基于Matlab實(shí)驗(yàn)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散邏輯方程解的進(jìn)一步數(shù)值研究

李 珊 孫麗男

（黑河學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 黑河 164300）

基于Matlab實(shí)驗(yàn)的非局部反應(yīng)擴(kuò)散邏輯方程解的進(jìn)一步數(shù)值研究

李 珊 孫麗男

（黑河學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 黑河 164300）

論文主要考慮如下形式的非局部問題

其中

1.若 π2/4

λ＜n ，上述問題有一個(gè)穩(wěn)定的平衡解u=0；

2.若 π2/4

其中n=1,2,…，從而為進(jìn)一步研究非局部問題的解析解奠定基礎(chǔ)。

非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程；數(shù)值實(shí)驗(yàn)；平衡解；穩(wěn)定性；分歧

1 引言

伴隨著科技和社會的發(fā)展，人們越來越關(guān)注與人類生存息息相關(guān)的環(huán)境和生態(tài)研究，而作為生態(tài)學(xué)分支的人口動(dòng)力學(xué)在自然界的各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，通過人口動(dòng)力學(xué)的研究，人們可以更好地認(rèn)識和了解自然模式的形成和發(fā)展，見[1,2,3]，局部反應(yīng)擴(kuò)散方程恰恰成為人們研究過程中的一個(gè)經(jīng)典之作，其有如下形式[4]：

在[4]及許多文獻(xiàn)中，對于（1.1）的平衡解的研究已經(jīng)很充分了，因此我們更加關(guān)注的是上述經(jīng)典方程的推廣形式[5]

在[6]中，我們已經(jīng)對簡單的非局部問題的解進(jìn)行了數(shù)值分析，[6]中討論的問題的非局部影響區(qū)域是一個(gè)確定的區(qū)間，即非局部項(xiàng)中得積分區(qū)間是一個(gè)確定的閉區(qū)間，這就使得無論是數(shù)值實(shí)驗(yàn)還是解析研究都容易了很多。若積分項(xiàng)的積分區(qū)間與變量x有關(guān)，則相應(yīng)的非局部問題就變得復(fù)雜了，也更貼近實(shí)際生活了，值得我們進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

本文中，我們考慮以下非局部問題

其中

我們首先考慮n=1的情形

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及主要結(jié)果

2.1 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本部分，我們將簡單介紹采用的數(shù)值方法以及實(shí)驗(yàn)方法。

在這里，我們采用的數(shù)值方法仍然是簡單有效的有限差分法[]7。采用數(shù)值方法研究問題的關(guān)鍵是對區(qū)域、方程的離散以及對邊值條件和初始條件的處理。

2.接下來我們采用向前差分格式對方程

進(jìn)行離散，得到

（2.2）3.初值條件的處理

4.邊值條件的處理

下面我們將利用Matlab做一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)來研究（1.5 ）平衡解的狀態(tài)，不失一般性，我們在（1.5 ）中取k=0.3，考慮下面的狄利克雷問題

我們采用上面闡述的數(shù)值方法，并取 Δx =0. 1, λ= 1以及 g1( x)=1-x2。在實(shí)驗(yàn)中我們發(fā)現(xiàn)，首先（2. 5 ）的解的圖像從t=0時(shí)刻的初始圖形下降為t=0.1時(shí)刻的圖形 （見 圖1（ a）和（b）。接下來，隨著時(shí)間的發(fā)展，我們觀察到一系列下降的拱形，最終，當(dāng)時(shí)候足夠長時(shí)，它們歸于一條與x軸重合的直線 （見圖2（a）和（b））

圖 1a.（左） t = 0,λ= 1,u(x,0)=1-x 2 時(shí) （2. 5 ）解的圖像；b.（右）t= 0.1,λ = 1,u( x ,0)=1-x2時(shí)（2. 5）解的圖像

圖 2a.（左） t = 1,λ= 1,u(x,0)=1-x 2 時(shí)（2. 5 ）解的圖像；b.（右）t = 15,λ = 1,u( x ,0)=1-x2時(shí)（2.5）解的圖像

在上述實(shí)驗(yàn)中，我們?nèi)ˇ?1，它小于π2/4，接下來，我們考慮 π2/4 λ＞ 時(shí)的情形，之所以選π2/4這樣一個(gè)臨界數(shù)是從方程結(jié)構(gòu)特點(diǎn)得到的，在接下來的實(shí)驗(yàn)中，我們?nèi)ˇ?10，它比 λ= π2/4要大，同時(shí)我們選取兩組不同的初值 u (x ,0)= 1- x2和 u (x,0)= g(x)其中

