3)即□A=A∨A1和□B=B∨A2在A、B、A1、A2取值為0、0、1、0這行無效。

3.K－2時對K－1時4、B、E、M和O公理有效項的有效性的反證法證明

又由于D1、D6、D11和D16對K－2與K－1同效，以及D2和D3那樣的兩個函數(shù)間的對稱性，所以僅需考慮D2、D5、D13、D14、D7和D9。

(1)4公理:︱—□A→□□A

在K－1時僅對D1、D2、D3、D6、D7、D10、D12、D13、D16有效，所以現(xiàn)在僅需考慮 D2、D5、D7。顯然在D7時，□A=A1，□□A=A1'，這時4公理無效。顯然在D13時，□A=A∧A1，□□A=A∧A1∧A1'，這時4公理無效。

所以對K－2，4公理僅對D1、D2、D3、D6、D16有效。

(2)B公理:︱—A→□◇A

在K－1時僅對D1、D2、D3、D4、D5、D6、D8、D9、D11有效，所以現(xiàn)在僅需考慮D2、D5、D9。

D2時，□A=A∨A1，◇A=A∧﹁A1，□◇A=(A∧﹁A1)∨A1'。A→□◇A即

所以B公理在K－2時僅對D1、D4、D5、D6、D11有效。

(3)E公理:︱—◇A→□◇A

在K－1時僅對D1、D2、D3、D6有效?，F(xiàn)在僅需考慮D2。

D2時，□A=A∨A1，◇A=A∧﹁A1，□◇A=(A∧﹁A1)∨A1'。◇A→□◇A即

(A∧﹁A1)→(A∧﹁A1)∨A1'，顯然有效。

所以E公理在K－2時僅對D1、D2、D3、D6有效。

(4)M公理:︱—□◇A→◇□A

在K－1時僅對 D6、D8、D9、D11、D12、D13、D14、D15、D16有效。所以現(xiàn)在僅需考慮D8、D12、D14。

D8時:□A=(﹁A∨A1)∧(A∨﹁A1)，□◇A=(﹁A1∨A1')∧(A1∨A1')，◇□A= (A1∧﹁A1')∨(A1∧A1')，顯然，當(dāng)A1、A1'分別取1和0時，M無效。在D13時，□A=A∧A1，◇A=A∨﹁A1，□◇A=(A∨﹁A1)∧A1'，◇□A=(A∧A1)∨﹁A1'。M公理為: (A∨﹁A1)∧A1'→(A∧A1)∨﹁A1'，顯然當(dāng)A、A1、A1'依次取1、0、1時，M無效。D14時:□A=﹁A∧A1，◇A=﹁A∨﹁A1，□◇A=﹁(﹁A∨﹁A1)∧A1'=A∧A1∧A1'，◇□A=﹁(﹁A∧A1)∨﹁A1'=A∨﹁A1∨﹁A1'，M公理為顯然有效。

所以，M公理在K－2時僅對D6、D11、D14、D15、D16有效。

(5)O公理:︱—□(□A→A)

在K－1時僅對D1、D2、D3、D6有效。所以現(xiàn)在僅需考慮D2。

D2時，□A=A∨A1，□A→A=A∨A1→A，□(□A→A)=(A∨A1→A)∨A1'。顯然

它不是有效式。所以O(shè)公理在K－2時僅對D1、D6有效。

以下各項因為篇幅，暫略:

4.K－1條件下K公理對16個真值函數(shù)式代入的完全真值表

5.K－1條件下其他9個公理對16個真值函數(shù)式代入的完全真值表

6.K－2條件下K公理對16個真值函數(shù)式是否有效的反證法證明

7.K－2條件下K系統(tǒng)中必然模態(tài)算子的析取分配“不”成立的證明

8.對各個模態(tài)系統(tǒng)中的基本定理的經(jīng)典語義證明

9.對幾個認為無法找到對應(yīng)一階公式的模態(tài)公理的驗算

10.對幾個認為無法找到對應(yīng)模態(tài)公理的一階公式的經(jīng)典命題邏輯定理的轉(zhuǎn)換(待修正)

