一種新的非線性非高斯信號分離方法

王忠勇，李 響，王行業(yè)，段琳琳，2

(1.鄭州大學信息工程學院，河南鄭州450001;2.解放軍信息工程大學 理學院，河南鄭州450001)

0 引言

隨著非線性科學的發(fā)展，信號分離成為當今信息處理領域的熱門課題［1-2］.在信號分離中，需要根據(jù)系統(tǒng)觀測數(shù)據(jù)以及先驗估計信息，通過一定算法計算出所需估計量.當系統(tǒng)參數(shù)未知時，還需同時估計系統(tǒng)的狀態(tài)和參數(shù)，從而實現(xiàn)多路信號的分離.經(jīng)典的擴展卡爾曼濾波算法是解決此類問題的常用方法［3］，但在處理非線性非高斯對象時，該方法就會出現(xiàn)較大偏差.

粒子濾波(Particle Filtering:PF)［4］是一種蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，在處理非線性非高斯系統(tǒng)中參數(shù)估計和狀態(tài)濾波問題上具有不可替代的優(yōu)勢［5-7］，近年來受到廣泛的關注.研究參數(shù)未知信號分離問題，可以把混合信號和系統(tǒng)參數(shù)看成一組高維狀態(tài)，根據(jù)貝葉斯理論，該狀態(tài)的聯(lián)合后驗密度概率函數(shù)包含該狀態(tài)所有信息.筆者在PF算法基礎上采用標準貝塔分布的核平滑收縮技術避免非時變參數(shù)粒子退化.仿真結果表明，本文算法能有效實現(xiàn)非線性非高斯信號的分離.

1 問題的提出

由于接收信號不僅包含所需信號和加性噪聲，而且還包括其他有用信號，這就需要去除加性噪聲同時恢復各路有用信號.

目前大量信號分離算法的研究對象是基于線性系統(tǒng)、高斯假設的［1-2］，然而在實際中，信號的混合方式不再是簡單的線性高斯混合，于是研究非線性非高斯系統(tǒng)的信號分離更具有應用價值.EKF(擴展卡爾曼濾波)和UKF(無味卡爾曼濾波)方法［3］把非線性問題線性化，在高斯噪聲情況下，可以獲得較好的信號分離性能，然而對于非高斯噪聲，該方法性能會嚴重惡化.劉凱等［8］利用PF算法對含非高斯噪聲的線性系統(tǒng)進行信號分離，但非線性系統(tǒng)在實際中有更廣泛的應用.筆者擬采用PF方法和核平滑收縮技術研究非線性系統(tǒng)的信號分離問題，提高粒子采樣率，使信號精確分離.

假設接收信號yk由L個混合信號x=1}組成.在參數(shù)未知時，含有過程噪聲和觀測噪聲vk的信號分離動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以描述為

式中:fi(·)表示第i個動力學方程表示第i路信號在k時刻的狀態(tài);為系統(tǒng)未知參數(shù)(這里考慮的參數(shù)為非時變參數(shù)，即為混合向量;h(·)是一個可微分的非線性函數(shù);vk是均值為0，方差為σ2的背景噪聲.

研究的問題可歸結為:在上述狀態(tài)空間模型下，由接收到的信號序列 y1:k={y1，y2，…，yk}遞推估計聯(lián)合狀態(tài)

2 基于粒子濾波的盲分離算法

對于未知參數(shù)的信號分離問題，欲分離多路信號則必須先估計出未知參數(shù).筆者用核平滑收縮技術產(chǎn)生參數(shù)估計粒子，再利用PF方法對參數(shù)估計粒子對應的信號狀態(tài)抽樣產(chǎn)生狀態(tài)粒子集，最終完成多路信號的參數(shù)和狀態(tài)分離.

2.1 粒子濾波原理

PF適用于任何能用狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng).該算法核心思想是利用從狀態(tài)后驗分布p(z1:k|y1:k)中抽取的離散樣本點來近似狀態(tài)后驗分布，把積分運算轉化為求和運算.通常很難直接從p(z1:k|y1:k)中抽樣產(chǎn)生粒子，因此需引入一個便于抽樣的已知分布，即重要性函數(shù)q(z1:k|y1:k).定義重要性權重為

聯(lián)合后驗密度概率可近似估計為

假設重要性函數(shù)可以分解為

此時重要性權重可表示為

當選取狀態(tài)轉移函數(shù)p(zk|zk-1)為重要性函數(shù)時，由式(3)～(6)重要性權重可化簡為

在參數(shù)未知的情況下，需要利用p(zk|zk-1)同時實現(xiàn)參數(shù)粒子和狀態(tài)粒子的更新，即

2.2 參數(shù)核平滑收縮技術

由于粒子濾波進行非時變參數(shù)估計時會出現(xiàn)無法增加參數(shù)粒子多樣性的問題，導致參數(shù)粒子退化，從而影響參數(shù)估計的精度，于是如何避免信息丟失是解決參數(shù)粒子退化的關鍵問題.

