平面簡(jiǎn)諧波勢(shì)能的簡(jiǎn)易分析方法

汪新文 唐世清 許成科 陸世專 王文煒

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子信息科學(xué)系，湖南 衡陽(yáng) 421008)

平面簡(jiǎn)諧波勢(shì)能的簡(jiǎn)易分析方法

汪新文 唐世清 許成科 陸世專 王文煒

(衡陽(yáng)師范學(xué)院 物理與電子信息科學(xué)系，湖南 衡陽(yáng) 421008)

平面簡(jiǎn)諧波是理工科專業(yè)《大學(xué)物理》課程中的重要內(nèi)容。勢(shì)能的分析和推導(dǎo)是平面簡(jiǎn)諧波教學(xué)中的難點(diǎn)。本文利用彈性波的傳播機(jī)理和特征，提出一種簡(jiǎn)易的分析和推導(dǎo)平面簡(jiǎn)諧波勢(shì)能密度函數(shù)的方法。此方法可以避開(kāi)學(xué)生陌生和難以理解的一些物理量和概念，因此其可使教學(xué)過(guò)程大為簡(jiǎn)化，并便于學(xué)生掌握和深刻理解相關(guān)內(nèi)容。

平面簡(jiǎn)諧波；勢(shì)能函數(shù)；分析方法

1 引言

近些年來(lái)，由于各種原因，大學(xué)課程門類不斷增加，大學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)也不斷加重。因此，各門傳統(tǒng)課程（包括專業(yè)課和公共課）的課時(shí)數(shù)大幅減少。作為理工科學(xué)生必修的一門公共課，《大學(xué)物理》的課時(shí)也不例外地被大幅削減。而另一方面，地方二本院校的學(xué)生的物理和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)呈下滑趨勢(shì)。在這種背景下，《大學(xué)物理》課程在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式方法等方面都必須進(jìn)行改革。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)更加注重對(duì)學(xué)生物理思維的培養(yǎng)、把復(fù)雜問(wèn)題盡量簡(jiǎn)單化，在備課時(shí)應(yīng)積極探索相關(guān)定理、定律及其數(shù)學(xué)表示的盡可能簡(jiǎn)易的分析和推導(dǎo)方法，才可能達(dá)到既節(jié)約課時(shí)又提高教學(xué)質(zhì)量和效果的目的。

平面簡(jiǎn)諧波是《大學(xué)物理》課程中的重要內(nèi)容。為了揭示機(jī)械波是振動(dòng)狀態(tài)和能量傳播的本質(zhì)，需要分析和討論介質(zhì)中各質(zhì)元和一定體積內(nèi)的機(jī)械能及其隨時(shí)間的變化情況。動(dòng)能關(guān)于時(shí)間的函數(shù)可以直接從波動(dòng)方程導(dǎo)出，所以比較簡(jiǎn)單。勢(shì)能是由介質(zhì)內(nèi)各體積元的形變而產(chǎn)生的，其大小與形變的程度有關(guān)，分析起來(lái)要復(fù)雜些。幾乎所有的教材和文獻(xiàn)[1-5]都是利用胡克定律來(lái)推導(dǎo)勢(shì)能密度函數(shù)。這種方法涉及到應(yīng)力、彈性模量、切變模量等概念以及它們之間的關(guān)系，然而這些內(nèi)容超出了教學(xué)大綱，教材中也都沒(méi)有相關(guān)詳細(xì)介紹。鑒于此，多數(shù)教材中都把勢(shì)能函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程放在附錄中或列為選講內(nèi)容。由于課時(shí)的限制，教師在教學(xué)過(guò)程中通常直接給出勢(shì)能公式，這樣嚴(yán)重影響學(xué)生對(duì)機(jī)械波的能量傳播的深刻理解。

本文充分利用彈性波的傳播機(jī)理和特征，以及諧振子與平面簡(jiǎn)諧波之間的關(guān)系，提出一種簡(jiǎn)易的分析和推導(dǎo)平面簡(jiǎn)諧波勢(shì)能密度函數(shù)的方法。由于此方法沒(méi)有涉及到應(yīng)力、彈性模量、切變模量等學(xué)生陌生和難以理解的“新”概念和物理量，其不僅可使課堂教學(xué)過(guò)程變得流暢，更便于學(xué)生掌握和深刻理解傳播機(jī)械波的媒質(zhì)中各部分體積元的能量的變化規(guī)律。

2 平面簡(jiǎn)諧波的勢(shì)能分析

機(jī)械波是機(jī)械振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)中的傳播，即是振動(dòng)狀態(tài)和能量的傳播，當(dāng)機(jī)械波在介質(zhì)中傳播時(shí)，體積元（作機(jī)械振動(dòng)）的機(jī)械能是不守恒的。然而，由波動(dòng)的周期性可知：體積元的機(jī)械能在一個(gè)周期內(nèi)的平均值應(yīng)該是不變的。如果取各向同性介質(zhì)中的單位體積為質(zhì)元，并把其視為質(zhì)點(diǎn)，則其在一個(gè)周期內(nèi)的平均機(jī)械能在形式上應(yīng)該與相應(yīng)的諧振子系統(tǒng)的平均機(jī)械能相類似。

下面，我們把上述思想運(yùn)用到平面彈性簡(jiǎn)諧波的能量分析中，并非常簡(jiǎn)單地導(dǎo)出平面簡(jiǎn)諧波的勢(shì)能密度（單位體積內(nèi)的勢(shì)能）。設(shè)平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為