五、結(jié)論

如果由A和任意算符H所構(gòu)成的二真值的非真值函數(shù)HA總是等值于一個由A作為一元而形成的一個基本經(jīng)典二真值函數(shù)，那么作為二真值模態(tài)命題的“□A”就不得不僅表示一組經(jīng)典二真值函數(shù)。甚至現(xiàn)代模態(tài)邏輯是對經(jīng)典真值函數(shù)做系統(tǒng)分類研究的經(jīng)典命題邏輯。句法上，模態(tài)命題邏輯中任一公理模式的任一“□A”都表示使得這一公理模式有效的那一組以A為一變元形成的經(jīng)典多變元真值函數(shù)，任一模態(tài)公理模式是且僅是一組經(jīng)典命題邏輯定理。語義上，關(guān)系語義可以還原為經(jīng)典語義。但由于d(A，A1)不是A的嚴格意義上的函數(shù)，所以模態(tài)“□”具有非完全可代入性，即遵照K－2而非K－1的形式:K－1:當(dāng)□A=d(A，A1)時，□B=d(B，A1);K－2:當(dāng)□A=d (A，A1)時，□B=d(B，A2)。可能世界語義學(xué)大致曲折地反映了這種句法和語義的統(tǒng)一，筆者認為:一個可能世界w就是(映射)一個經(jīng)典真值函數(shù)，一個世界集W就表示一組這樣的真值函數(shù)，相應(yīng)的可能世界間的關(guān)系R就是這組真值函數(shù)共有的集合性質(zhì)。W、R和K－2式經(jīng)典賦值V構(gòu)成一個框架。任一公理模式在一個框架內(nèi)有效，就是將屬于W的那一組真值函數(shù)式按K－2規(guī)則分別依次代入該公理模式中的每一個“□”，使得形成一組經(jīng)典命題邏輯定理或一個一階謂詞邏輯定理。

本文按筆者對現(xiàn)代模態(tài)邏輯的理解過程寫作，體現(xiàn)了這個過程所經(jīng)歷的下述九步:

(1)從現(xiàn)代模態(tài)邏輯的一些應(yīng)用(辯證邏輯、量子邏輯等)意識到需要對經(jīng)典真值函數(shù)進行反(泛)函數(shù)研究。區(qū)分反函數(shù)(單值函數(shù))和逆函數(shù)(很像多值函數(shù))。

(2)理解“蘊涵為真”的逆函數(shù)是最基本的二真值一元算符非函數(shù)，并運用經(jīng)典完全集{﹁，→}遞歸定義出相應(yīng)的其余15個算符而形成狹義的基本二真值一元算符非函數(shù)集。

(3)發(fā)現(xiàn)基本的二真值一元算符非函數(shù)集就是基本經(jīng)典二變元真值函數(shù)集。即16個基本二真值一元算符依次對應(yīng)16個二變元二真值函數(shù)式－－非真值函數(shù)的相對性。

(4)一般的二真值一元算符非函數(shù)就是16個基本的二真值一元算符疊置所形成。

(5)模態(tài)“□A”對應(yīng)一組以A為一變元形成的一組一般的二真值多變元函數(shù)。

(6)K－1與K－2的區(qū)別。

(7)任何模態(tài)命題邏輯公理都是一組經(jīng)典命題邏輯定理。

(8)如果視N中的“□A”也僅具有(5)的意義，那么現(xiàn)代模態(tài)命題邏輯各系統(tǒng)在經(jīng)典真值函數(shù)的基元意義上分別是經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)，但在“□”的個體意義上是對經(jīng)典真值函數(shù)的某些子類的分類整體研究。

(9)每個可能世界就直接對應(yīng)一個經(jīng)典二真值函數(shù)，但可能世界語義學(xué)除了明示了模態(tài)命題邏輯與一階邏輯的關(guān)系，還隱含了一階謂詞邏輯與經(jīng)典命題邏輯的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

