基于分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程的冪期權(quán)定價

胡素敏,胡電喜

(1.河南城建學(xué)院數(shù)理系，中國 平頂山 467036；2.玉溪師范學(xué)院商學(xué)院，中國 玉溪 653100)

期權(quán)定價問題一直是金融數(shù)學(xué)和金融工程學(xué)研究的核心問題之一.在以往的期權(quán)定價中,人們普遍假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動,它是一個連續(xù)的隨機(jī)過程,而在金融市場上,一些重要信息的到達(dá)會刺激股票價格發(fā)生不連續(xù)的跳躍,因此股票價格應(yīng)包含連續(xù)擴(kuò)散過程和不連續(xù)的跳躍過程兩方面,在幾何布朗運動下,資產(chǎn)價格變化是相互獨立的隨機(jī)變量,資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布,而近年來對股票市場的大量研究表明股價變化不是隨機(jī)游走,而是呈現(xiàn)不同程度的長期相關(guān)性,分?jǐn)?shù)布朗運動[1]恰好具有這些優(yōu)點,因此用分?jǐn)?shù)布朗運動刻畫資產(chǎn)價格的變化,更符合實際情況.

自引入分?jǐn)?shù)布朗運動以來,國內(nèi)外出現(xiàn)了大量的相關(guān)研究.Ciprian[2]研究了分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的期權(quán)定價. Rogers[3]研究了分?jǐn)?shù)布朗運動下的套期保值,周圣武[4]研究了分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的冪期權(quán)定價.歐輝[5]研究了債券價格隨機(jī)時重設(shè)型熊市認(rèn)售權(quán)證的定價,劉韶躍[6]研究了分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境中混合期權(quán)定價.本文基于風(fēng)險中性等價鞅測度,推導(dǎo)出標(biāo)的股價服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程的冪期權(quán)的看漲、看跌及平價公式,并得出相關(guān)推論.

1 股票價格的分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散行為

股票價格受到市場重要信息刺激時,會呈現(xiàn)不連續(xù)的跳躍行為,本文對股票價格作如下假設(shè)：

(H1) 股票價格ST遵循It過程[7]

(1)

其中r是無風(fēng)險利率,σ是股價的波動率，λ(λ>0)是跳躍強(qiáng)度,表示一年中股票價格的平均跳躍次數(shù),qt是一個強(qiáng)度為λ的Poisson計數(shù)過程[8-9],dqt是描述St發(fā)生跳的點過程,當(dāng)股票價格發(fā)生跳躍時dqt=1,否則dqt=0；k=E(U),BH(t)為分?jǐn)?shù)布朗運動.應(yīng)用It公式解隨機(jī)微分方程(1),可得股票價格的對數(shù)過程lnSt所滿足的常系數(shù)隨機(jī)微分方程

(2)

解隨機(jī)微分方程(2),并應(yīng)用Poisson過程的性質(zhì),可得時刻股票價格的表達(dá)式

(3)

(4)

其中Un表示股票價格在第n個跳躍時刻tn的跳躍幅度,并假設(shè)U1,U2,…，Un,…是一列獨立同分布的隨機(jī)變量.應(yīng)用全期望公式可得股票價格在T時刻的數(shù)學(xué)期望. 為表述方便,本文將沿用Merton[10]的假設(shè)：

(H2) 假設(shè)U,qτ,BH(t)相互獨立,且1+U服從對數(shù)正態(tài)分布,即

(5)

其中μ,σU為常數(shù).

(6)

而且由U,qτ,BH(t)相互獨立可知Z1,Z2也相互獨立.

由(4)和(6)以及正態(tài)分布的可加性可知,當(dāng)qτ=n時,存在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量Zn～N(0,1),使得

(7)

2 歐式冪期權(quán)的定價

在風(fēng)險中性世界里,歐式看漲冪期權(quán)到期日的期望價值為

(8)

根據(jù)風(fēng)險中性定價原理,看漲冪期權(quán)的價值是(8)以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值,即

(9)

定理1標(biāo)的股票價格St服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程(1)、執(zhí)行價格為K的歐式看漲冪期權(quán)在t時刻的價值為

(10)

證由(9)得

(11)

第1個數(shù)學(xué)期望為

(12)

第2個數(shù)學(xué)期望為

(13)

將(12)、(13)式代入(11)式得

(14)

(15)

將(15)式代入(14)式得

此定價公式與文獻(xiàn)[12]結(jié)論相同.

Ct=StN(d1)-Ke-rrN(d2).

定理2標(biāo)的股票價格St服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程(1)、具有相同執(zhí)行價格K的歐式看漲冪期權(quán)與看跌冪期權(quán)在t時刻的平價公式為

(16)

定理3標(biāo)的股票價格St服從分?jǐn)?shù)跳擴(kuò)散過程(1)、執(zhí)行價格為K的歐式看跌冪期權(quán)在t時刻的價值為

證由(16)式可得

此定價公式與文獻(xiàn)[12]的結(jié)論相同.

Pt=e-rτKN(-d2)-StN(-d1).

參考文獻(xiàn)：

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