式中 A為振源及各質(zhì)元的振幅，ω為波的圓頻率，k 為波矢，x是與一條波線（傳播方向）重合的坐標(biāo)軸，0φ是坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)初相位。此平面簡(jiǎn)諧波的動(dòng)能密度（單位體積內(nèi)的動(dòng)能）為

式中ρ為介質(zhì)的密度。由 (2) 式可得一個(gè)周期T內(nèi)的平均動(dòng)能密度

由 (3) 和 (4) 式可得此平面簡(jiǎn)諧波在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢(shì)能密度

很顯然，平面簡(jiǎn)諧波在一個(gè)周期內(nèi)的平均勢(shì)能密度與平均動(dòng)能密度相等。

現(xiàn)在分析任意時(shí)刻的勢(shì)能密度εp。由 (5) 式可得εp必須滿足如下條件：

由彈性波的傳播機(jī)理可知：體積元的勢(shì)能和動(dòng)能應(yīng)同時(shí)變大、同時(shí)變?。辉谄胶馕恢脮r(shí)同時(shí)達(dá)到最大值，在位移絕對(duì)值最大位置時(shí)同時(shí)達(dá)到最小值。這里以在繩上傳播的橫波為例來(lái)證實(shí)上述的結(jié)論。如圖1所示，橫波在繩上傳播時(shí)，

圖1：橫波在繩上傳播的示意圖

平衡位置Q處體積元的速度最大因而動(dòng)能最大，此時(shí)Q處體積元的相對(duì)形變也最大，因此彈性勢(shì)能也為最大；在振動(dòng)位移最大的 P處體積元，其振動(dòng)速度為零，動(dòng)能等于零，而此處體積元的相對(duì)形變量為最小值其彈性勢(shì)能亦為零；更一般地，體積元的動(dòng)能變大或變小時(shí)，勢(shì)能也相應(yīng)地變大或變小，反之亦然。根據(jù)上述分析可得：平面簡(jiǎn)諧波的勢(shì)能密度與動(dòng)能密度同相。因此，

而由 (6) 的條件可得n=2，且有

此結(jié)果正是正確的勢(shì)能密度函數(shù)，其與動(dòng)能密度函數(shù)完全相同。根據(jù)勢(shì)能密度函數(shù)就可以分析平面簡(jiǎn)諧波在單位體積內(nèi)的勢(shì)能隨時(shí)間的變化情況。

3 總 結(jié)

本文根據(jù)諧振子與平面簡(jiǎn)諧波之間的關(guān)系，并把媒質(zhì)中單位體積元視為質(zhì)點(diǎn)，利用類比的方法得到了平面簡(jiǎn)諧波在一個(gè)周期內(nèi)的平均能量密度，進(jìn)而得到了平均勢(shì)能密度。然后利用彈性波的傳播機(jī)理和特征，即媒質(zhì)中體積元的動(dòng)能與勢(shì)能同相，導(dǎo)出了平面簡(jiǎn)諧波的勢(shì)能密度函數(shù)。此思路和方法沒(méi)有借助胡克定律，從而沒(méi)有涉及到應(yīng)力、彈性模量、切變模量等學(xué)生陌生和難以理解的物理量。因此，本文中的方法不僅可以節(jié)約課堂時(shí)間，又可使課堂教學(xué)過(guò)程變得流暢，更便于學(xué)生掌握和深刻理解相關(guān)內(nèi)容。

[1]匡樂(lè)滿,等.大學(xué)物理:第二冊(cè)[M].北京:北京郵電大學(xué)出版社,2007.

[2]陳曙光,等.大學(xué)物理學(xué):上冊(cè)[M].長(zhǎng)沙: 湖南大學(xué)出版社,2006.

[3]趙近芳,等.大學(xué)物理學(xué):上冊(cè)[M].北京: 北京郵電大學(xué)出版社,2011.

[4]葉帆.關(guān)于連續(xù)介質(zhì)中橫波的能量探討[J].大學(xué)物理,2008,27(9):19-21.

[5]郭芳英,閆夷平,李愛(ài)玲.用橫波推導(dǎo)簡(jiǎn)諧波的能量[J].物理與工程,2003, 12(2): 16-17.

Simple method for analyzing the potential energy of a simple harmonic plane-wave

WANG Xin-wen, TANG Shi-qing, XU Cheng-ke, Lu Shi-zhuan, Wang Wen-wei
(Department of Physics and Electronic Information Science, Hengyang Normal University, Hengyang 421008, China)

Simple harmonic plane-wave is an important content of《College Physics》course which is a required course for the students of science and engineering specialties. It may be not easy for students to deeply understand the potential energy during the study of the simple harmonic plane-wave. This paper proposes a very simple method of analyzing and deriving the potential energy,by using the transmission mechanism and characteristics of the elastic wave. This method does not involve the physical quantities that are unfamiliar to students, and thus can simplify the teaching process and benefit the students in understanding the related contents.

simple harmonic plane-wave; potential energy; analyzing method

O4-3

A

1673-2219（2012）08-0022-02

2012－05－20

衡陽(yáng)師范學(xué)院教改項(xiàng)目(編號(hào)：jy201101)、教育部第一類特色專業(yè)(物理學(xué))、湖南省“光電課程組”教學(xué)團(tuán)隊(duì)、湖南省“十二五”重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科資助。

汪新文 (1980－)，男，湖南衡陽(yáng)人，衡陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子信息科學(xué)系副教授，博士，主要從事量子光學(xué)與量子信息科學(xué)以及《大學(xué)物理》等課程的教學(xué)改革研究。

（責(zé)任編校：何俊華）