3

在實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)經(jīng)歷比較短的一段時(shí)間后，對應(yīng)第一種初值解的圖像如圖（圖3a），對應(yīng)第二種初值，解的圖像如圖（圖 3b）。從上述圖像上看，我們很難判斷隨著時(shí)間的推移會發(fā)生什么樣的變化！于是，我們繼續(xù)實(shí)驗(yàn)，取t=15，這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)兩種初值的解得圖像幾乎一樣，如圖（圖4（a）或（b）.當(dāng)然，我們可以選取其他的初值，效果仍然是一樣的如圖（圖4a或b）

圖3a.（左） t = 0.1,λ= 1,u(x,0)=1-x2 時(shí)（2. 5 ）解的圖像；b. （右）t= 0.1,λ =1,u( x, 0) =g 3(x)時(shí) （2. 5 ）解的圖像。

圖4a.（左） t = 15, λ= 1,u(x,0)=1-x 2 時(shí) （2. 5 ）解的圖像；b. （右）t= 15,λ =1,u( x, 0) =g 3(x)時(shí) （2. 5 ）解的圖像。

綜上，問題（2. 5 ）的解最終趨向某一個(gè)穩(wěn)定的形式，實(shí)際上它應(yīng)該是（2. 5 ）的平衡解，滿足

其中λ=10.對于更大的λ.通過實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果是一樣的，只不過平衡解的圖像有所差異，如圖（圖5（a）和（圖5b）。解的圖像。

圖5a.（左）t = 15, λ= 200,u(x,0)=1-x 2 時(shí) （2. 5 ）解的圖像:b.（右） t=15,

2.2 主要結(jié)果

我們通過上述數(shù)值模擬及與局部反應(yīng)擴(kuò)散方程的比較，可歸納總結(jié)如下實(shí)驗(yàn)結(jié)果，

1.若 λ＜ π2/4,(1.4)有一個(gè)穩(wěn)定的平衡解u=0；

2.若 λ＞ π2/4,(1.4)有兩個(gè)穩(wěn)定的平衡解u=0和 u =uλ＞0.；

事實(shí)上，我們可以對任意維空間上的非局部問題（1.3）按上述方法進(jìn)行數(shù)值模擬，得到相應(yīng)數(shù)值結(jié)果1.若 λ＜nπ2/4，（1.3）有一個(gè)穩(wěn)定的平衡解u=0；

2.若 λ＞nπ2/4，（1.3）有兩個(gè)穩(wěn)定的平衡解u=0和 u = uλ＞0；

其中 n=1,2,….

圖6（2.5）平衡解的分歧圖

本文我們只通過數(shù)值模擬觀察并推斷出（1.3 ）的平衡解得性態(tài)，我們將在其他文章中給出精確的理論的證明。

[1]A.L.Lin,B.Mann,G.Torres,B.Lincoln,J.Kas,and H.L.Swinney,Localization and Extinction of Bacterial Populations under Inhomogeneous Growth Conditions[J].Bio phys J.,87(2004),no.1,75-80.

[2]J.Wakita,K.Komatsu,A.Nakahara,T.Matsuyama,and M.Matsushita,Experimental Investigation on the Validity of Population Dynamics Approach to Bacterial Colony Formation[J].J.Phys.Soc.Jpn.63(1994),1205-1211.

[3]E.Ben-Jacob,I.Cohen,and H.Levine,Cooperative self-organization of microorganisms[J]. Adv.Phys,49(2000),395-554.

[4]V.M.Kenkre,Results from variants of the Fisher equation in the study of epidemics and bacteria[J].Proc.of.Amer.Phys.Soc.342(2004),242-248.

[5]M.A.Fuentes,M.N.Kuperman,V.M.Kenkre,Nonlocal Interaction Effects on Pattern Formation in Population Dynamics[J].Phys.Rev.Lett.91(2003),no.15,158104/1-4.

[6]孫麗男,王玉文,史峻平.非局部邏輯方程的數(shù)值分析[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2008,(2):27-30.

[7]陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005:82-84.

O29

A

1673-2219（2012）08-0001-06

2012－06－06

黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目資助（項(xiàng)目編號11551308）。

李珊（1965－），女，江蘇人，黑河學(xué)院數(shù)學(xué)系主任，教授，主要從事偏微分方程和數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究。孫麗男（1983－），女，黑龍江人，黑河學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，碩士，主要從事偏微分方程研究。

（責(zé)任編校：京華，俊華）