對于非時變參數(shù)估計，亟須解決參數(shù)后驗分布 p(θk|θk-1，y0:k)的近似問題.West提出基于自適應重要性抽樣的核平滑方法［9］:假設在k-1時刻，參數(shù)粒子及重要性權重分別，則當前時刻參數(shù)后驗分布可用核平滑概率近似:

此時 p(θk|θk-1，y0:k)的均值、方差與 k-1 時刻保持一致，從而避免參數(shù)粒子退化，保證信息完整性.

2.3 基于粒子濾波的信號分離

通過上面的闡述可以看出:研究參數(shù)未知情況的信號分離問題，需在核平滑收縮技術保證參數(shù)粒子信息完整性的同時采用核分布為貝塔分布的核函數(shù)，從而提高參數(shù)粒子的采樣效率和估計的準確性.在此基礎上可抽樣產(chǎn)生狀態(tài)估計所需要的狀態(tài)粒子集，最終完成多路信號的分離.

設k=1，…，M，針對式(1)和(2)的非線性系統(tǒng)，給出未知參數(shù)的信號分離算法，步驟如下:

步驟1 初始化:由初始分布p(x0，θ0)抽樣得到

步驟2 參數(shù)和狀態(tài)更新:由式(10)、(11)得到k-1時刻參數(shù)粒子滿足的均值和方差，并由式(2)更新狀態(tài)粒子.

步驟3 權重更新:根據(jù)式(7)計算每個粒子的重要性權重，并歸一化:

步驟4 重采樣:消除重要性權重較小的粒子，復制權重較大的粒子，得到新的狀態(tài)粒子.

步驟6 k＜M時，k=k+1，轉到步驟2;k≥M時，循環(huán)結束.

3 仿真性能與分析

Wan和 Nelson在其文獻 ［3］中提出用DEKF(雙重卡爾曼濾波)方法分離混合信號，由于該方法能夠有效去除系統(tǒng)噪聲并分離出各路信號，在信號處理領域被廣泛引用.針對非線性系統(tǒng)的情況，為了驗證算法的有效性，筆者將本文算法與該文獻算法進行了比較，對兩路混合信號進行分離試驗.

3.1 仿真模型

假設觀測量yk由以下非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型產(chǎn)生:

3.2 仿真結果及分析

圖1給出兩種算法進行20次蒙特卡洛實驗獲得的參數(shù)估計平均值，這里設定觀測時間k=2 000.

圖1 系統(tǒng)參數(shù)θ1，θ2的收斂情況Fig.1 The convergence of the parameters θ1，θ2

結果表明，利用本文算法得到的系統(tǒng)參數(shù)估計值收斂于正確值0.5和0.3，而DEKF算法的系統(tǒng)參數(shù)在0.6和0.2附近上下擺動，無法收斂.表明本文算法使非時變參數(shù)估計的收斂性得到提高.

圖2給出兩路信號真實值與估計值的比較，設定觀測時間k=100.

圖2 x1，x2估計值與真實值的比較Fig.2 Comparation of true state and estimation values of x1，x2

仿真結果表明，與DEKF算法相比，筆者提出的算法能更好地與真實狀態(tài)相吻合，表明本文算法能有效地分離混合信號.

為了對分離結果定量分析，表1給出經(jīng)過100次Monte Carlo仿真實驗，兩種算法計算出的非線性系統(tǒng)中狀態(tài)1和參數(shù)1以及狀態(tài)2和參數(shù)2的RMSE均值.

表1 兩種算法產(chǎn)生的狀態(tài)x1，x2和參數(shù)θ1，θ2的經(jīng)驗標準偏差Tab.1 The mean square error of state x1，x2 and parameter θ1，θ2 produced by two algorithms

從仿真結果可以看出，本文算法的計算誤差明顯低于DEKF算法，表明本文算法能更準確地分離出兩路信號狀態(tài)和參數(shù).

4 結論

為了對非線性非高斯系統(tǒng)進行混合信號分離，筆者提出了一種基于粒子濾波的分離方法，并采用核分布為貝塔分布的核平滑收縮技術來實現(xiàn)非時變參數(shù)的迭代.實驗表明，本文算法在非線性系統(tǒng)中能有效的實現(xiàn)兩路信號的分離，分離精度及收斂性均高于DEKF方法.

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