回到本文的開篇，問題的關(guān)鍵是:二真值的Hp是否只能是16個經(jīng)典二真值函數(shù)d(p，q)之一?過去邏輯學(xué)家普遍認為:Hp作為p的非真值函數(shù)，在p取一個確定真值(真或假)時，Hp的真值是不確定。但筆者認為，由于Hp是二真值的，所以當(dāng)p取一個確定真值時，Hp不可能有第三種真值“真正的不確定”，它的“真假不確定”只能是確定的“真”與“假”均可。這一點從任何一個包含二真值的非真值函數(shù)的公理或定理中也可以得到印證。這樣構(gòu)成的作為有真值定義的“真與假的排列組合”只能是與16個經(jīng)典二真值函數(shù)式一一對應(yīng)。本文對可能世界語義的經(jīng)典語義還原還沒有完成，對必然化規(guī)則的理解還可能涉及“邏輯真與事實真”。不過無論采用何種語義，只要狹義函數(shù)相對論成立，那么至少在句法上□A只能表示一組以A為一變元所形成的多變元的經(jīng)典二真值函數(shù)。筆者作為非邏輯專業(yè)的學(xué)者的嚴密性可能還不夠，但作為科學(xué)哲學(xué)專業(yè)的教師，不禁會聯(lián)想到近代物理學(xué)史上晚于經(jīng)典力學(xué)出現(xiàn)的熱質(zhì)說的曾經(jīng)輝煌的歷史。

［1］莫紹揆:“多值函數(shù)新論”，載《南京大學(xué)學(xué)報》(自然科學(xué)版)1998年第1期。

［2］萬小龍:《經(jīng)典命題邏輯聯(lián)結(jié)詞的泛函分析初探——一元算符是否可能窮盡》，載《安徽大學(xué)學(xué)報(人文社會科學(xué)版)》2011年第6期。

［3］萬小龍、李福勇、田雪:《一元算符邏輯理論二探——一元算符完全性下的道義邏輯與道義悖論研究》，載《安徽大學(xué)學(xué)報(人文社會科學(xué)版)》2012年第3期。

［4］B.Jack Copeland.“The Genesis of Possible Worlds Semantics”，Journal of Philosophical Logic 31，2002.

［5］徐明:《符號邏輯講義》，武漢:武漢大學(xué)出版社2008年版。

On Modern Modal Logic from the Special Theory of Function Relativity

WAN Xiao-long

(Department of Philosophy，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan430074，China)

The basic principle in the special theory of function relativity:For any two truth-valued variables p and Hp formed by any unary operator H and p，regardless of Hp is two truth-valued functions of p or not，it always be equal to a two truth-valued function formed by p and the third truth-valued variables q that is independent of p.There are only 16 truth-valued dual function formulas and only 16 unary operators and 16 corresponding basic two truth-valued non-functions.The other two truth-valued non-functions are only 16 unary operator overlay formed.Modern modal logic，in fact，is a kind of classifying study on classical two truthvalued functions in terms of first order logical axioms and rules.In modal propositional logic，any set of possible worlds W only means a set of a truth-function with two variables，and the corresponding relations between possible worlds R is a set property which the set of truth-functions have in common.And the validity of any axiom schema in a framework is just that every truth-function formula with two variables belonging to W is，in turn，substituted in each“□”of the axiom schema respectively such that a set of classical theorems are formulated.

non-truth-function;modal axiom schemas;K－1;K－2

B81

A

1671-7023(2012)03-0033-07

萬小龍(1964－)，男，江蘇常州人，華中科技大學(xué)哲學(xué)系教授、博士生導(dǎo)師，國家馬克思主義工程“科學(xué)技術(shù)哲學(xué)”首席專家，研究方向為科學(xué)哲學(xué)、量子力學(xué)哲學(xué)與邏輯哲學(xué)。

國家留學(xué)基金(學(xué)號200635015)項目;國家社科基金項目(2007zxc49)

2012-04-13

責(zé)任編輯吳蘭麗