標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水隧洞正常水深的計(jì)算

陳 萍，滕 凱

（1.齊齊哈爾市水政監(jiān)察大隊(duì)，黑龍江齊齊哈爾161006；2.齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾161006）

普通標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水?dāng)嗝媸撬姽┡潘こ讨袘?yīng)用較廣泛的斷面形式之一。由于該種斷面正常水深計(jì)算涉及超越方程求解，無(wú)法直接獲得，而常規(guī)解法［1-4］（圖表法、試算法）過(guò)程繁、精度低，利用微機(jī)編程求解又不便實(shí)際工作［5］。為了解決了常規(guī)算法所存在的問(wèn)題，有關(guān)學(xué)者通過(guò)大量的分析及研究工作，先后提出了多種簡(jiǎn)化計(jì)算方法［6-10］，具有代表性的研究成果主要為文獻(xiàn)［8-10］，文獻(xiàn)中提出的方法計(jì)算精度較高、公式的表達(dá)形式相對(duì)好于其他研究成果。但由于這些簡(jiǎn)化公式均存在2個(gè)系數(shù)項(xiàng)、1個(gè)常數(shù)及1個(gè)指數(shù)項(xiàng)，且數(shù)字位數(shù)較多，計(jì)算公式分段給出，即不便記憶也不夠簡(jiǎn)單。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化普通標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠?jì)算過(guò)程，依據(jù)優(yōu)化擬合原理，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)逐次逼近擬合計(jì)算，獲得了一種可直接完成求解計(jì)算的解析表達(dá)式，計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)捷、直觀，便于實(shí)際應(yīng)用。

1 正常水深的基本計(jì)算公式

根據(jù)水力學(xué)原理［11］，正常水深的基本計(jì)算方程：

式中Q為渠道通過(guò)流量（m3/s）；A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e（m2）；X為濕周（m）；i為隧洞底坡降；n為隧洞內(nèi)壁糙率。

1.1 門洞形過(guò)水?dāng)嗝嫠σ?/h3>

對(duì)于普通標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水?dāng)嗝?，如圖1所示。當(dāng)正常水深h小于門洞側(cè)墻高度H（對(duì)于普通標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水?dāng)嗝?，H=r）時(shí)，可按求解矩形斷面正常水深方法完成相關(guān)計(jì)算；當(dāng)正常水深h大于門洞側(cè)墻高度H時(shí)，過(guò)水?dāng)嗝嫠σ貫椋?/p>

圖1 標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水隧洞斷面示意

式中 r為頂拱圓形半徑（m）；β為洞內(nèi)水面以上圓弧所對(duì)圓心角之半（rad）；h為洞內(nèi)正常水深（m）。

1.2 門洞形過(guò)水?dāng)嗝媾R界流方程

將式（2）至（3）代入式（1），即可獲得求解普通標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠探M為：

在式（5）中，設(shè)：

式中k為無(wú)量綱參數(shù)；x為無(wú)量綱水深。

經(jīng)對(duì)式（5）方程組變形整理可得計(jì)算普通標(biāo)準(zhǔn)門洞形過(guò)水?dāng)嗝嬲Ｋ睿?/p>

由式（7）可見，在理論上，x的取值范圍為［1，2］，而在實(shí)際工程中，為了避免因洞內(nèi)水位過(guò)高產(chǎn)生波狀水面引起明滿流交替現(xiàn)象，《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》［12］規(guī)定，在低流速恒定流情況下，洞內(nèi)水面線以上的空間不宜小于隧洞斷面積的15%，且凈空高度不應(yīng)小于0.4m，由此可以求得x<1.55，本文考慮適當(dāng)外延，將x的取值范圍確定為［1.0，1.8］，相應(yīng)參數(shù)的取值范圍為［1.26，2.38］。

2 門洞形過(guò)水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴?jì)算

2.1 擬合公式的建立

式（7）為含x的超越方程，無(wú)法直接獲得解析解。為避免求解超越方程問(wèn)題，在工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)（即1.0≤x≤1.8，1.26≤k≤2.38），假定函數(shù)x=f（k）可以替代式（7）；展繪x～k關(guān)系曲線（圖略），依據(jù)曲線圖形關(guān)系經(jīng)數(shù)值回歸計(jì)算，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)［13］，即

式中n為擬合計(jì)算的數(shù)組數(shù)。

經(jīng)逐次逼近擬合［14］即可獲得如下替代函數(shù)，即

2.2 擬合公式的精度分析

為比較式（8）與式（7）的擬合精度，在給定的工程實(shí)用參數(shù)范圍內(nèi)，選取不同的xi代入式（7）即可分別計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki，再將ki代入式（8）求得與之相對(duì)應(yīng)的x′i（x′i為近似計(jì)算值），并由下式完成擬合相對(duì)誤差計(jì)算，計(jì)算結(jié)果見表1所示。

式中zi為擬合相對(duì)誤差（%）；i為擬合計(jì)算的第i個(gè)數(shù)據(jù)比較（1、2、3……n）。

由表1 比較可見，在工程實(shí)用范圍內(nèi)，即1.0 ≤x ≤1.8，1.26≤k≤2.38，本文式（8）的最大擬合替代相對(duì)誤差僅為0.685%，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求，而該公式在表達(dá)形式上則較文獻(xiàn)［8-10］更加簡(jiǎn)捷、直觀。

表1 擬合精度比較

3 應(yīng)用舉例

選文獻(xiàn)［10］算例：已知某水庫(kù)泄洪隧洞的設(shè)計(jì)泄洪流量為28m3/s，設(shè)計(jì)橫斷面為門洞形，頂拱半徑2.5m，洞底坡降i=1/2500，洞內(nèi)壁糙率n=0.014。試計(jì)算隧道內(nèi)的正常水深h值。

根據(jù)已知參數(shù)即可求得值：

將參數(shù)代入式（8）即可求得無(wú)量綱水深x：

則可求得正常水深h=3.153m，精確解h=3.156m，公式計(jì)算相對(duì)誤差0.095%。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）公式的表達(dá)形式更加簡(jiǎn)單直觀，常數(shù)、系數(shù)項(xiàng)及數(shù)字位數(shù)少，而且計(jì)算公式不分段，容易記憶，實(shí)際工作僅借助計(jì)算器即可方便快捷地完成解算，適于廣大基層工程技術(shù)人員實(shí)際推廣應(yīng)用?？蔀檩^復(fù)雜斷面（如馬蹄形及蛋形過(guò)水?dāng)嗝妫┱Ｋ罱朴?jì)算公式的建立提供有益的參考。

（2）通過(guò)精度比較及算例計(jì)算分析表明，雖然公式的計(jì)算精度不如文獻(xiàn)［8］、［10］高，但最大計(jì)算誤差也僅為0.685%，完全可以滿足實(shí)際工程的設(shè)計(jì)精度要求。

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